当前课程知识点：流体力学 > 第3单元 翼型与叶栅理论基础 > 3.5 儒可夫斯基翼型绕流 > 儒可夫斯基翼型绕流
这一节我们学习利用儒可夫斯基变换
求解儒可夫斯基翼型绕流问题
内容包括儒可夫斯基对称翼型绕流
圆弧翼型绕流和儒可夫斯基翼型绕流问题的求解
儒可夫斯基变换求解流动有明确的步骤
第一步写出ζ平面圆周曲线的方程
第二步将ζ平面圆周曲线的方程代入儒可夫斯基变换函数获得变换后z平面上的曲线方程
第三步写出ζ平面上已知流动的复势
第四步代入儒可夫斯基变换函数的反函数
完成z平面流动复势的求解
根据上述步骤我们首先来求解儒可夫斯基对称翼型的绕流问题 如图所示
设ζ平面上有一圆心在负实轴上 且圆周过点ζ=c的圆
即圆半径为R=c+m m远小于c 被速度为V∞
攻角为α的均匀来流绕过
经儒可夫斯基变换后 在Z平面上将是怎样的流动呢
第一步先写出ζ平面上该圆周曲线的方程 如式（1）所示
注意此圆周只过一个变换奇点ζ=c
在Z平面上其对应点ζ=2c 处不保角
故圆弧变换成一夹角为零的尖角 与圆周上其它各点相应的点在Z平面上将构成一平滑曲线
第二步 将（1）式代入儒可夫斯基变换函数可得z平面上对应的坐标 如（2）式所示
根据（2）式可得z平面上曲线的方程 如（3）式所示
（3）式描述的是如图所示的形状
为一个上 下表面轮廓形状一样的带尖锐尾缘的对称翼型
称为儒可夫斯基对称翼型
翼型的最大厚度及其所在位置如式（4）所示
翼型弦长b=4c 这样在ζ平面上的圆柱绕流变换为Z平面上的对称翼型的绕流
根据库达－恰布雷金假设 翼型尾缘点对应的ζ=c点必须是后驻点
即ζ平面的圆柱绕流为有环量绕流
根据势流叠加原理可以写出ζ平面上圆柱有环量绕流的复势
圆柱的轴位于ζ=-m处 复势如（5）式所示
完成了第3步 第4步代入儒可夫斯基变换函数的反函数 即可求得z平面的流动复势
由于变换前后奇点强度不变 即速度环量不变
如（6）式所示
根据升力公式可求得儒可夫斯基对称翼型所受的升力
如（7）式所示 将（7）式中c和m
分别用翼型弦长b和最大厚度t来表示
可得（8）式
根据升力系数的定义可得儒可夫斯基对称翼型的升力系数如（9）式所示
把它与平板的升力系数比较可知 有了厚度t之后
可使升力系数增大 但过大的翼型厚度将使翼型变成钝头体
在实际流动中易使边界层分离 反而会使升力系数下降
相同的步骤可以完成圆弧翼型绕流的求解
圆弧翼型对应的ζ平面上的圆周曲线如图所示
圆心位于正虚轴上ζ=im点 m< 攻角为α的均匀来流绕过 经儒可夫斯基变换后 在Z平面上将是圆弧翼型的绕流 第一步和第二步的过程与儒可夫斯基对称翼型绕流的求解相同这里不再累述 最终得到z平面的绕流形状曲线方程如（10）式所示 该方程描述的是如图所示的只有弯度而无厚度的圆弧翼型 其弦长b=4c 弯度f=2m 根据库达－恰布雷金假设 圆弧翼型的后缘点z=2c必是驻点对应ζ平面上ζ=c点是驻点 所以ζ平面上的圆柱绕流为有环量绕流 根据势流叠加原理其复势如（11）式所示 代入儒可夫斯基变换函数的反函数即可求得z平面圆弧翼型的绕流复势 根据ζ平面上ζ=c点是驻点可以写出有环量绕流的环量如（12）式所示 代入 ζ=c点对应的幅角可得绕流具体的环量如（13）式所示 根据升力公式可得圆弧翼型所受的升力如（14）式所示 对应的升力系数如（15）式所示 可见圆弧翼型绕流的环量比平板绕流的大 一般翼型有了弯度之后可使环量增加 从而使翼型升力增大 儒可夫斯基翼型是既有厚度又有弯度的实际翼型 我们已经完成儒可夫斯基对称翼型和圆弧翼型的绕流求解 那么 儒可夫斯基对称翼型是只有厚度没有弯度的翼型 圆弧翼型是只有弯度没有厚度的翼型 所以我们自然想到将儒可夫斯基对称翼型和圆弧翼型进行叠加 即可完成儒可夫斯基翼型的求解 如图所示 ζ平面上圆心位于第二象限 距离坐标原点为m m是远小于c 经过ζ=c点的圆周线经过儒可夫斯基变换 可得如图所示的儒可夫斯基翼型 其方程可近似用对称翼型与圆弧翼型的曲线方程叠加获得 如（16）式所示 根据势流叠加原理可写出ζ平面圆柱有环量绕流的复势 如（17）式所示 代入儒可夫斯基变换函数的反函数 即可求得z平面儒可夫斯基翼型的绕流复势 同样根据驻点位置可写出环量表达式如（18）式所示 根据升力公式可得儒可夫斯基翼型所受的升力如（19）式所示 对应的升力系数如（20）式所示 可见 儒可夫斯基翼型的升力系数与攻角α 厚度t以及弯度f有关 增大t和f 正如增大攻角一样可使升力系数增大 但应以不使流动产生分离为限度 超过此限度会引起失速现象 升力系数急剧下降 本节学习了儒可夫斯基对称翼型绕流 圆弧翼型绕流和儒可夫斯基翼型绕流问题的求解 同学们应掌握如何利用儒可夫斯基变换进行流动的求解 明确求解的四个步骤 即第一步写出ζ平面圆周曲线的方程 第二步将ζ平面圆周曲线的方程代入儒可夫斯基变换函数获得变换后z平面上的曲线方程 第三步写出ζ平面上已知流动的复势 第四步代入儒可夫斯基变换函数的反函数 完成z平面流动复势的求解 以上就是本节内容 下一节我们学习利用保角变换法求解平面叶栅流动
-1.1 课程导论
--流体力学发展历程
-1.2 速度势函数
--速度势函数
-1.3 平面流动的流函数
--平面流动的流函数
-1.4 势函数与流函数的关系
-1.5 复势与复速度
--复势与复速度
-1.6 几种基本的平面势流
-1.7 势流的叠加
--势流的叠加
-1.8 圆柱无环量绕流
--圆柱无环量绕流
-1.9 圆柱有环量绕流
--圆柱有环量绕流
-1.10 描述旋涡运动的基本概念
--旋涡和涡量
-1.11 旋涡运动的Stokes定理
-1.12 Thomson定理、Helmholtz定理
-1.13 旋涡诱导速度
--旋涡诱导速度
-第1单元习题
-2.1 应力形式的动量方程
-2.2 Navier-Stokes方程
-2.3 库埃特流动精确解
--库埃特流动精确解
--边界条件问题
-2.4 简单流动的精确解
--简单流动的精确解
-2.5 边界层概念及其流动特点
--边界层的意义
-2.6 边界层方程组及其边界条件
-2.7 平板层流边界层的相似解
-2.8 边界层动量积分关系式
-2.9 平板湍流边界层和混合边界层的近似解
-2.10 边界层分离及减阻
--边界层分离及减阻
-2.11 湍流概述
--湍流概述
--层流与湍流
-第2单元习题
-3.1 机翼与翼型概述
--机翼与翼型概述
-3.2 叶栅概述
--叶栅概述
-3.3 保角变换法
--保角变换法
-3.4 儒可夫斯基变换
--儒可夫斯基变换
-3.5 儒可夫斯基翼型绕流
-3.6 保角变换法求解平面叶栅流动
-3.7 奇点分布法
--奇点分布法
-3.8 奇点分布法求解有限翼展绕流
-3.9 奇点分布法求解平面叶栅流动
-3.10 问题回答
--问题回答
