3.3.1 柯西积分公式及其推论在线视频

欢迎来到复变函数课堂

这一讲我们要给大家介绍

负积分中最基本的公式

柯西积分公式

这个和前面的柯西积分定理

有两字之差

但是内容是不一样的

那我们知道

如果d是一个单连通区域

z是d中的一个点

c为d内围绕Z的一条曲线

那么假如说fζ

在d内是解析的

那由于这个比值中

z是做了分母

所以这个函数以z为起点

所以它在z点不解析

那么一般情况下

这个不解析所以沿着c的积分

不一定是零

那我们为了求得这个积分

就可以利用闭路变形的原理

大家知道这个积分

不随c的形变而变化

因为c可大可小它在D内

那么这样的话

我们为了求这个值

我可以让c充分靠近

它的中心

也就是说我以z为中心

以很小的半径Δ>O

做一个小圆周出来

这个圆周就是这样一个表达式

由于fζ它在定理解析并连续

所以根据它的连续性

当ζ靠近Z的时候

fζ就非常靠近fz

那也就是说这个值

将靠近这个值

那么fζ变成fz以后

大家看到这个可以提到外面去

那么这时候整个积分式子

就可以写成这样一个形式

由于这个形式中

z正好是c这个圆周的圆心

那么这是标准的重要积分

n=1时的情况

所以这个答案就是

2πr×fz

这里我们看到

这样一个积分的值

正好等于积分函数中

分子函数在分母中

唯一起点处的值

再乘以2πr

当然了这个结果是我们猜测的

预测的

那它对不对

我们讲这个是正确的

而且具有普遍性

这也就是我们前面要介绍的

柯西积分公式

大家看一下

假定D是以周线或者是副周线c

为边界的有界区域

f要求在d内解析连续到边界

所以从定理3.9开始

我们都是这样一个要求

内部解析连续到边界

那么在d内给出一点z

注意这里的Z一定要在D内

在d内任给一点z

有fz的值可以用

fζ/ζ-Z

沿着C的积分再处以2πi来表示

当然也可以把它写这个积分式

=2πi×fz

这边可以用边界的值

表示内部的函数值

用于研究函数

这个可以用来算积分

而这两个都可以称为

柯西积分公式

所以这个公式可以要求

内部解析连续到边界

对于d内的一点z要在d内

下面我们看这个定理怎么证

根据刚才这个图形我们看到

z点是这个贝基函数在d内

唯一一个起点

按照复合闭路定理

我把这个起点挖去

这个函数在剩下的区域内解析

就可以把原边界的积分

转化为挖去起点这一块

区域边界的积分

所以现在我们以z为心

做一个包含在d内的圆盘

假如这个半径是ρ

边界记成cρ

那么在d内把cρ内部挖掉之后

剩下的区域记成D一ρ

于是fζ/ζ-Z

在第一把ρ上就解析了

当然fζ本身在d内都解析

所以在这上面也解析

这样的话根据复合闭路定理

那么原边界c上的积分

就可以转化为cρ上的积分

并且这个积分和ρ的大小没有关系

当然我们要求ρ要使得整个cρ

落在d内就可以了

又根据大家看一下这个等式

就是说我们在这里

把fζ给它减掉一个fz

再加一个fz

就得到右面这个式子

由于fz它和积分变量ζ没关系

所以可以写成这个结果

而右边这个式子

正好就是以ρ为中心的

这样一个cρ上的积分

那贝基函数恰好是重要积分中

n=1的情况

所以这个正好是2πi×fz

要证的这个结果

是左边的这个式子=2πi×fz

所以我们下面

只要导出这个积分为零

就可以了

那基本的思想是

利用放缩利用这个估值

也就是说要说明这个积分值为零

只要说明这个数字减零的绝对值

或者模长

可以小于任意的正数ε

就可以了

那么我们看一下

要让它小于任意ε

只要利用积分估值

看一下fζ-fz

是否可以小于ε

也就是根据连续性

就可以证出来了

下面我们看由于fζ在z

是连续的

所以对于ε

我可以找到一个Δ

要求当这个ζ-z

模长大于零小于Δ时

那么fζ-fz的模长就小于ε

当然我们现在要求的时

ζ比要落在cρ上

而这个ζ-z正好

它的模长是ρ

也就是说让ρ<Δ10

具有这个小ε

那这样的话

我们把积分做估值

积分的模长不会超过模长的积分

fζ-F2的模长

是小ε

ζ-z的模长是ρ

就是ε

剩下的是沿着cρ

求ds的细分

那就是Cρ的弧长

所以这个小于等于2π×ε

根据ε任意性

以及它可以任小

我们就知道其实这个积分

在这样一个条件下是等于零的

当然了这里我们要求

ρ是要充分小的

也就是说我们得到这个结果

当ρ趋于零时

刚才这个积分是等于零的

由于这个积分跟ρ没有关系

所以也就推出了它就是零

这样的话就导出

fζ/ζ-z

沿着cρ的积分就等于fz×2πi

这也就是我们要证的

柯西积分公式

这个公式实际上给出了

边界值和内部函数值的

一个表达关系

注意这是一个非常重要的公式

这个定理所给出的公式

被称之为基本公式

那我们看一下

这个公式也可以

写成这样一个式子

也就是说用来算积分

并且我们发现了

在这个公式3.7或者3.1'中

这里面它有一个标准型

也就是说我们对这个区域D

所做的F解析

其实f是贝基函数的分子函数

就是在d内解析连续到边界

是对分子函数做的

而分母函数是由在d内

有唯一的一个起点z

并且它是ζ-z的一次方

是这样一个标准形式

结论就是是分子函数

在分母唯一的一个起点处的函数值

乘以2πi

所以这里这个特征一定要注意

如果D内有贝基函数的两个起点

那我们就要考虑挖起点

变成一个起点

变成标准型这种形式

如果z不在d内

F在整个就是贝基函数

在整个c内是解析的

那这个就是零了

下面我们对这个柯西积分公式

做一些说明

首先就是这个公式

它把函数在c内的一个

点处的函数值

用它在在边界上的值来表示

这个是解析函数的独特性之一

十分析里面没有这样的结果

第二个就是我们可以看到

这个公式它不但提供了

一些复变函数

沿着闭路积分的算法

就像这样的

直接用分子函数在分母

唯一起点处的值×2πr

而且给出了解析函数的

一个积分表达式就是fz

它在区域定理解析

可以用边界的积分来表示

所以一方面可以算积分

一方面可以研究解析函数

这是柯西积分公式的两点说明

下面我们看一下

柯西积分公式的应用

就是比方用它来算积分

用它来研究函数

我们先看积分的计算

让你求E的Z次方/Z平方+1

沿着这样Z的模长=2的

一个路径它的积分

当然由于这个贝基函数的起点

一个是+i 一个是-i

都落在Z的模长等于2内

所以内部有两个起点

这时候我们不能够直接利用

柯西积分公式

那怎么做

我们像这个图这样

我们做-i和+i为中心

以他们之间长度就是2

它的1/3为半径做两个圆周

I处为中心的圆周记成C1

-i的圆周记成C2

这时候我们就可以

有两种方法来做

第一种方法

就采取复合闭路定理

Y边界的积分

等于内边界C1的积分

+C2的积分之和

在C1处由于它的这个起点是i

所以我们一定要把这个贝基函数

写成标准型

也就是分母写成积分变量

-起点的形式

像这里z-i的形式

剩下的部分全部放到分子上

这样的话我们可以直接

套用柯西积分公式

同理在C2处

由于C2处-i作为起点

所以要把分母写成z减-i的形式

这样我们就得到了

直接利用柯西积分公式

分子在分母起点处的是×2πi

同理这个也是

分子在分母F处起点是×2πi

计算出这个结果就是2πr×sin1

那这里我们看到

用挖起点的方法

这是挖起点

这个它和柯西一

积分公式和之前的那个

重要积分是不一样的

因为这个分母不是常数

第二种方法我们用列项的方法

也就是说在这里有公共的因子

E的Z次方不变

我们把这个Z平方+1

列项列开成这样的两项

这时候在C内的那个Z的模长=2

这样一个C内

这个贝基函数有唯一的起点

这个也有唯一的起点

就可以直接套用我们的

柯西积分公式

就直接把它用分子函数

在这个分母起点处的值

乘以2πi就可以

往里一带也能够求出具体的值

所以这就是用柯西积分公式

算积分的做法

我们可以用挖起点

也可以用列项

这是一个技巧

下面我们看一下用柯西积分公式

来去研究解析函数的一个例子

假如说C是这样一个椭圆

它的正相

FZ是这样一个表达式

ζ作为贝基函数的积分变量

Z是落在椭圆内部的一个点

也可以在外部

但是我们现在题设没给

它让你求F在Z的值

以及f'”

以及f'”在固定点的值

所以这时候需要我们注意了

因为我们柯西积分公式

要求Z是落在D内的

可以直接算公式

如果z落在d外了

那么整个贝基函数解析的话

这个值就是零了

所以我们来看一下

由c所谓的区域

就整个这个椭圆内部记为d

按照柯西定理或者是

柯西积分定理

或者柯西积分公式我们可以得到

当你的这个z落在d内的时候

这个正好有唯一的起点在D内

那么它就是分子函数

在这个点的值×2πi

因为分子函数是一个二次多项式

是整个负平面内解析的

那如果Z落在了d之外

我们就可以算出

它这个是零

就可以了

当然也可以包括它的边界

就是这样的话补充定义

它就内部解析连续到边界

积分值是零就可以了

那这时候我们对于这个fz

看右边就不看积分式了

得到一个这种分段的

当然我们分区域的函数表达式

对它求导数

在Z落在D内时直接求导

得到这个结果

Z落在D及其边界上

是常值也是零

我们就求出了f及f'

大家会看到

这个是利用积分来研究函数的

这个是数学分析所不具备的

是负积分或者是解析函数

独有的性质

下面我们需要计算

几个特殊点的值

根据f'的情况

我们算一下F1‘在1+I处的值

当然1+i落在那个椭圆内

这样就直接带入公式就可以了

第二个是f”

要算它在另外一个点的值

我们直接对f'再求一阶导

这一求导就是4πr

当Z落在地上

第二个求导z在d之外

或者在d上的时候

这个就是0了

刚才是在d内

那下面我们就把这个2-3i代一下

它不落在d及其边界上

是在外部的

所以这个时候直接得到

它的二阶导是0

就这样一个结果

这次课我们重点讲了

柯西积分公式

它是负积分的基本公式

要求在负周线内部解析

连续到边界

这时候内部点的值可以用积分

就是函数比上柯西减去

内部这个点

在C上的积分再除以2πi

这个是柯西积分公式

那么这一节的作业

详见课程平台

好 柯西积分公式就讲到这里

再见