1.2 复平面上的点集在线视频

欢迎走进复变函数课堂

这一讲我们将介绍

复平面上的点集

一些相关的概念

这些内容

大家在数学分析中

已经有所学习

我们今天共同来复习一下

首先

要介绍的是点的邻域

这个重要的概念

在复平面内

任给一点z0

我们考察到z0的距离

小于ρ的所有的这些点

那么把这些点称之为z0为心

以ρ为半径的圆

但这里的圆是指圆盘

我们把它记成Nρz0

这里z0是圆心 ρ是半径

就称这样的一个圆盘

所组成的点称为z0的ρ邻域

然后如果考察把这个z0挖掉

还是这些点

去掉z0

也就是说

这个到z0的距离是大于0小于ρ

这些点的全体

称之为z0的ρ去心邻域

或者叫z0的去心ρ邻域

记之为Nρz0减去z0

这个概念是后续

关于开集闭集

以及其它相关概念的基础

下面我们就利用不同的标准

把复平面上给定一个点

在这里我们看

地图所围成的这些点

如果称为集合E的话

以这个E作为参照对象

把复平面上的点分成不同的类型

第一个标准

分出的点是内点

界点和外点

那么这个标准主要是看

该点是否有一个邻域

完全含在E中

如果完全含在E中

这种点大家看

假如过z0这一点

正好有一个小ρ邻域

当然这个半径可以足够小

这个邻域完全含在E中

我们就称这样的点是E的内点

对于这个地图而言

其实这个就是地球的

地图里面的内部的一个点

这叫内点

反之

如果存在一个点

这个点正好有一个邻域

整个邻域都不含在E中

就像这种情况

我们就称这样的点

是E的外点

这个就相当于国界之外的这些地方

那假如对z0的任何邻域

就是说任意的邻域

不管这个半径取的有多小

这个邻域既有E中的点

像这样一个

这个邻域中交E是非空的

同时它又含有非E中的点

就是EC

E的补集中的点

而且对于任何邻域

都有这样的一个事实

我们就称这样的点

是E的界点

那么E的内点的全体

称为内部

界点的全体称为E的边界

记成它是E

那么这个我们把内点全部取出来

如果一个集合它的点

都是内点的话

大家看定义1.3

就是每个点都是内点

它的边界都不要了

一个集合所有的点都是内点

那么这种集合

我们称之为开集

也是比较开放的

边界不要了

这是第一类

那么在这种标准下

分出的点

针对E而言

分为E的内点 E的界点和E的外点

然后这是看是否存在一个邻域

完全含有

含有E这样一个标准

下面我们考察第二个标准

就是换一个标准

得到另外三组

也就是说第一

考察给定一个点之后

这个点可能在E中

也可能不在E中

如果这个点的任何一个邻域

都有E中无穷多个点

那么我们就称这个点是E的聚点

或者是极限点

其实说明E

z0点它的附近聚集着

E中无穷多个点

这就是聚点

那么第二种情况

如果z0本身是在E中的

它落在E中

但是却不是E的聚点

也就是说

能够找到一个小的邻域出来

使得这个邻域只

这个邻域中只含有z0

是E中的点

其他的点都不是E中的点

那么这时候z0称为它的孤立点

当然它这个图实际上是有一首歌

叫作老鼠爱大米

如果我们把老鼠和大米规定为E

集合E

那么这时候假如这个大米是独立的

一粒一粒分布的

那么每一粒大米

都是这个集合E的孤立点

它是孤立0的

这个邻域中只有这一个点在E中

就这意思

好 如果这个z0

既不在E中

又非E的聚点

不在E中说明它肯定不是孤立点

又非聚点

那么这时候

就称为E

z0是E的外点

所以在看z0的周围是否聚集着

E中无穷多个点

在这样一个标准下

我们把平面上的点集

分成了聚点 孤立点

以及外点

针对E而言

这三类

那么我们把所有的聚点

E的所有聚点用E’来表示

表示成它的导集

那么假如说一个集合

它把所有的聚点都包括在自己里面

那么这样的集合

就是封闭的

我们称之为闭集

或者说E’包含在E中

就可以了

这是闭集

那么开集闭集

它的核心是邻域

下面我们来看一下

如果给定一个集合E

我们能够找到一个正整数M

使得E中它的点

都满足一个关系

就是这个点的模长

都要小于等于M

也就是说

整个集合E被某一个以原点为心

以M为半径的圆盘所覆盖住

这时候就称集合E

是一个有界集

否则的话

我们就称为E是无界集

也就是它不能被

任何一个圆盘给覆盖

这叫无界集

这是在平面集合

平面

这是复平面上关于点集的

几个常见的概念

那么以下

我们来考察一下

聚点的不同定义方法

这些方法都是等价的

证明可以参考数学分析里面

在实数域中聚点的定义

首先z0是聚点

或者是E的极限点

它的定义是说

z0的任何邻域

都含有E中无穷多个点

这是定义

当然这时候

z0可以属于E

也可以不属于E

第二个说法是z0的任何邻域

都会含有E与z0的另外一个点

E与z0的

E中的另外一个点

这就是无穷多个点

当然可以找到另外一个

E与z0的点

这是可以推出来的

第三个是说

z0的任何一个邻域

都含有E中的两个点

这也是可以的

那我们就可以

把邻域半径逐渐缩小

就可以在给定邻域内

找到含有E中无穷多个点

这是可以证明的

第四个

第五个

第五个就是

真正的极限点的来源

也就是说

如果z0是E的一个聚点

或者叫极限点

那么当且仅当

我们可以在E中

找出一个点列

使得这个点列以z0为极限

也就是说

对于任意充分小的ε大于0

一定会存在一个依赖于ε的正数N

使得当n这个下标啊

比N大的时候

我们恒有z到z0的距离

可以小于事先给定的ε

那么这时候

z0是称之为

称为E的聚点或者叫极限点

这节我们重点介绍了

复平面上点集的相关概念

在不同的标准下

整个复平面的集合

可以分成不同的点的类型

所以

在考试的时候

常常会出现内点是不是聚点

或者聚点是不是内点

这样的判断

其实

在第一个标准下

也就是说

看是否存在这个点的邻域

含在E中

可以把集合

点集分成了三类

也就是如果有邻域完全含在E中

称这个点是E的内点

如果有邻域完全含在外部

E的外部

就称它是外点

如果对于任意的邻域

它既含有E中的点

又含有E c中的点

那么就称之为界点

所以在第一种标准下

分成了三类

如果考察这个点的周围

是否聚集着E中无穷多个点

就可以把整个复平面上的点

分成三类

一类是E的聚点

一类是E的孤立点

一类是E的外点

所以外点始终是一致的

但是聚点 孤立点和内点 界点

它们的界限是有区别的

大家注意

所以

内点一定是聚点

但是聚点有可能是界点

也就是非孤立的界点

这是它们之间的逻辑关系图

这节的作业

参考我们课程的平台

好 这一节就上到这里