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同学你好

今天我们讲一下ts图和熵的统计意义

什么是ts图呢

TS图就是以温度T为纵坐标

以熵S为横坐标

表示物质变化过程的图

我们把它称为TS图或者称为温熵图

这里从状态A变到状态B

就可以用这样的TS图来表示

根据熵的定义式DS等于QR比T

这样可逆热QR就等于TDS进行积分

这个式子只受可逆过程的限制

因为它是熵的定义式

所以对于任何一个可逆过程都是适用的

可逆热都可以通过ts的乘积来求

那么在温熵图上

就可以很容易地得到可逆热了

我们以前还知道

热还可以通过CDT进行积分来求

对于恒压热就是CP

对于恒融热就是CV

那么这个热呢

这些公式对于等温过程就不适用

因为我们知道等温过程

也可以有能量的交换

所以等温过程Q不一定为零

但是通过我们这个可逆热

用T乘以DS来求可逆热的话

就同样适用于等温过程

可以用T乘以也就是S2减S1来求

TS图的一个重要应用

就是可以来解释一下卡诺循环

这是我们以前讲的卡诺循环的PV图

它由从A到B的恒温可逆膨胀过程

和从D到C的绝热可逆膨胀过程

以及从C到D的等温可逆压缩过程

和从D到A的绝热可逆压缩过程完成

那么在ts图上

我们卡诺循环就变得比较简单了

因为A到B是要恒温过程

所以是一个横轴的平行线从A到B

从B到C我们知道

绝热可逆过程Q等于0

DS等于QR比T所以DS等于0

也就是熵不变

所以从B到C是一个等熵的过程

它是一个纵轴平行线

同样CB是横轴平行线压缩过程

BA这个压缩过程是一个纵轴平行线

这样卡诺循环就由PV图上的

一个菱形图

变成了TS图上的一个长方形的图

那么在PV图上循环热机的效率

就等于ABCDA这个菱形的面积比上

ABC曲线下面的面积是热机的效率

在ts图上

就是这个长方形的面积

比上AB曲线下的面积

就是热机的效率

同样对于任意一个循环

ABCD这样一个圆弧

我们可以沿A和C

分别作纵轴平行线

沿B和D分别作横轴平行线

这样我们发现

这个EGHL这个长方形

就代表了我们刚才介绍过得卡诺循环

那么里面的圆弧就是任意一个循环

那么圆弧它所做的功

就小于这个长方形它所做的功

那么也就代表了卡诺定理

任意一个循环的效率

只能小于卡诺循环的效率

下面介绍一下熵和能量退降

热力学第一定律表明

一个实际发生的过程

它的总能量是不变的

热力学第二定律告诉我们

在一个不可逆的过程中

系统的熵是增加的

系统的总的能量不变

但是系统的熵值增加

我们根据热力学第一定律

那么总能量不变

也就是不变的

那么熵值增加在等温的时候

Q是增加了

Q是增加了

所以做功的能力是降低的

那么我们把这种现象就称为能量退降

能量退降的程度

它与熵的增加是成正比的

能量退降我们还可以从

另外一个例子获得证明

有三个热源

TA大于TB大于TC

那么在这三个热源之间

有两个可逆热机一个是R1

他在TA和TC之间工作

另一个可逆热机

它在热源TC和TB之间工作

我们可以假设有一部分热Q

直接从热源TA通过导热体

传热给热源TB

TB这个热机就正好

从TB吸收了这些热量Q

对外做功W2同时放热给低温热源

Q减去W2的热量

在这过程中热机R1是从热源

TA吸收热量Q对外做功W1

同时放热给低温热源Q减W1的热量

那么热机R1他所做的功

也就是最大功就等于W1等于

Q乘以一减TC比TA

等于Q减Q乘以TC比TA

因为热机的效率等于

所以我们根据热机的效率得到的这个式子

同样对于热机R2他所做的最大功为

W2等于Q乘以一减TC比TB

等于Q减去Q乘以TC比TB

那么W1减去W2

就等于TC乘以Q比TB

减去Q比TA

TB是小于TA的

所以这是大于零的

Q比T是热温熵等于

所以等于TC乘以大于零

W1大于W2这说明什么呢

说明在热源TA和TC之间

工作的热机的效率

要大于在热源TB和TC

之间工作的热机它的效率

那么热源TB的温度

是小于热源TA的温度的

之所以这些热机的效率低

是由于它的高温热源的温度比较低

这就说明同样吸收了热量Q

同样都是吸收的热量Q

但是从更高的热源

吸收的热量Q比从更低的热源

吸收的热量Q具有更大的做功能力

这就是我们所说的能量退降

就是温度越低的热源

它做功的能力越差

下面介绍一下热力学第二定律的本质

对于一个近独粒子体系

所谓的独立体系

也就是忽略了粒子间的相互作用

我们设有N个可以区分的粒子

那么这N个粒子

它具有不同的排布方式

那么这个能级上可以有NI个例子

N个粒子它可以分布在不同的能级上

每个能级是NA个所以N等于

那么每一个粒子它

存在于这个这个能级上

所以它的能量就是

粒子所具有的能量

那么它除了I上的例子之外

其余的能级上仍然有例子

所以它系统的总能量

就是对所有的进行求和

那么我们把这个

内能的表达式进行全微分

DU就等于积

积的微分等于2相微分之和

又根据热力学第一定律

所以第一项是什么呢

第一项是所有能级上的粒子数不变

那么能级的能量能级的能量

这个代表功

第二项是能级上的能量不变

而粒子数目发生变化

这一项代表的就是热

因为功是一个有序的运动

热是一个无序的运动

有序的运动变成无序的运动

是一个自发的过程

那么无序的运动变成有序的运动

却是一个不可能自动发生的过程

是一个不可逆的过程

那么一切不可逆的过程

都是向着混乱度增加的方向进行的

熵就是混乱度的一种量度

在隔离系统中

有比较有秩序的状态

相比较无秩序的状态变化是自发进行的

那么这就是热力学第二定律的本质

下面介绍一下熵的统计意义

玻尔兹曼公式

热力学概率就是实现

某种宏观状态的微观状态数

混乱度越大

那么熵也就是越大

我们举个例子

有四个不同颜色的小球

放到两个盒子里

这两个盒子是可以区分的

小球颜色不同也是可以区分的

所以它的分布方式就有以下这五种

那么对于一个盒子里含有四个小球

另一个盒子里不含有小球这种排布方式

那么它的微观状态数只有一

由于两个盒子是可以区分的

所以第一个盒子含有四个

和第二个盒子含有四个也是不一样的

所以它们分别有一个微观状态数

同样第一盒子里有三个小球

和第二盒子里还有三个小球

又有相应的微观状态数分别为四

那么第一盒子里

和第二盒子里分别有两个小球

有六种微观状态数

也就是说有六种排布方式

那么现在二和二的这六种排布方式

和我们这个三和一的这四种排布方式

任何一种相结合

又构成一个新的微观状态数

那么这4×6就有24微观状态数

所以也就是说微观状态数之间

是一个乘积的关系

熵是混乱度的量度

也就是微观状态数的一个函数

而微观状态数之间是乘积的关系

也就是不同的微观状态数

它统一出现的概率是一个乘积的形式

熵我们知道是有加和的关系

熵是一个容量性质

所以总的熵等于各个体系的熵的和

那么为了表示出这样的关系

我们就发现只能用自然对数来表示

就是熵是和微观状态数

自然对数成正比的

这个比例系数我们就用K来表示

这K乘以L就等于气体常数R

K我们把它称为玻尔兹曼常数

熵具有统计意义

是系统微观状态数的一个量度

那么我们从这个

就可以得出定量的统计意义

这节课就介绍到这里