复势与复速度在线视频

这一讲我们学习复势与复速度

这一节我们要用到复数和复变函数的概念

首先给大家介绍一下这两个概念

什么是复数呢

我们定义z=x+iy

其中x和y为实数

i为虚数单位满足i的平方=-1

那么z就叫做复数

x为z的实部

y为z的虚部

复数还可以表示为z=r(cosθ+isinθ)

其中rcosθ=x,rsinθ=y

还可以写成e指数的形式z=re^(iθ)

这几种复数表达形式是等价的

两个复数相等

则实部和实部相等

虚部和虚部相等

复数的运算法则同实数

两个复数的加减法运算

是实部与实部的加减、虚部与虚部的加减

乘法运算两个复数的实部和虚部分别相乘

注意i的平方=-1

除法复杂一点

需要将分母实数化

即上下同乘以x2-iy2

可得到除法的结果

z的模为实部和虚部的平方和开根号

定义了复数

复变函数就是以复数为自变量的函数

如f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

其中自变量z为复数u(x、y)和v(x、y)为实变函数

那么f(z)我们就定义为复变函数

复变函数解析即可导

它的条件是u和v满足柯西—黎曼条件

也就是∂u/∂x=∂v/∂y , ∂u/∂y =- ∂v/∂x

此时复变函数f(z)的导数

可表示为 df (z )/dz=∂u /∂x+i (∂v /∂x)=∂v /∂y-i(∂u /∂y)

那么搞清楚复变函数的概念

我们来看复势的定义

根据流函数和势函数的关系

我们知道

他们满足柯西—黎曼条件

也就是∂Φ/∂x = ∂ψ/∂y , ∂Φ/∂y =-∂ψ/∂x

根据这个条件我们构造一个复变函数W(z)

它的实部为势函数

虚部为流函数

即W(Z)=Φ+iψ

那么这个W(z)我们就定义为流动的复势

由于流函数与势函数满足柯西—黎曼条件

那么复势W(z)必为一解析的复变函数

也就是说它是可导的

由于复势W(z)是解析即可导

对W(z)进行求导可得

dW(z) /dz=∂Φ /∂x+i(∂ψ /∂x)

=∂ψ /∂y-i(∂Φ /∂y) =vx-i(vy)=V

其中V=vx-i(vy)定义为复速度

复速度V是一个复数

它的实部是x方向的速度分量vx

虚部是y方向速度分量的负数-vy

复速度的模等于速度的绝对值

我们来看这个例子

这个例子呢

是已知某流动的复势

让你去求这个流动的流函数、势函数

以及|z|=根号2处的流体的运动速度

这个例子呢

实际上是已知流动的复势W(z)=2(1-i)z

对这里的z呢为复数

它是一个复势

然后呢

第一个让你去求这个流动的流函数、势函数

那么根据复势的定义我们知道

复势的实部是势函数

虚部是流函数

那么要求流函数和势函数

就需要把这个复势

它的实部和虚部分开

所以呢

对第一个问

我们把这个已知的复势：2 (1-i )z

把它的实部和虚部分开

那么这就是一个常规的

这样一个复数的这样的一个整理

对吧

这里呢

z是复数

我们把z带进来

这里我们写成

z我们写成x+iy 的这个形式

带进来以后

我们就可以

方便地把它的实部和虚部分开

对吧

那么就等于这个运算呢

就跟我们的这个实数的运算是一样的

等于二倍的

那么首先我们看它的实部

实部实际上就是这里的1×x

就是x,对吧

还有一个呢

就是这里的-i×iy 注意i的平方是等于-1

所以-i×iy 实际上就是正的y

那这个呢就是我们的实部

虚部呢加上i

虚部我们来看一下

那么-ix

这里就是-x

对吧

然后呢

1×iy

那么就是iy

所以这里i前面就是y-x

这是一个非常基本的复势的一个运算

所以写到这里我们就非常清楚的

把这个已知的复势

它的实部和虚部就区分开了

那么根据复势的这个定义

所以它的实部就是势函数

所以我们的势函数ϕ 就等于它的实部：2(x+y)

然后流函数

ψ 就是它的虚部

那就是2(y-x)

所以这就是第一个问

我们利用复势的这样的一个定义

把实部和虚部分开

就可以求出势函数和流函数

我们再来看第二个问

第二个问呢

是说在|z|= 根号2处的

要求|z|= 根号2处的速度

这个看似比较复杂对吧

其实实际上就是求速度场

我们先不看具体的位置

我们先把这个流动的速度场给它求出来

那么能不能求得速度场呢

所以问题就转化为

已知复势怎么来求速度场

大家还记得吧

那么实际上呢

当然你可以通过上面

求得的流函数、势函数来去求速度场

但这不是最简便的方法

最简便的方法是什么

我们是利用复速度V(z),它和复势之间的关系

那么我们知道复速度呢

它等于复势对Z求导对吧

也就是V(z)= dW(z) /dz

这样我们可以直接来求

那么这个W(z)是已知的

它等于2 (1-i )z

那这个对z进行求导

实际上它就很简单它就等于2 (1-i )

那么复速度呢我们知道它等于vx

它的实部就是x方向的速度

虚部是-i(vy)

对吧

所以两个复数相等

实际上就是实部和实部相等

虚部和虚部相等

所以我们的vx就等于什么呢

等于2m/s

vy就等于什么呢

那这里它也等于2m/s

所以这里呢

我们就直接把这个流场就求出来了

这个流场求出来我们就会发现

它实际上是一个什么

他是一个均匀流场

因为x方向速度vx

y方向速度vy呢

它都是等于一个常量

也就是说

在这个流场

任意一点的速度的大小和方向都是相等的

所以题目问你|z|= 根号2处的速度

那么显然

这个位置的速度

就是求出来的这个均匀的流速

所以|z|=根号2处的x方向速度

vx就等于2m/s

对吧

y方向速度vy也等于2m/s

这样我们就完成了求解

那么这个例子呢

所涉及的知识点就是什么呢

实际上就是已知复势

那你求流函数、势函数

还有速度场

所以它所涉及的知识点

第一个就是

复势与流函数、势函数之间的关系

对吧

它的实部是势函数

它的虚部是流函数

那么已知复势呢

我们可以利用复速度的定义

它实际上就是复势的对z的求导

那么利用复速度的这样一个定义

可以直接从复势来求这个复速度

得到这个流场

以上就是这个例子

目前为止

我们已经明确了势函数、流函数

复势、复速度和速度各自之间的关系

对于不可压缩平面有势流动

这些量都是存在的

已知其中任何一个就可以求出另外4个

这是大家必须要掌握的知识点

求解问题可以分为3类

第一类已知势函数、流函数

怎么来求解

流函数、势函数、复势、复速度和速度

首先根据势函数

或者流函数与速度之间的关系

可以求得速度

根据速度

判断流动是否存在流函数或者势函数

如果存在则根据流函数

或者势函数和速度之间的关系

求出流函数或者势函数

再根据复势的定义求出复势

那么对复势进行求导就可以得到复速度

当然求出速度后

可直接根据复速度的定义得到复速度

第二类：已知复势

怎么来求解

势函数、流函数、复速度和速度

将复势的实部和虚部分开

可直接求得势函数和流函数

实部为势函数

虚部为流函数

那么对复势进行求导可直接求得复速度

复速度的实部为x方向的速度vx

虚部为y方向的速度的负值-vy

第三类：已知速度

怎么来求解势函数、流函数、复势和复速度

根据势函数、流函数存在的前提

判断已知流场是否存在势函数、流函数

如果存在

则根据它们与速度之间的关系

求出势函数、流函数

再根据复势的定义即可求出复势

以上是本节内容

下一节我们学习几种基本的平面势流