3.3.2 柯西积分公式及其推论在线视频

欢迎来到负变函数课堂

本讲我们将继续学习

柯西积分公式

那先看一下

柯西积分公式的推论部分

在上一讲我们学了柯西积分公式

我们来回忆一下

也就是定理3.11

假如d是一个单连通或者是负连通的

有界区域

其边界是c

条件有两个

第一是f在d内解析

第二是f在d内及其边界上连续

或者成为连续的边界

那么结论是在d内的

任何一点z都有f在该点的值

可以用fζ/ζ-z

沿着z的积分比上2πi来去表示

或者把这个积分式

写F在分母处唯一起点的值

乘以2πi来去表示

那我们来看一下像这种积分

也就是如果分子函数

在周线c所围的区域

内部解析连续到边界

也就是内部及其边界连续的话

那么这时候我们就称

这种类型的积分

也就是分子函数验证条件

这是fζ/ζ-z

沿着c的积分再除以2πi

称这种积分为fz的柯西型积分

那如果在这个公式中

我们所给的这个区域特殊化一点

正好是某一个圆周所围的

单连通区域

那么这时候我们就可以

按照之前所学过的

参数方程的方法

来去给出相应的计算

或者是估计

所以就可以直接从原来的

柯西积分公式推导出下面的

平均值定理

也就是定理3.12

假如函数在给定的圆周内解析

因为是内部解析圆心是ZO

半径是R

在内部解析连续到边界

就是在这个B圆盘上是连续的

那么这时候我们就可以导出

它在圆心处的函数值

就可以用圆周上的函数值

在0到2π上的积分

再比上积分区间的长度

就是求的平均值来表示

所以这个公式就称之为

平均值定理

那我们看一下就是

解析函数在圆心处的值

等于它在圆周上的平均值

这个证明的基本思路我刚才提了

就是用参数方程的方法去计算

把刚才那个柯西型积分算一下

大家看一下这是Z0作为圆心

半径是大R

所以我们就可以看到

这个圆周它的参数方程

正好就是ζ-Z0=Re^iφ

这个φ是从零取到2π的

当然我们也可以把它取成

-π到π这是一样的

从而我们就可以导出

刚才那个柯西积分公式中

所给的dζ

就是对于这两边求导数

那么左边就是dζ

右边R是常数不变

Re^iφ求微分就是Rie^iφ*dζ

代入到这个柯西积分公式在这里

fζ代进去

dζ已经有了

我们看一下

这个1/2πi不变

这时候由于它这个用的φ作为参数

它的范取成了0到2π

所以把负积分化成定积分

就是代入法

然后这边fζ

ζ就是z0加R倍的Re^iφ

dζ已经算出来

下面是ζ-Z0

正好是r倍的Re^iφ

这时候你会发现

分子分母都有一个r倍的

E的iφ

所以把这两个约掉

这个i跟前面的2πi约掉

所以自动就得到了1/2πR

0到2π

f在边界处的值求积分

就可以了

那这就是我们的平均值定理

如果在这个公式的两边

我们分别加模长

你会发现圆心处fZ0的模长

是不会超过整个

这个积分的绝对值

而这个如果圆周处的模长

是有大M的话

把大M提取出去

说明圆心处的模长

不会超过圆周上的模长

这个有点接近于

我们的解析函数的最大模原理

这是一个

那下面我们来看

利用刚才的平均值定理

来去解决一个问题

是这样的值的分布问题

假如函数在B源上解析

这个条件很强了

因为是内部解析连续到边界

我们现在是连通边界都解析

那如果存在一个点A

使得A是大于零的

当然就是个实数了

当Z的模差等于r

就是这个圆周的圆盘的边界

圆周上F的值

它的模长是大于A的

然后在这个圆心处

它的模长是小于A

根据我们刚才讲的那个

平均值定理

其实圆心处的模长

不会超过圆周处的模长

所以这个是对的

让我们证明在这个圆盘内

fz至少有一个零点

那么这种题目凡是涉及到

至少有一个

我们有两种做法

第一种做法比方说

B区间套定理

你最终给我找出来一个

活生生的给一个可以

这当然是可以的

但是那个方法需要的技巧性

比较强

我们采取另外一个做法

就是反证法

因为至少有一个

我假定它一个都没有

推出矛盾就可以了

所以我们现在就用反证法来做

假如说在这个圆盘内

函数没有零点

那也就是说整个模长是大于0的

而圆周上模长大于A又大于O

所以在整个B圆盘上

函数fz第一解析

第二没有零点

整个模长都大于零

由此我们就可以导出

这个fz它在整个B圆盘

解析无零点的话

我就取倒数

大家看一下

这个倒数就是1/fz

由于它没有零点

所以整个倒数作为

F作为分母的时候

它也是出诸解析的

因为分母没有零点

那在整个B圆盘上也解析

这样的话我们就看一下

考虑一下平均值定理

也就是说我考虑圆心处的值

以及圆周处的值代入

导出矛盾就行了

大家看我们把那个倒函数

在0处的值带进去

按照平均值定因为它解析

B圆盘内解析

那就可以写成1/2πi×0-2π

大F在圆周那个圆周的中心是零

就不要了

就是Re^iφ*dφ

这样一个积分

然后我们看一下利用估值

由于大F在零的模长

其实就是小F在0的模长分之一

我们知道这个小F在0的

模长是小于A的

所以这个倒过来

就大于1/a

然后这是根据题设

现在我们就可以考察

对于这个等式我们看一下

在边界的模长

边界值模长

实际上就是f

在这个边界上的模长的倒数

由于在f

在边界上的模长大于a

所以这个倒数是1/a的

从而我们利用这个式子

左端F的0的模长

是大于1/a的

就刚才这个式子

然后等于右边这个进行放缩

它就小于等于2π不变

这个就是边界的模长

边界的模长小于1/a

所以这个取是1/a×2π

结果就小于1/a

那你看大F在零的值

这个数字既大于1/a

又小于1/a

这当然是矛盾的

从而导出fz

在整个圆盘内至少有一个零点

就可以了

这就把刚才这个题目给证完了

那么这一节我们重点

给大家介绍的是

柯西积分公式中的区域

如果特殊化成圆域

得到的一个平均值定理

也就是一个平均值

函数在圆心的值

可以用边界的值

积分除以2π就行了

那么最后我们又利用它

导出了一个这样的

零点分布的题目

这一节相关的细节

参见我们的网络课程平台

好 关于平均值定理

我们就讲到这么多

再见