Navier-Stokes方程在线视频

这一讲我们解决上一讲

应力形式动量方程的封闭问题

学习Navier-Stokes方程

包括广义牛顿内摩擦定律

和Navier-Stokes方程

以下简称N-S方程

广义牛顿内摩擦定律反映了

应力和应变率之间的关系

可以封闭应力形式的动量方程

是建立N-S方程的基础

广义牛顿内摩擦定律适用于牛顿流体

所谓牛顿流体

其粘性应力张量和变形率张量间

具有线性各向同性的函数关系

我们首先来看切应力与角变形速度的关系

角变形又称剪切变形

在三维流动中

三个坐标平面的角变形速度如下

推广牛顿粘性公式到三维流动当中

则可得切应力与角变形速度的关系如下

即切应力与角变形速度成正比

下面我们来看看

正应力与线变形速度之间的关系

正应力由热力学压强

由体膨胀率引起的各项同性粘性应力

和由运动变形率引起的粘性应力组成

满足如下关系式

对于不可压缩流体体膨胀率为0️

则正应力满足以下简单形式

对于理想流体或静止流体

则正应力为热力学压强p

至此

1个连续性方程+3个运动方程

+6个应力方程共10个方程

求解3个速度分量、6个应力分量

和1个热力学压强共10个未知数

应力形式的方程组得到了封闭

理论上可求解

把得到的切应力和正应力表达式

代入应力形式的运动方程

即可得到N-S方程

直角坐标系下的N-S方程如下

该式即为粘性流体的运动微分方程

加上连续性方程

得到我们通常所说的N-S方程

适用于一切牛顿流体

方程左边为单位质量流体的惯性力

右边依次为

单位质量流体的质量力、压力和粘性力

对于不可压缩流体

体膨胀率为0

则N-S方程可简化为以下形式

加上不可压缩流体的连续性方程

即可得到不可压缩流体的N-S方程

N-S方程为二阶非线性偏微分方程组

目前在数学上还无法求得其精确解

因此无法直接用于求解实际的流动问题

我们来看一个例子

这个例子说 已知不可压缩粘性流体

平面流动的速度分量为：vx=Ax

vy=-Ay

A为常数

那么试求：第一个应力pxx、pyy

这是正应力pxy

pyx这是切应力

第二个呢

它说假设忽略质量力和外力作用

且x=y=0处的压强为p0

然后呢

去求压强分布的表达式

好

从题目的已知条件来看

这是一个不可压缩的粘性流体的平面流动

那么我们已知

速度vx=Ax vy=-Ay

A为常数

那么首先它要求这个应力

应力的话

我们可以直接根据应力的表达式

来进行求解

比如说正应力pxx

那么对于不可压缩流动来说

它等于-p+2μ(∂vx/∂x)

那么代入已知的流动

这里就等于-p+2μA

这里的p就是热力学压强

那么pyy？另外一个正应力呢

它等于-p+2μ(∂vy/∂y)

那么代入已知的流动

它等于-p-2μA

这是正应力

那么切应力pxy=pyx

等于什么呢？等于μ(∂vy/∂x+∂vx/∂y)

那么代入已知的速度场

显然它是等于零的

这样我们就求出了这几个应力表达式

下面呢

我们来求这个压强分布

注意这里是忽略质量力和外力作用的

那么由于这里是粘性流体的流动

所以它的流动是满足N-S方程的

注意这里不能用伯努利方程来进行求解

对吧

因为它不满足伯努利方程成立的条件

所以这里呢

我们应该用N-S方程进行求解

那我们来看x方向上的动量方程

那就是dvx/dt=∂vx/∂t+vx(∂vx/∂x)+vy(∂vx/∂y)

=-1/ρ*(∂p/∂x)+υ[(∂vx)^2/∂(x^2)+(∂vx)^2/∂(y^2)]

这是一个二维流动

这是x方向上的动量方程

那么y方向上的动量方程

同样地dvy/dt=∂vy/∂t+vx(∂vy/∂x)+vy(∂vy/∂y)

=-1/ρ*(∂p/∂y)+υ[(∂vy)^2/∂(x^2)+(∂vy)^2/∂(y^2)]

这是二维不可压缩的N-S方程

这里呢

我们根据已知的流场对N-S方程进行简化

那么首先vx呢

它和时间没关系对吧

所以这一项呢没有

然后呢vx呢

它和y没有关系

所以这项也没有

另外它只是x的一次的关系

所以这项也没有

那么这项也没有

y方向vy呢和时间没有关系

所以这项没有

vy只和y有关系

和x没有关系

所以这项也没有

那么右边呢

这个二阶导显然也没有的

对吧

这个也没有

所以最后我们这个方程就简化成什么呢？

我们把已知流动代进来

比如说x方向上的这个速度

我们代到第一个方程

那么实际上vx就是Ax ∂vx/∂x呢

就是A

所以呢就是(A^2)x

这x方程左边就是这个

右边呢

就剩下-1/ρ*(∂p/∂x)

那么y方向呢就变成什么呢？

vy是-Ay

∂vy/∂y是-A

那么乘在一起就是(A^2)y

右边呢就剩下-1/ρ*(∂p/∂y)

那么积分这个

我们可得p=-1/2*ρ(A^2)(x^2)+f(y)

这个f(y)是积分的常数

然后呢

把它代到这里面去

我们就可得到

f'(y)它等于什么呢？

f'(y)就等于-ρ(A^2)y

那么积分以后呢

我们就可得到f(y)就等于-1/2*ρ(A^2)(y^2)+C

再代回到压力表达式里面

我们就得到压力p就等于什么呢？

等于-1/2*ρ(A^2)(x^2+y^2)+C

这个C呢

是积分常数

那我们利用已知的

p(x=0, y=0)处它的压强为p0

代入到这个所求的这个压力表达式里面去

我们就可以得到C呢

就等于p0

所以最后我们的p就等于

p0-1/2*ρ(A^2)(x^2+y^2)

这样就求出了这个压力分布

这个例子呢

实际上所涉及的知识点

第一个就是应力的表达式

而且对于粘性流体流动来说

它的应力是和变形速度有直接的关系的

所以呢

要掌握应力的表达式

另外一个呢

就是利用N-S方程来求解具体的流动

根据具体的流动进行一个简化对吧

这里是已知速度

那么可以把这个速度代到这个方程里面去

这样的话

那我们就可以得到简化的N-S方程

来求出这个压力

好

以上就是这个例子

本节围绕应力形式动量方程的封闭问题

学习了广义牛顿内摩擦定律

建立了应力与变形速度之间的关系

包括切应力与角变形速度的关系

和正应力与线变形速度的关系

在此基础上得到了封闭的动量方程

即N-S方程

本节应掌握应力与变形速度的关系

以及N-S方程中各项的物理意义

以上就是本节内容

下一节我们学习运用

N-S方程求解库埃特流动