边界层动量积分关系式在线视频

这一节我们学习

边界层的一种近似求解方法

边界层动量积分关系式

包括边界层动量积分关系式的推导

和平板层流边界层的求解

边界层方程虽然比N-S方程简单

但仍然是非线性的二阶偏微分方程

由于方程的非线性依然保留

故数学上仍难以求解

因此

人们不得不采用近似方法

求解边界层流动

在近似方法中

计算量较小、并在工程实际中

被广泛采用的是动量积分关系式

这个方法求解的思路

是从动量积分方程出发

而不是从边界层微分方程出发

这意味着该方法不要求每个流体质点

都满足边界层的微分方程

而只要求在边界层各断面上平均地

总体地满足边界层的动量积分方程

因此

这是求解边界层流动的一个近似方法

边界层动量积分关系式是将边界层方程组

在0到边界层几何厚度的区间上进行积分

如式(1)所示

再根据连续性方程和数学上的一些转换

可以得到用边界层厚度表示的

边界层动量积分关系式如式(2)所示

该式中τ0为平板表面处的切应力

该方程既适用于层流也适用于湍流

下面我们应用边界层动量积分关系式

进行平板层流边界层的求解

需要注意的是这里求解的是层流边界层

即采用平板长度计算的

最大雷诺数小于临界雷诺数

平板边界层流动处于层流状态

另外

设边界层外的主流速度V∞为常数

于是边界层动量积分关系式可简化为式(2A)

我们知道边界层动量积分关系式中

有边界层排挤厚度、边界层动量损失厚度

和平板表面处的切应力三个未知量

还需补充两个关系式才能封闭求解

首先根据平板边界层中速度剖面相似的流动

假设补充如式(3)所示的关系式

我们取n=3

可得到式(4)

其中a0、a1、a2和a3为待定系数

由边界层内外边界条件确定

要确定a0、a1、a2和a3四个待定系数

需要4个边界条件：在平板表面y=0处

vx=vy=0

代入边界层方程可得(∂vx)^2/(∂y^2)=0

在边界层上表面y=δ处

vx=V∞

∂vx/∂y=0

由上述4个条件可求出

a0、a1、a2和a3四个待定系数

代入式(4)得到第一个补充的关系式如式(5)所示

根据平板表面切应力的定义式对式(5)求导

可得到第二个补充的关系式如式(6)所示

将式(2A)、式(5)和式(6)联立求解

即可求出边界层几何厚度δ

边界层中x方向的速度vx

和平板表面的切应力τ0

先根据边界层动量损失厚度的定义式

可得δ**=39δ/280

将该式和式(6)代入动量积分关系式(2A)

并分离变量

进行积分可得式(7)

由边界条件x=0处

即平板前缘处边界层几何厚度为0

代入式(7)可确定积分常数C=0

所以求得的边界层几何厚度如式(8)所示

将求得的边界层几何厚度

代入平板表面切应力表达式(6)

可求得平板表面的切应力如式(9)所示

平板表面局部切应力系数如式(10)所示

将切应力沿平板长度进行积分

可得流体作用于平板单面的摩擦阻力

如式(11)所示

好

我们来看一个例子

这个例子说有一块长L=1m

宽B=0.5m的平板在水中沿长度方向

以V=0.45m/s的速度运动

这个平板是运动的

当然我们求解的时候

可以认为平板是静止的

这样水流呢

相对它一个速度

这个速度那也是V=0.45m/s

相当于也是一个平板绕流的问题

那么如果水的运动粘度μ告诉你

密度告诉你

让你去求这个平板所遭受的摩擦阻力有多大

注意这里的摩擦阻力应该是双面的

另外呢

这个平板也是有宽度的

所以求的时候要注意

那么这个呢？它还告诉你

按平板层流边界层处理

所以这个就简单了啊

那我们直接可以按照层流边界层的求解

来进行

这里呢

我们用动量积分关系式进行求解

所以呢首先

我们写出动量积分关系式

(dδ**)/dx+(2δ**+δ*)(1/v∞)×(dv∞/dx)=τ0/(ρv∞^2)

这里呢我们知道这个速度v∞

它是一个常量

所以呢

这一项就没有了啊

我们就可以简化成(dδ**)/dx=τ0/ρv∞^2

这里的δ**呢是动量排挤厚度

它等于0到δ

vx/v∞(1-vx/v∞)dy

所以呢

这就是这个平板层流边界层

所满足的动量积分关系式

我们知道

这里面有几个未知数呢？

有δ、τ0

还有什么？Vx

三个未知数

所以呢我们要补充两个关系式

第一个关系式

就是τ0它的表达式

等于呢∂vx/∂y

y=0

第二个关系式

我们可以补充一个速度分布的关系式

也就是vx/v∞

我们近似写成

a0+a1(y/δ)+a2(y/δ)^2+a3(y/δ)^3

我们可以写成这种形式

这样的话呢

这个动量积分关系式就封闭了

我们就可以进行求解了

那么求解的过程

我们在这个前面已经讲过了

这里不再累述

所以这里呢

我们直接用这个求解的结果

那么摩擦阻力FD

注意这是双面的啊

双面的那应该等于什么呢？

就等于2倍的0到L τ0(x)bdx

注意这个平板是有宽度的啊

所以这里要乘上b

好

那么τ0(x)可以根据动量积分关系式

可以求出来

带进来积分完了以后

实际上这个结果

我这里就直接写了啊

课上我们已经讲过了

所以呢

这里呢

它实际上就等于1.292倍的ρv∞b根号下(υLv∞)

这里面所有的参数

密度、v∞、宽度、υ、L都是已知的

带进来我们就得到这个结果等于0.195N

所以呢这就是这个例子

这个例子实际上所涉及的知识点

就是利用动量积分关系式

来进行平板边界层的近似求解

注意

需要补充关系式才能封闭

你仅仅只有一个动量积分关系式

是不能进行求解的

要补充两个关系式

通常呢

一个呢就是这个τ0的表达式

一个呢就是速度的表达式

好

以上就是这个例子

本节学习了边界层动量积分关系式

以及如何应用边界层动量积分关系式

求解平板层流边界层流动

同学们应掌握

边界层动量积分关系式及其应用

包括针对具体的边界层流动

来封闭动量积分关系式

以及运用边界层动量积分关系式

进行边界层几何厚度δ、边界层中x方向速度vx

和平板表面切应力τ0

切应力系数Cf以及平板所受摩擦阻力的求解

以上为本节内容

下一节我们学习边界层的分离及减阻