应力形式的动量方程在线视频

从这一节开始

我们进入粘性流体动力学基础的学习

首先我们来学习应力形式的动量方程

主要包括流场的应力

和应力形式的动量方程两个内容

流场中常见的力有质量力和表面力

质量力与流体的质量成正比

如重力

表面力是作用在流体微团表面的作用力

如图所示

在流场中任取一点M

其位置坐标为(x,y,z)

并以该点为一顶点

作一微小的正六面体

在过M点的三个正交面MBDC

MCEA 和MAFB上作用着表面力Fx

Fy和Fz

单位面积的表面力称为表面应力Px、Py、Pz

每个面上所受的表面应力

又可以分解为xyz三个方向的分量

所以表面应力有9个分量

是一个二阶张量

以垂直x轴的表面MBDC为例

如图所示

其所受的表面应力为Px

Px有三个方向的分量

即x方向的分量pxx、

y方向的分量pxy、z方向的分量pxz

同理垂直y轴和垂直z轴的表面

MCEA和MAFB

所受的表面应力Py

和Pz也有三个方向的分量

所以流场的表面应力有9个分量

如下式所示式中

pxx、pyy、pzz为正应力分量

其余6个为切应力分量

切应力分量两两相等

即pxy=pyx pxz=pzx pyz=pzy

所以流场的表面应力只有6个独立分量

根据牛顿第二定律

可以推导出应力形式的动量方程

我们以x方向为例

假设x方向的速度vx沿x轴正向且增大

如图所示的微元正六面体

我们来看看其6个面上所受的x方向的应力

设MBDC面上x方向的应力为pxx

由于vx沿x轴正向且增大

该表面附近流体

对该面x方向的作用力是阻力

所以pxx方向沿x轴负方向

同理AMCE面所受的x方向应力

pyx和AFBM面所受x方向的应力pzx

均沿x轴负方向

由于dx无限小

可认为pxx沿x方向线性分布

所以与该面距离为dx的AFGE面

所受的x方向的应力为pxx+(∂pxx/∂x)dx

同理

与AMCE面距离为dy的FBDG面

所受的应力为pyx+(∂pyx/∂y)dy

与AFBM面距离为dz的EGDC面

所受的应力为pzx+(∂pzx/∂z)dz

注意以上分析的是表面应力

是单位面积所受的力

乘以面积就是

该微元正六面体所受的x方向的表面力

加上这个x方向的质量力就是合力Fx

如下式所示

微元正六面体的质量为ρdxdydz

x方向的加速度为dvx/dt

由牛顿第二定律可得到x方向的运动方程

如下式所示

整理后可得

dvx/dt=fx+1/ρ(∂pxx/∂x+∂pyx/∂y+∂pzx/∂z)

同理可得y方向和z方向的运动方程

上述方程

即为粘性流体运动应力形式的动量方程

需要注意的是方程中未知量有

3个速度分量、6个应力分量、共9个未知量

加上连续性方程共4个方程

故方程组不封闭

需补充关系式

本节学习了流体流场的应力

以及应力形式的动量方程

流场的应力是一个二阶张量

有9个分量

6个独立分量

对角线方向为正应力分量

其余为切应力分量

切应力分量两两相等

应力形式的动量方程

是牛顿第二定律在流体流动中的应用

方程组不封闭

需进一步封闭才能求解

下一讲我们来封闭这个方程组