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6.2 留数定理计算实积分在线视频

下一节:6.2 用留数定理计算实积分

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6.2 留数定理计算实积分课程教案、知识点、字幕

同学们好

欢迎来到复变函数课堂

我们在前面一节学习了留数的定义

求法以及用留数和留数定理计算复积分

今天我们来学习用留数和

留数定理计算实积分

我们在数学分析里遇到过很多比较

复杂的定积分或者是反常积分的计算

而这些积分如果用留数或者留数定理来计算

将会大大的简化计算过程

它为我们提供了计算实积分的非常有效的办法

今天我们主要来学习两种类型的实积分的计算

我们先来看第一种类型实积分

这个实积分的特点是

首先它是个定积分

是在0到2π上的定积分

被积函数是cosθ和sinθ的

在0到2π上的连续的有理函数

我们如何计算这样一个定积分呢

我们采用的主要思想是

使用某种变量替换将该定积分转化

为沿着某条周线的复积分

然后使用柯西积分定理

将复积分的值计算出来

就可以求出定积分的值了

这其中我们需要做这样两个工作

第一个我们需要通过变量替换

将积分范围0到2π转化为一条周线

第二个我们通过变量替换将

被积函数由实函数转化为复函数

接下来我们来看一下

这种实积分的计算的具体步骤

首先我们要先做出变量替换

令z=e^iθ

同时我们将被积表达式中的

cosθsinθ以及dθ全部进行替换

而积分变量θ从0到2π变化时

我们新的积分变量z将沿着

圆周z的模长等于1的正向绕行一周

因此我们得实积分

将会转化成沿着z的模长等于1上的

这样一个复积分

然后我们根据柯西留数定理

将右侧的复积分计算出来

便可计算出0到2π上的实积分

接下来我们通过实例来看一看

如何计算这种类型的实积分

首先我们来观察一下实积分

这个积分是0到2π上的定积分

并且被积函数是cosθ的有理函数

是符合我们第一种类型的实积分计算

这种实积分我们要通过变量替换

将其转化成复积分来进行计算

所以首先我们令z=e^iθ

然后我们将变量替换代入到被积表达式里

将被积表达式进行变换

首先我们把分母转化成[(z-p)/z]*(1-pz)

然后我们就可以

把这样一个实积分转化成

在z的模长等于1上的复积分

接下来我们只要把复积分计算出来

便可以计算出实积分的值

我们来看一下

如何计算复积分

被积函数在整个复平面里有两个奇点

一个是p一个是1/p

而在积分路径z的模长等于1内

咱们只有一个奇点那就是z=p

而且p为被积函数的一阶极点

所以我们只要把被积函数

在1这一点处的留数计算出来

便可以计算出实积分

首先我们先来计算

f(z)在p这点处的留数

因为p为f(z)的一阶极点

所以根据定理6.2

我们可以计算出

f(z)在p这点的留数是1/1-p²

然后根据柯西留数定理

我们就可以计算出I的值

I是等于1/i*2πi*f(z)在p这点的留数

经过计算最后的结果为2π/1-p²

那么我想提出这样一个问题

如果咱们这道题里

p的模长是大于1的话

那么这个积分值又应该等于多少呢

请同学们课下

按照这道题的方法

把积分值计算出来

接下来我们看第二种实积分的计算

第二种实积分是

形如负无穷到正无穷上

P(x)/Q(x)这种类型的积分

这是一个反常积分

计算这种类型的实积分

我们按照定理6.7的方法来计算

首先我们将被积函数里的x换成z

这样我们就会得到一个新的

函数f(z)它的有理函数

其中分子分母P(z)和Q(z)

它们俩都是多项式并且是互质的多项式

当P(z)和Q(z)满足以下两个条件时

我们就可以用留数来计算

这样一个实积分

第一个条件是

n-m是大于等于2的

也就是说分母的指数比分子的指数至少要高两次

第二个在实轴上Q(z)不等于0

也就是说我们的分母Q(x)是不等于0的

那么这样一个实积分

咱们就可以用留数来计算

用哪些点处的留数来计算呢

我们只要计算f(z)在上半平面上的留数的和

然后乘以2πi

就可以算出这种类型的实积分的值

接下来我们仍然通过一个例子

来说明如何计算这种类型的实积分

我们看这个例题

这个例题让我们计算

在零到正无穷上1/(x^4+a^1)

这个函数的积分

首先我们发现

这个积分并不是我们讲的第二种类型积分

因为我们第二种类型的实积分是负无穷到正无穷上的

可是我们再仔细观察一下

被积函数发现被积函数是x的偶函数

那么我们按照积分的性质

零到正无穷上的积分

就可以转化成负无穷到正无穷上的积分的一半

所以当我们进行这样的转化之后

我们首先计算出负无穷到正无穷上的积分

然后将这个积分值除以2

便可以求出这道题的结果

那么接下来我们用刚才的定理来计算

负无穷到正无穷上1/(x^4+a^4)这个函数的积分

首先我们先把被积函数转化成z的函数

f(z)=1/(z^4+a^4)

这个函数在全平面一共有四个奇点

并且都是一阶极点

而且我们发现f(z)满足定理6.7的要求

也就是说我们可以按照定理6.7的方法来计算

这样一个实积分

那么我们需要找出f(z)在上半平面中的极点

我们发现在上半平面中

f(z)只有两个极点a0和a1

那么接下来我们只要计算出

f(z)在a0和a1处的留数

然后将它俩合在一块再乘以2πi

就可以算出咱们积分值

我们首先来计算f(z)在a0和a1处的留数

因为a0和a1都是f(z)的一阶极点

那么我们使用定理6.5来计算

f(z)在这两个极点处的留数

根据定理6.5我们可以算出

f(z)在这两个极点处的留数是等于-ak/4a^4

我们将ak的值代进去

便可以计算出f(z)分别在a0和a1处的留数

我们计算出f在a0和a1处的留数之后

根据定理6.7

只要将这两个留数值相加再乘以2πi

我们就可以计算出负无穷到正无穷上的积分值

而之前我们说了这道题的积分是

负无穷到正无穷上积分值的一半

所以我们把刚才计算出来的结果再乘以1/2

就可以得到零到正无穷上实积分的积分值

这次课我们主要给大家介绍了

如何使用留数以及留数定理来计算实积分

请同学们在课后完成课程平台中的作业

这一次课到此结束

复变函数课程列表：

第1章 复数与复变函数

-1.1 复数

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.1 作业测试

-1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.2 作业测试

-1.3 复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--电子教案

--延伸阅读

--1.3 作业测试

-1.4 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.4 作业测试

-1.5 本章导学

--导学视频

--导学课件

-1.6 小结与测试

--本章测试

第2章 解析函数

-2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程

--2.1.1 解析函数

--2.1.2 解析函数的判别 第一讲

--2.1.3 解析函数的判别 第二讲

--2.1.2 解析函数的判别 第一讲

--2.1.3解析函数的判别 第二讲

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.1 作业测试

-2.2 初等解析函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角函数与双曲函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角与双曲函数

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.2 作业测试

-2.3 初等多值函数

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.3 作业测试

-2.4 本章导学

--导学视频

--导学课件

-2.5 小结与测试

--本章测试

第3章 复变函数的积分

-3.1复积分的概念及其简单性质

--3.1.1 复积分的概念

--3.1.2 复积分的计算

--3.1.3 复积分的性质

--§3.1.1 复积分的概念

--§3.1.2 复积分的计算

--§3.1.3 复积分的性质

--电子教案

--3.1 预习测试

--3.1 作业

--延伸阅读

-3.2柯西积分定理

--3.2.1 柯西积分定理

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理推广1

--3.2.4 柯西积分定理推广2

--3.2.1 柯西积分定理1

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理——柯西积分定理的推广1

--3.2.4 柯西积分定理——柯西积分定理的推广2

--电子教案

--作业测试

--3.2 作业1

-3.3柯西积分公式及其推论

--3.3.1 柯西积分公式及其推论

--3.3.2 柯西积分公式及其推论

--3.3.3 解析函数无穷次可微性

--3.3.4 柯西不等式与刘维尔定理

--3.3.1柯西积分公式

--3.3.2柯西积分公式推论1

--3.3.3解析函数无穷次可微性

--3.3.4柯西不等式与刘维尔定理

--电子教案

--3.3 预习测试

--3.3 作业1

-3.4解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--电子教案

--3.4 预习测试

--3.4 作业

-3.5本章导学

--第三章导学视频

--导学课件

-3.6小结与测试

--复习小结

--本章测试

第4章 解析函数的幂级数表示法

-4.1复级数的基本性质

--4.1.1复数项级数

--4.1.1 复数项级数

--电子教案

--作业测试

--4.1作业

--延伸阅读

-4.2幂级数

--4.2幂函数

--教学课件

--电子教案

--作业测试

--4.2 作业

--延伸阅读

-4.3解析函数的泰勒展式

--4.3.1泰勒定理

--4.3.1泰勒定理

--电子教案

--4.3 预习测试

--4.3 作业

--延伸阅读

-4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--电子教案

--4.4 预习测试

--4.4 作业

--延伸阅读

-4.5本章导学

--第四章导学视频

--第四章导学课件

-4.6小结与测试

--复变函数第四章复习小结

--第四章测试

第5章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

-5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1解析函数的洛朗展式

--5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1 电子教材

--5.1 预习测试

--5.1 作业

--5.1 延伸阅读

-5.2 解析函数的孤立奇点

--5.2.1 孤立奇点的分类

--5.2.2 可去奇点

--5.2.3 极点

--5.2.4 本质奇点

--5.2 ppt

--5.2 电子教案

--5.2.1 预习测试

--5.2.2 作业1

--5.2.3 作业2

--5.2.4 作业3

--5.2 延伸拓展

-5.3 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3 电子教案

--5.3.1预习测试

--5.3.2 作业

--5.3 延伸阅读

-5.4 整函数与亚纯函数的概念

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 电子教案

--5.4.1 预习测试

--5.4 延伸阅读

-5.5 本章导学

--第五章 导学视频

--第五章 导学课件

-5.6 小结与测试

--第五章 学习指导

--第五章测试

第6章 留数理论及其应用

-6.1 留数

--6.1.1 留数定义

--6.1.2 留数定理

--6.1.3 无穷远点处的留数

--6.1 PPT

--6.1 电子教案

--6.1.1 预习测试

--6.1.2 作业1

--6.1.3 作业2

--6.1 延伸阅读

-6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 留数定理计算实积分

--6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 电子教案

--6.2.1 作业1

--6.2.2 作业2

--6.2 延伸阅读

-6.3 幅角定理及其应用

--6.3.1 辐角原理及其应用

--6.3.2 辐角原理及其应用

--6.3 PPT

--6.3 电子教案

--6.3 作业

--6.3 延伸阅读

-6.4 本章导学

--第六章导学视频

-6.5 小结与测试

--复变函数第六章复习小结

--第六章测试

第7章 *共形映射

-7.1 解析变换的特性

--7.1 解析变换的特性

-7.2 分式线性变换

--7.2 分式线性变换

-7.5 智慧课堂参赛课程

--7.5 PPT与电子教案

--7.5 课前讨论

--7.5 学习指导

--7.5 课上抢答与随堂测试

--7.5 留数的定义及求法作业

-7.5.1 附件3 课题教学设计

--附件3 课题教学设计

6.2 留数定理计算实积分笔记与讨论

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