奇点分布法求解平面叶栅流动在线视频

　　

这一节我们学习如何用奇点分布法求解平面叶栅流动

内容包括平面直列叶栅的旋涡系模型及诱导速度

用奇点分布法求解薄翼直列叶栅绕流问题的基本方程以及直列叶栅绕流正反问题的求解过程

为了方便奇点分布法的求解

首先建立平面直列叶栅的旋涡系模型并求出其诱导速度

建立如图所示坐标系OUZ 其横坐标为u轴沿列线方向

纵坐标为z轴取栅轴方向

栅中每一叶型以沿弧长s以γ(s)分布的涡层代替

用平行于列线的一系列直线分割涡层形成一系列涡层微段

强度为γ(s)ds 形成了以γ(s)ds为点涡 相距为t的涡层

无穷个涡层所组成的旋涡系即为叶栅的流体动力学模型

第一步我们来求上述旋涡系中无限长单一涡列对任意点的复势 如图所示

在该旋涡系中任选一涡层

并在此涡层的某处s 坐标为w=u+iz 取一微分涡层ds

所取微元段ds上的环量为dг=γ(s)ds

它可视为一强度为dг的单一涡点

与s处于同一列各相应点的坐标分别如（1）式所示

各点相距为栅距t

位于所有翼型的同一位置上的点涡构成了无限长单一涡列

根据势流叠加原理 这一单一涡列在w平面上任意点w0处所形成的复势如（2）式所示

对该复势求导可求得无限长单一涡列对任意点w0处的诱导速度如（3）式所示

分开实部和虚部 可得单一涡列在点w0处的诱导速度如（4）式所示

积分（4）式可得整个涡层系在点w0处的诱导速度 如（5）式所示

（5）式就是所有翼型上的涡系对任意点w0的诱导速度

可以发现当待求速度的点位于某翼型上时

以上积分变为0/0的不定式积分

为了计算这个积分 需要进行以下分解

将所有涡分为两个部分：

一部分涡位于w0所在的翼型上 将该翼型称为基本翼型

其余翼型则称非基本翼型

这样叶（翼）栅上的涡系对w0的诱导速度分为了两部分

如（6）式所示 其中v1为基本翼型上的涡对w0的诱导速度；

v2为非基本翼型上的涡对w0的诱导速度

下面分别求这两个诱导速度

当点w0位于某翼型骨线上S0点时 称该翼型为基本翼型

基本翼型上单个涡对S0的诱导速度可由

比奥-沙伐尔公式求得 见（7）式

该速度在u z轴上的分量如（8）式所示

当翼型弯度不大时 可认为翼型各点的安放角β在整个翼型上变化不大

代入（8）式积分后得到（9）式所示的基本翼型上分布涡的诱导速度

如图所示 该速度v1还可以分解为（10）式所示的法向分量和切向分量

在无限长涡列的诱导速度中减去基本翼型上的涡所产生的诱导速度

就是非基本翼型上的诱导速度 见（11）式所示

其中a和b的表达式如（12）式

积分（11）式可得非基本翼型上所有涡对S0点的诱导速度 如式（12）所示

将诱导速度分成两部分后 当S趋于S0时 被积函数不再是0/0 而是0

这样式（5）中的不定积分问题得以解决

求得叶栅涡系的诱导速度后 我们来建立用奇点分布法求解薄翼直列叶栅绕流问题的基本方程

根据奇点分布法思路

叶（翼）栅绕流速度场应为由无穷远来流与涡系诱导速度场的叠加

叠加后速度的两个分量如（13）式所示

该合成速度矢量应满足翼型的表面为流线的边界条件

或者说其表面各点速度的涡层的法向方向的分量为零 即wn=w∞n+vn=0

代入w∞n和vn 可得求解叶栅绕流问题的边界条件方程如（14）式所示

其中β∞为无穷远来流与叶栅列线的夹角 β为翼型中弧线之切线与列线的夹角

将（14）式中涡的法向诱导速度vn分解为基本翼型上涡的法向诱导速度和非基本翼型上涡的法向（诱导）速度来求解

为此环量密度采用如（15）式所示的形式 一般在实际工程中 只取前四项

将（15）式所示的环量密度分布规律代入式（10）中

即可计算出基本翼型上涡的诱导速度如（16）式所示

对非基本翼型上涡的法向诱导速度可采用数值积分

将环量密度分布规律代入（12）式并利用数值积分公式

将翼型分6段进行计算

可得非基本翼型上涡的诱导速度v2u和v2z的数值解

再转换为法向速度即可求得非基本翼型上涡的法向诱导速度

将上述速度代入边界条件方程（14）

可得到一个关于系数A0 A1 A2 A3 A4和β角的方程（17）

运用该方程可求解叶栅绕流的正问题和反问题

对于叶栅绕流的正问题 其提法是已知翼型几何形状和无穷远来流条件

求绕流场速度场 叶（翼）栅受力特性等 正问题的求解过程是

第一 首先在薄翼翼型骨线上任取5个点 用来确定5个待定系数

第二 将每点在翼弦上的相对位置S0代入式（16）和非基本翼型上涡的法向诱导速度表达式

求得包含5个待定系数的各诱导速度表达式 并代入式（14）中

就可获得关于5个待定系数的5个代数方程

第三 解这5个代数方程

即可获得环量密度分布的系数A0 A1 A2 A3 A4

这样环量密度分布就被确定了

最后再由此环量密度分布计算出任意点的诱导速度

并与无穷远来流速度叠加

即可获得绕流流场中任意点的速度

作用于叶栅上的流体力的求法：先求出围绕一个翼型的环量г

然后根据儒可夫斯基升力定理求升力 与薄翼理论的结论相同

此环量只与γ(s)的傅立叶级数的前两项系数A0与A1有关

其它系数只影响表面速度分布形式

叶栅绕流反问题的求解

叶栅绕流反问题的提法是：

已知无穷远来流条件及部分翼型几何形状

求满足一定环量要求的薄翼的几何形状及其安放角

即给定下列条件：

1 叶栅稠密度 b/t；

2 叶片数Z

3 无穷远来流速度w∞；

4 绕栅中叶型的环量г

求满足环量要求的薄翼的几何形状及其安放角βs

由于设计叶栅须计算合成流场

要计算合成流场则须先计算涡层的诱导速度场

而要计算诱导速度场则又必须先给定叶型形状及其安放位置

即先给定叶栅 故流场与环量密度分布γ(s)互为相关

因此 计算过程需要逐次逼近获得

计算反问题的基本方程仍为（14）式

具体计算过程可分以下几步进行：

1 初步选定环量密度分布γ(s)

2 给定第一次近似的叶型及叶栅 与来流叠加求出绕流流场；

3 利用（14）式确定第二次近似叶型及叶栅；

4 对第一次近似叶型和第二次近似叶型进行收敛性判断

如不收敛则重复步骤2和步骤3 直到收敛为止

这一节我们学习了如何应用奇点分布法来求解平面叶栅流动

同学们应掌握求解的奇点分布法求解叶栅绕流正问题和反问题的思路

不需要死记硬背相关公式

以上是本节内容

下一节我们来回答本课程开始时提到的几个问题