3.4.2 解析函数与调和函数的关系在线视频

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本讲我们将继续学习

解析函数与调和函数的关系

重点看一下知U求V

或者知V求U

使得U+IV解析的方法

在上一讲里面我们已经说过

这样一个定理

就是假如U是单连通区域

D内的调和函数

那么我们一定可以找到一个V

以这种曲线积分的方式给出来

使得U+IV是D内的解析函数

那这个方法我们称之为

曲线积分的方法

而前提U或者V

作为已知的函数

一定是调和函数

否则它不配作为解析函数的实部

或者是虚部

我们上一次提了一个问题

就是已知调和函数

用什么方法可以求解析函数

就是比方知U怎么求V

知V怎么求U

那这里给出了一种方法

这个方法就是曲线积分的方法

下面我们看一个例子

那比方说由下列条件

让我们求函数U+IV

使得这个函数解析

这里是知U求V

然后最终确定一下

这个函数在I处的值

是-1+I

首先我们就利用

刚刚讲过的曲线积分的方法

U是这样一个式子

那我们就可以看一下

U关于X的偏导

就应该等于V关于Y的偏导

那为了求VY我们直接求UX

对X求偏导是ZX+Y

然后为了求VX的这样一个偏导

就可以写成负的UY

那最终就写成了

就是-VX=VY

对这个关于Y区求偏导

那就是X-2*Y

这时候DV就可以写成

VXDX+VYDY

然后直接把VX带进来

就是这个式子的相反数

再把VY带进来

然后我们就可以在固定点

X0 Y0到动点XY上

对DV做曲线积分

这里的技巧在于

如果所给的函数

它的解析区域包括了原点

我们尽量的把这个动点

X0Y0取成原点

因为这时候代入

会使很多式子都化为0

比较方便

第二个注意事项是

在这个曲线积分中

我们根据积分和路径的无关性

那么定点X0Y0到XY这个路径

我们往往是这样取的

取折线

先让X0变成到XY

横等于Y0

这个时候由于Y没有变化

所以DY这一项自动是消失的

那这个积分就可以写成

X0-X把Y和Y0代入

只含DX的积分

第二步从Y0变到了Y

X恒等于X是不变的

这时候DX这一项是没有的

因为DX=0

所以我们带进来这个是

先从O到X

让Y横等于O

这边就没了

就是-XDX

然后再从0到Y

让X就等于X不变

这时候DX是0

后面这个就是整个式子的积分

再加一个任意的常数C

就可以了

那这个积分是很简单的

算出来就行了

但是由于这里的积分

要带上一个任意常数

所以在相差任意常数下

V是唯一的

为了求出这个任意常数

我们用这个初值条件

把I的函数值代入

就可以得到这个结果

代入以后就是这样一个式子

大家看一下

把F写成Z的形式

把I代入

再根据初始条件

就求出C=1/2

于是我们就求出了FZ的

具体表达式

当然了这里有一个问题

就是我怎么样把这个XY的

表达式最终很容易地

化成Z的表达式

一种工具就是让X取1/2

Z+Z共轭

Y取1/2i

Z-Z共轭代入原XY的表达式中

这是一种方法

另外一种方法

等到我们学过解析函数的

唯一性定理之后

我们会有更加简洁的办法

令其中一个变量为零

另外一个变量为Z

就很容易求得这种表达式

好这是根据前面的定理

所给出的用所谓的

曲线积分的方法

来去知U求V

下面我们看一下

一个常用的另外一种方法

也就是偏积分的方法

偏积分的基本思想是这样的

我要求V的话

我可以把V先视为Y的函数

就相当于要求FX

我如果知道了F'

那就直接对F'求积分

相差一个常数就可以了

所以在这里

比方我们先把V关于Y求偏导

因为UX=VY

我们知道VY就是UX

在这里就是2X+Y

然后我们只先用一步CR条件

在两边关于Y求积分

那左边就是V

再加一个常数是最多的

那右边也是关于Y求积分

大家需要注意的是

偏积分方法第一步

关于一个变量求过偏导

在积分的时候

所加的这个常数

要写成关于另外一个变量的常数

比方说这里是关于Y求偏导

那你会把X视为常数

所以在加常数的时候

要配上X

否则有些题目你是解不出来的

好这时我们就直接关于Y

求积分

这边的积分是2XY

这就是Y/2平方再加一个常数

φX

这是用了一步CR条件

那么再用一步根据什么

负的VX=UY

所以我们把这个V

关于X求偏导

就可以具体地求出来

是2Y+φ'

那再根据这个等于UY

我们再把UY带进去

等于负的UY带进去

两边一比较就发现了

φ'=-X

所以就把常数φ'求解出来

等于-x^/2+c

这样的话通过这两步

也就是分别分两次

应用CR条件

就求出了这个V

那求出V以后

我只需要把初值代入

使得U+IV在初值点

满足那个初值条件就可以求出Z

这就可以了

这是第二种常用的方法

叫偏积分法

就是把其中一个变量求偏导

再求积分

再对另外一个变量求偏导

两次利用CR条件

注意第一次求的时候加常数

要加上带有另外一个变量的常数

就可以了

那第三种方法我们可以称之为

凑全微分的方法

那根据这样一个CR条件

大家看到由于DV

是VXDX+VYDY

我们直接一次性地

把CR条件带进去

那VX就是VY

在这里代入UX就是这个

那这个VX是负的UY

代入就可以了

那这时候我们可以想像

能不能凑成全微分

因为这个一定是个全微分

大家看到这里有一个2YDX

这里有一个2XDY

它们两个加起来

实际上正好是2XY

它的一个全微分

这里有一个负的XDX

有一个正的YDY

这个全微分很好凑

就是这个是-X^/2的微分

这个是正的Y^/2的积分

所以这两个一加

结果就变成了这个

-X^/2加Y^/2

再加2XY的一个全微分

于是D等于整个这个函数的微分

所以它们两个之间

相差一个常数

也能够把V给求出来

这是凑全微分的方法

在常微方程里面

我们知道这相当于

恰当方程里面这个理论

不需要找积分因子

是全微分

好第四种方法

我们称之为不定积分的方法

它是什么意思

就是由于F'

我们可以用U的偏导数

或者用纯V的偏导数

来表达这个F'

那这时候我如果知道U

我就用纯U的偏导数

直接把F'

写成一个已知的式子

然后再把这个式子

转成我们用Z来表示的

一个表达式

那就直接写成F'Z

等于某一个Z的函数

那这时候就可以利用

函数在区域内的解析性

得到不定积分中

牛顿莱布尼兹公式的

这样一个工具来去求解Fz

大家看是这样

我们现在求出FV'之后

换成这样一个式子

最后两边同时求积分

就可以化为我们数学分析中

关于单变量函数的不定积分

所以这个称为不定积分法

那不定积分法的具体实施

往往是这样的

大家看一下

先求导数F'Z

用纯U的偏导或者纯V的偏导

来去表示

表示出来之后

我们需要把这个式子

最终化成Z的表达式

比方说用U的偏导

就写成UZ

V的偏导写成VZ

然后我们直接对这个关于Z的

一元函数求不定积分

就可以了

那这就用分别求出来

相应的FZ就行了

那我们这一节

透过一个具体的例子

给出了知U求V

或者知V求U

使得U+IV解析的方法

那么一共给了四种方法

比方线积分 偏积分

凑全微分以及不定积分

到后面我们学过

解析函数的唯一性定理之后

还会有一些新的方法

那这节课就上到这里

再见