保角变换法在线视频

这一节我们学习

求解翼型和叶栅流动的保角变换法

包括保角变换法原理和特点

保角变换法的原理

是将复杂形状的绕流问题通过转换

转变为简单形状的绕流问题进行求解

具体来说

是用某一个解析的复变函数

将一个平面上的某一区域

变换为另一平面上的某一区域

那个解析的复变函数称为变换函数

所谓解析的复变函数

是指该函数在变换区域内每一点单值可微

保角变换法的任务

是通过辅助平面上已解决的势流

如圆柱绕流

去求解物理平面上未知流动

如翼型绕流的解

保角变换法在数学上

有很多方便流动求解的特点

一是保角性

如图所示

Z平面上的S区域

通过单值的解析变换函数

z=f(ζ)转变为ζ平面上的S'区域

容易证明变换前后α1-α2=β1-β2

即变换前后曲线的夹角不变

正交的曲线变换后仍然正交

这一点符合等流函数线

和等势线相互正交的特点

是保角变换法求解

不可压缩平面有势流动的基础

我们再来看看复势在保角变换中的变化

我们知道不可压缩平面有势流动的复势

其实部是势函数

虚部是流函数

它们满足柯西-黎曼条件

即复势是解析的

我们看看通过保角变换后

流动的复势是否仍然解析

问题就变为一个解析的复势

通过一个解析的变换函数

变换得到的另一个新的复变函数是否解析

已知ζ平面流动的复势为

w(ζ)=ф(ξ,η)+iΨ(ξ,η)

是一解析的复变函数

转换函数z=f(ζ)是解析的

其反函数

ζ=f^(-1)(z) =ξ(x,y)+iη(x,y)

也是解析的

代入W(ζ)可得变换后

z平面流动的复势

W(z)=ф(x,y)+iΨ(x,y)

下面我们来证明W(z)是解析的

那么由已知条件我们知道

证明

已知条件呢

我们知道

W(ζ)=ф(ξ,η)+iΨ(ξ,η)

这是解析的

这个解析呢

我们知道

它的实部和虚部

满足柯西-黎曼条件

所以∂Φ/∂ξ=∂Ψ/∂η

∂Φ/∂η=-∂Ψ/∂ξ

那么我们还已知

转换函数的反函数

ζ= ξ(x,y)+iη(x,y)

也是解析的

所以它的实部和虚部

也满足柯西-黎曼条件

也就是∂ξ/∂x=∂η/∂y

∂ξ/∂y=-∂η/∂x

这是我们已知的条件对吧

下面我们来证明

在这个前提下我们证明

W(z)=ф(x,y)+iΨ(x,y)

解析

就是转换后的复势

也是一个解析的复变函数

实际上就是证明

它的实部和虚部

是不是满足柯西-黎曼条件

即∂Φ/∂x

是否等于∂Ψ/∂y

对吧

∂Φ/∂y是否等于-∂Ψ/∂x

就是证明这两个关系式的成立

那我们首先看

∂Φ/∂x

它实际上等于什么呢

根据前边的关系式

它等于

∂Φ/∂ξ*∂ξ/∂x+∂Φ/∂η*∂η/∂x

那么

∂Ψ/∂y

实际上等于什么呢

同样的我们可以写成

∂Ψ/∂ξ*∂ξ/∂y+∂Ψ/∂η*∂η/∂y

好

现在我们来看这两个是不是相等的

实际上是相等的

比如说我们来看一下

∂Φ/∂ξ它等于什么呢

它等于∂Ψ/∂η

我们根据这个关系式

我们可以得到这两个是相等的

那么∂ξ/∂x呢

它等于什么

它等于∂η/∂y

这个呢

它等于∂η/∂y

等于这个

那么根据这个关系式

我们可以得到

同样∂Φ/∂η

它等于什么呢

它等于-∂Ψ/∂ξ

也就是说

这个它等于负的这个

根据这个关系式就可以找到

那么∂η/∂x呢

这个它等于-∂ξ/∂y

它等于负的这项

这个呢

我们是根据这个关系式得到的

负负得正我们知道

这两项是相等的

这两项是相等的

所以∂Φ/∂x=∂Ψ/∂y

我们就可以直接证明这个结果

同理可证

一样的道理

∂Φ/∂y=-∂Ψ/∂x

这是利用已知的它们之间的关系

同样可以证明这个关系式的成立

那么这样的话

我们就完成了

W(z)它的实部和虚部柯西-黎曼条件

这样的一个证明

所以W(z)

所以W(z)=ф(x,y)+iΨ(x,y)

就是解析的

也就是说

我们通过一个解析的转换函数

把已知的一个解析的复势转换后

得到的一个复势它也是解析的

可见保角变换后得到的复势仍然是解析的

其实部和虚部分别为

z平面上某流动的势函数和流函数

表明z平面的流动复势

可直接由变换函数的反函数

代入已知ζ平面的复势中求得

根据复速度的定义

ζ平面某点的复速度

V(ζ)=dW(ζ)/dζ

变换后z平面对应点的复速度

V(z)=dW(z)/dz

根据复合求导法有(1)式

即V(ζ)= V(z)*dz/dζ

驻点是流场中速度为零的点

根据变换前后复速度的关系

可知变换前后驻点不变

在z平面上

复势沿封闭曲线Cz的积分如(2)式所示

即复势沿封闭曲线Cz的积分

等于复速度沿封闭曲线Cζ的积分

根据变换前后复速度的关系可得(3)式

两个复数相等

实部和虚部分别相等

即速度环量гz=гζ

流量qz=qζ

这里速度环量和流量称为奇点强度

所以保角变换前后奇点的强度不变

本节我们学习了保角变换法的原理和特点

同学们务必掌握保角变换法的基本思路

以及保角变换前后复势

复速度和奇点强度的关系

以上是本节内容

下一节我们学习儒可夫斯基变换