1.1.2 复数的模长与辐角在线视频

欢迎来到复变函数课堂

今天我们给大家介绍了一下

复数的模长和辐角

在上一讲中

我们已经把复数集 复平面以及有序数组R2

还有平面上的所有向量的全体

这四个对象给它视为同一个对象不加区别

那么有了复平面的概念

实际上我们就可以把复数

用向量来去表示

所以在复平面上我们把z等于a+bi

表示成这样一个向量OP

这时候大家看到OP

当P是非0的时候

它有长度的概念也有角度的概念

从集坐标的角度来考虑

我们就可以定义

这个复数的长度或者叫模长

或者称为大小长度以及绝对值

也就是向量OP的长度

当然了它用直角坐标来写的话

正好就是a的平方加b的平方开根号

那么这个以后我们就把它记成z的绝对值

或者叫z的模长当然了模长是非复的

其次我们还可以定义

它的辐角也就是让x轴的正向

正向和OP向量它的夹角

这个记为复数z的辐角

当然这里有个前提z不等于0的时候才有意义

一般记成Argz

大家需要注意

在这里写的是大写的Argz

也就是比方这个是1+i

这时候你可以取π/4

也可以取π/4

加上2π的整数倍

所以这是一个多值的函数

需要注意的是

0这个复数它的模长为0

但是0没有辐角

比较特殊的一个复数等于0

只需要验证它的模长是0就可以了这是等价的

但是一旦涉及到辐角的概念

z一定不能是0

第二个方面

对于平面上的任何一个非0复数

它一定有唯一的模长

但是它的辐角是无穷多个

也就是给定一个角

再加上2π的整数倍

我们把满足角度大于-π到+π

这样一个左开右闭区间上的一个辐角值

称之为大写的Argz的主值

记为小写的argz

有时候也用小写的argz代表特定的辐角

于是我们就可以导出

大写的Argz

实际上是argz与2π的整数倍之和

构成的一个集合

所以这是一个多值的函数

第三个方面考虑z的共轭

由于它和z是关于x轴对称的

所以z共轭的辐角

和z的辐角之间

是互为相反数的

另外一方面如果我们把z

乘以一个大于0的实数α

其辐角是不变的

最特殊的一个结论是

这样一个结果

也就是z共轭的大写的辐角

是等于z大写辐角的相反数

这个意思是说

左边集合中任给一个源

在右边一定存在唯一的一个源与之对应

反过来也是这样的

下面我们来看一下

如果考察在辐角和模长的意义下

两个复数相等

它的判定条件也就是z1和z2

如果是非0的时候它们相等

当且仅当对应的模长相等

辐角相等那么尤其注意

z如果是0的时候

我们就不用辐角

z等于0当且仅当z的模长为0

下面我们来看一下

辐角的具体求法

对于复平面上任意给定一个点

也就是一个复数z等于x+iy

我们知道这里的arctany比上x

它的范围是介于负π/2

到π/2之间

那么在这边是相当于从-π/2到π/2

在这边和这边

大家根据这个符号

可以确定它的范围

在这边根据符号可以确定具体的值

我们来看如果x大于0

也就是在右半平面

这时候考虑当y大于0时

我们考虑第一象限或者y小于0

第四象限

那么这时候由于Arctany/x

和辐角的范围是一致的

所以直接取arctany/x

第二种情况

就是如果我们考虑的是x等于0

就是整个虚轴上

那么y如果大于0时

这个辐角是π/2

y小于0就是-π/2

第三种情况考虑左半平面

来看一下第二和第三象限

当x是小于0的

y如果大于0的时候

这边由于arctan y/x

这是负的所以它是一个0

-π/2到0之间的这个值

但是实际上 这里和这个辐角主值和它

相差一个π

所以我们需要在这个arctany/x后面加上π

而第三象限

这时候arctan y/x是介于0到π/2

而我们规定的辐角主值

是-π/2到

是-π到-π/2的

所以我们需要在这个地方

减上一个π 就是这样一个结果

最后如果考察y等于0

就是实轴上

我们看一下在正半轴是0

负半轴取的是π

这是关于argz主值的求法

下面我们来看一下模长

所具有的一些性质

首先就是任意复数模长非复的

而且z和z的共轭模长是一样的

都是实部的平方加虚部的平方开根号

其次就是z和z的共轭

它的乘积是模长的平方

第三个我们来看一下

这个重要的模长关系式

就是z1加减z2的模长平方

是等于z1的模长平方

加z2的模长平方

再加减2倍的z1乘z2的共轭的实部

或者2倍的z1共轭乘z2的实部

这个我们待会儿再证明

由这个式子

我们很容易推出第四个结果

也就是说如果写成z1+z2的模长平方

再加z1-z2的模长平方

那么这时候

这里一个正的一个是负的

一加正好抵消掉

变成2倍的z1模长平方加z2模长平方

这个几何意义很明显

是平行四边形对角线的平方和

正好是相邻两边平方和的2倍

或者叫四边的平方和

下面我们给第三个等式做一下证明

证明方法

直接代入就可以了

也就是模长平方是等于一个复数

乘以它的共轭

然后我们根据先运算再共轭

等于先共轭再运算

按照多效式展开

得到这样一组结果

而这里z1乘z1的共轭是z1的模长方

z2乘以z2的共轭是z2的模长平方

这个式子正好是我们刚才的例题

已经学过的一个例题

也就是说它两个之和是2倍的

z1乘z2的共轭的实部

或者是z1共轭乘以z2的实部

这样一个结果那么这样的话

就证明了第三个等式

下面来看一下模长的不等式

也就是说

对于给定的复数z等于x加iy

在直角三角形中OZ这个模长是R

xy是两个直角边 这个是斜边

所以直角边的边长不会超过斜边

就得到了实部虚部的模长

不能超过z的模长

也就是实部虚部的绝对值

不能超过z的模长

另外一方面

两个直角边的和

要大于等于第三边

所以具有这样一个结果

这是很直观的

下面我们来看一下

利用z1z2的具体代数表达式

代入以后

很容易证明这个结果

就是说乘积和除法运算再取模长

和先取模长再运算

结果是一样的

第三个方面

大家看一下这个三角不等式

也就是说

如果考察在这样一个三角形中

这是z1向量

这个代表的是z2向量

那么这个向量

代表的就是z1+z2

很显然两边之和要大于等于第三边

这就是z1的模长加z2的模长在这

要大于等于第三边

就是z1+z2的模长

这里是z1-z2也有

那么z1的模长减掉z2的模长

就是两边之差要小于等于第三边

就得到这个不等式的左边

当然这里我们用z1-z2的模长

代表z1-z2这样一个向量它的距离

或者是两点之间的距离

当然这里我们用z1-z2的模长

代表点z1到z2的距离

当然它也可以表示z1-z2

这个向量的模长

这是一个概念

下面我们把这个不等式

给大家证明一下

一方面是刚才讲的

三角形的三边之间的关系

另一方面

我们还可以利用代数的方法

来去证明

比方说我们来证明这个式子

你把z1和z2这个相应的关系式

代到这里面

我们知道z1+z2的这个模长平方

是这样的有这个式子

这是刚才的三式

然后再利用实部绝对值不能超过模长

就这个式子就可以得到下面这个结果

当然这个结果正好两边把平方去掉

是我们要证的这样一个式子

这也是可以的

一种是几何意义的证法

一种是代数的方法

一般情况下我们可以把这里的

这个复数的个数从两个

推广到有限个

这个证明方法

就用数学归纳法是比较容易做的

留作一个习题

大家自己操作一下

下面我们来看一个例子

假定α和β是两个复数

如果α乘以β等于0

结论是α和β中间至少有一个为0

这个就是实数中的一个结论

可以完全推广到复数域中来

这个证明是利用z等于0

当且仅当z的模长为0就可以了

首先由于α乘以β是0

所以我们就可以推出

这两个乘积的模长

也就等于两个模长乘积是0

根据实数的运算规律

两个数的乘积为0

至少有一个为0

所以容易推出

α的模长或者是β的模长等于0

于是我们就推出

α等于0或者β为0就证完了

所以这个是实数的结论

可以直接搬到复数中来的一个例子

当然我们讲实数的大小不能比较

还有很多复化之后不一致的

到后续再给大家介绍

相应的作业

请大家参考一下课程的平台

这一节课就上到这里