Thomson定理、Helmholtz定理在线视频

这一节我们学习旋涡运动的Thomson定理Helmholtz定理

汤姆逊定理描述的是

理想正压流体在有势的质量力作用下

沿任何封闭流体线的速度环量不随时间变化

即dΓ/dt=0

其中流体线指的是

在运动流体中

始终由同样的流体质点所组成的线

流体线随着流体质点运动

可在流动中位移

变化其大小和形状

但始终由原来的那些流体质点所组成

Thomson定理的成立是有前提的

即理想正压流体

质量力有势

所谓理想流体

即忽略粘性

所谓正压流体

即流体中分布的压力只是密度的函数

所谓质量力有势

即可以用某函数的全微分来表示质量力

我们简单证明一下汤姆逊定理

好为了证明汤姆逊定理

那么我们在流场当中

任选

一封闭的

流体线

L

那么

沿这个封闭周线的速度环量我们就可以写出来

那么这个

Γ呢

根据速度环量定义式

它就等于(V点乘dl)

也就是在这个封闭的流体线L

上的一个速度的线积分

那么我们把它展开呢

实际上就等于

(vxdx+vydy+vzdz)

这样的一个线积分

注意这个L是一个任意选的

封闭的流体线

下面我们来看这个环量是不是

随时间变化

也就是dΓ/dt它等于什么

那我们代入这个速度环量的表达式

它实际上就等于

(d/dt)[(vxdx+vydy+vzdz)

的线积分]

那么由于这个L是一个流体线

所以这个对t的求导可以直接

对被积的对象来进行求导

所以呢

它就等于

就分步求导就可以了

所以第一项呢

实际上

它就等于(vx)[(d/dt)(dx)]+(vy)[(d/dt)(dy)]

+(vz)[(d/dt)(dz)]

这是一项 那么还有一项

加上一个线积分

那么就是[d(vx)/dt]dx

+[d(vy)/dt]dy+[d(vz)/dt]dz

就形成这两项

那我们首先来看第一项

假设这个为第一项

这个是第二项

那我们看第一项

第一项的里面(d/dt)(dx)它实际上是什么

这实际上就是d(vx)

就是速度的定义

(d/dt)(dy)那就是d(vy)

这个呢是d(vz)

所以呢

第一个表达式我们就可以写成

(vx)d(vx)+(vy)d(vy)+(vz)d(vz)

这个我们可以进一步把它写成

d{[(vx)^2+(vy)^2+(vz)^2]/2}

是可以写成这种形式

那么它实际上就等于

d[(V^2)/2)]

这是第一个式子

我们可以写成这种简单的形式

我们再来看第二个式子

第二个式子里面呢

实际上就是d(vx)/dt是什么

那我们知道

对于理想

正压

质量力有势的

流体来说

我们的d(vx)/dt它首先满足欧拉方程

那就等于fx-(1/ρ)(∂p/∂x)

那么同样y方向的加速度

d(vy)/dt=fy-(1/ρ)(∂p/∂y)

z方向一样

这里就省略不写了

那我们就把这个

欧拉方程代入到（2）式里面去

这个时候（2）式就等于什么呢

就非常简单了

实际上就等于

[fx-(1/ρ)(∂p/∂x)]dx

+[fy-(1/ρ)(∂p/∂y)]dy

+[fz-(1/ρ)(∂p/∂z)]dz

还等于什么呢

我们把质量力放在一起

那么质量力呢

注意这里质量力是有势的

所以我们可以写成一个势函数的全微分的形式

这里我们用-W来表示

那它就等于-dW

然后呢

第二项呢

就是它压力梯度这一项

那么这里呢压力是正压的

也就是说它只和密度有关系

所以前面这个密度可以写到

后面

这个压力的梯度里面去

所以可以

写成dp的形式

所以呢第二项呢我们就可以

写成这样一个简单的形式

这样我们再把它代回到

原来这个表达式里面去

所以dΓ/dt就等于这样一个线积分

d[(V^2)/2-W-p]

那么这里面呢

我们知道

V、W和p

都是单值的函数

也就是说在这样一个封闭的周线里面

它的积分是等于0的

这就证明了汤姆逊定理

但你必须要明确的是

这个定理的成立是有条件的

在这个证明过程当中体现得非常明显

第一个条件就是

它是对于

流体线成立的

因为流体线我们才能把这个

对时间的这样的一个求导直接写到后面去

这是第一个

第二个呢

还有一个条件就是

对理想正压质量力有势的流体来说

它是成立的

因为只有在这个前提下

我们才能写成这种形式

而这些势函数呢

都是单值函数

所以沿着封闭周线的积分才等于0

所以汤姆逊定理

那么它的成立

必须要满足这几个条件

好 这就是汤姆逊定理的证明

结合斯托克斯定理

环量等价于涡通量 旋涡强度

对于理想正压质量力有势的流体

环量不随时间变化

即旋涡不生不灭

利用汤姆逊定理可以解释平面翼型的起动涡问题

我们知道翼型绕流会产生升力

这个升力的产生可以通过斯托克斯定理

和汤姆逊定理来解释

如图所示的翼型绕流流动

s点为流动驻点

流体在离开s点以后不久就形成旋涡

并且漂移到远处

那么根据斯托克斯定理

已产生的旋涡相当于产生了速度环量

再根据汤姆逊定理

如果包围翼型及下游

我们作一个任意的封闭周线

则必然在翼型的周围产生一个相反的环量

-Γ

以抵消远处的正环量+Γ

这个负环量使翼型产生了升力

这就是翼型升力的来由

那么漂移到远方的旋涡就称为“起动涡”

亥姆霍兹第一定理

在同一瞬时

涡管各截面的涡通量都相等

也就是J等于常数

这是斯托克斯定理在涡管上的应用

涡管是一个由无数涡线组成的面

涡线上的点切线方向

与涡量方向平行

所以涡管表面没有涡通量

我们取如图所示的封闭周线

ABB'A'A

它围成了涡管表面

那么根据斯托克斯定理

沿这条封闭周线的速度环量

等于涡管表面的涡通量

由于涡管表面没有涡通量

所以沿封闭周线ABB'A'A的

速度环量就等于零

也就是说

Γ(ABB'A'A)=Γ(AB)+Γ(BB')

+Γ(B'A')+Γ(A'A)=0

由于沿AB和B'A'两条线的切向速度线积分

大小相等

方向相反

互相抵消

所以Γ(ABB'A'A)=Γ(BB')+Γ(A'A)=0

也就是说

Γ(BB')=-Γ(A'A)=Γ(AA')

那么BB'和AA'

是涡管的任意两个截面的周线

它们的环量相等

那么根据斯托克斯定理

它们围成的涡管任意两个截面的涡通量

相等

证明了亥姆霍兹第一定理

那么与斯托克斯定理一样

亥姆霍兹第一定理是运动学定理

对理想流体和粘性流体都适用

根据亥姆霍兹第一定理

引入平均角速度ω

则有2ωAn等于常数

可见平均角速度与涡管截面大小

成反比

即在较小截面处流体旋转角速度大

在较大截面处流体的旋转角速度小

如果涡管截面缩小到零

则角速度将无限大

这是不可能的

所以涡管在流体中既不能开始

也不能终止

由此可得出涡管形态的两个引论

一涡管本身是首尾相接

形成一个封闭的涡环或涡圈

二涡管两端可以终止于固体壁面

或自由液面

如图所示

亥姆霍兹第二定理

即涡管守恒定理

理想正压流体在有势的质量力作用下

涡管永远保持为

由相同流体质点组成的涡管

即构成涡管的流体质点

在运动过程中将永远留在此涡管上

那么根据斯托克斯定理和汤姆逊定理

可以证明在涡管的侧表面上

我们取一个由流体质点组成的流动的

封闭周线K

如图所示

因为涡管表面上不可能有涡线通过

根据斯托克斯定理

沿封闭周线K的环量等于零

又由涡管定义

涡管表面永远没有涡线穿过

即封闭周线K上环量不随时间变化

保持为零

那么根据汤姆逊定理

环量不随时间变化必须满足

理想正压质量力有势和

封闭周线为流体线的前提

那么根据流体线的定义

它始终由相同的流体质点组成

因此

虽然涡管的形状随时间不断变化

但组成涡管的流体质点永远在涡管上

即涡管是由相同的流体质点组成

亥姆霍兹第三定理

即涡管强度守恒定理

理想正压流体在有势质量力作用下

任何涡管的旋涡强度不随时间变化

永远保持定值

如图所示

作任意封闭周线L包围涡管

根据斯托克斯定理

沿封闭周线L的速度环量等于

通过该周线所围面积上的旋涡强度

又根据汤姆逊定理

环量不随时间而变化

因此涡管的旋涡强度不随时间变化

涡管随流动可以位移

变化其形状和大小

但其强度不变

说明同一瞬时空间上旋涡的变化情况

这是一个运动学的问题

对理想和粘性流体都适用

第二 第三定理说明涡管的强度不随时间变化

由斯托克斯定理和汤姆逊定理加以证明

对于粘性流体

摩擦会消耗能量

会使旋涡强度逐渐减弱

因此

第二 第三定理只适用于理想

正压 质量力有势流体

以上是本节内容

下一节我们学习旋涡诱导速度