当前课程知识点：复变函数 > 第5章解析函数的洛朗展式与孤立奇点 > 5.2 解析函数的孤立奇点 > 5.2.3 极点

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5.2.3 极点在线视频

下一节:5.2.4 本质奇点

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5.2.3 极点课程教案、知识点、字幕

欢迎来到复变函数课堂

本节我们将介绍

解析函数孤立奇点中的极点理论

类似于可去奇点

极点它的判定也有三个充要条件

首先如果a是f(z)的m阶极点

这里是带有阶数的

按照定义

f(z)在a点的主要部分

就一定可以写成这种形式

也就是说1/(z-a）^m

这个系数是非零的

而且负幂项的最高次是m次

第二个充要条件就是f(z)在a点的

某个空心邻域内可以写成

λ(z)/(z-a)^m的形式

其中λ(z)在a点的邻域内满足两条

第一是解析第二是非零

当然这个条件也可以把它等价于

下面这个条件

用极限的形式来写

这是第二个

第三个就是

f(z)的倒函数是以a点为m阶零点

这里呢如果出现可去奇点

我们要当作解析点

因为零点的前提是解析的

所以这是具体判定m阶极点的

三个充要条件

由第三条我们很容易看到

假如f(z)以a点为m阶极点

那f(z)的倒函数一定以a点为m阶零点

反之也是真的

这个用零点的判定方法

来判别极点的方法是非常有用的

好我们下面给出刚才定理的证明

首先由定义要推出

f(z)可以写成一个具体的表达式的形式

那么如果a点是m阶极点

它的展式中的主要部分

应该可以写成这种形式

我们只需要把(z-a)^m提取出来

对应的分子

就是C-m+C-(m-1)*(z-a)依次下去

于是我们可以把上面这个

由幂级数构成的函数记成λ

下面（z-a）^m不变

根据第四章的理论

幂级数的和函数一定是解析的

同时λ在a点的值是C-m是非零的

所以λ满足两个条件

第一是a点解析

第二是a点非零

于是就推出了第二条

下面我们来看二怎么推出三

假定f(z)

它可以写成λ(z)/(z-a)^m

它的倒函数

就一定可以写成(z-a)^m/λ(z)

由于λ(z)在a点是解析且非零的

所以其倒函数1/λ(z)

在a点也是解析且非零的

那么这样的话g(z)就可以写成一个

(z-a)^m

乘以某一个解析函数1/λ(z)的形式

当然这里有一个条件需要补充

就是倒函数里面

由于λ(z)假如说分之一在这里

出现以a点为奇点的时候

它是可去奇点我们是为解析点

所以就可以推出

a点就是g(z)的m阶零点

这样由二就推出了三

下面我们由三推一

假如g(z)是1/f(z)

它以a点为m阶极点

按照定义g(z)就可以写成

(z-a)^m乘以某一个φ（z）

这个是零点的表达式

其中φ（z）在a点是解析且非零的

这样f(z)本身就可以写成1/g(z)

于是这里的1/φ（z）

在a点还是解析且非零的

按照泰勒定理

我就可以把1/φ（z)展成

一个标准的幂级数

那这个幂级数中

首项或者说常数项是C-m

要求是非零的

因为1/φ（z）在a点也是非零的

于是乘以1/(z-a)^m

就会得到f(z)它的展开式

就是这种形式

所以负幂项部分呢

最高次幂就是1/(z-a)^m

它的系数是非零的

按照定义

a点就是f(z)的m阶极点

这个定理为判定解析函数的m阶极点

提供了有力的工具

下面我们看一个例子

考察该函数的奇点及其类型

首先作为分式函数

分母为零的点是奇点

也就是sinz的零点

那么很显然sinz的零点是kπ

那么这些kπ之间是有距离的

所以它都是原函数的孤立奇点

这是前提

那我们下面来看一下这些奇点

到底是什么类型呢

根据极点的判定条件三

只要看倒函数的零点就可以了

很显然sinz在kπ是零

sinz的一阶导在kπ处就不是零

所以zk=kπ是sinz的一阶零点

从而这些零点都是倒函数的一阶极点

这就很容易判定该函数的奇点及其类型

下面我们给出极点判定的极限方法

因为如果a是孤立奇点

当f(z)在a点的极限存在且有限时

一定是可去奇点

那么当a点的极限是存在作为无穷的话

a点一定是f(z)的极点

当然这个命题它的缺陷是

不能指出极点的阶数

为什么是这样的呢

由于a点是f(z)的极点

根据充要条件三

它一定是倒函数的零点

这样的话我把倒函数

取极限分母就趋于零

于是原函数的极限就趋于无穷

所以这是极点的另外一个判定方法

下面我们看一个例子

假如函数是这样的形式

那么很显然分母为零的点是1和-1/2

由于这两个点都不是分子的零点

所以如果倒过来

1和-1/2就是倒函数的

一阶零点和二阶零点

所以根据充要条件三

1和-1/2分别为原函数的

一阶和二阶极点

那实际上遇到分式函数的时候

我们还有一些比较简便的方法

比方说假如f(z)写成了P(z)/Q(z)的形式

而z0这个点是P(z)的m阶零点

是Q(z)的n阶零点

那么当m大于或等于n时

由于此时a点可以视为原函数的

m-n阶零点

当然由于分母出现z-a

也是可去奇点

此时它可以直接判定出极点的类型

如果m是小于n的话

很显然按照充要条件二

f(z)就以z0点为n-m阶极点

所以就可以把极点的判定转化为

分子和分母函数零点的判定

下面我们来看几个例子

在本例中考察孤立奇点

因为分母的零点有三个

正负i和1

是该函数的孤立奇点

那么下面我们来看

由于z-2这一函数在正负i和一处

是解析的

所以就是这三个点处

该函数都是非零的

那么相当于P(z)不以这三个点为零点

只要看分母函数

而z等于正负i是分母函数的一阶零点

z=1是分母函数的三节零点

从而正负i就是原函数的一阶极点

而1就是原函数的三阶极点

这个就可以直接判定出来

第二题

很显然0是该函数唯一的孤立奇点

当然我们也可以利用展式法

也可以利用充要条件二

下面我们试一下充要条件二

把该函数乘以（z-0）^1

当z趋于0时

这个极限是存在为常数

根据充要条件二

零这一点就是原函数的一阶极点

第三题中分母有两个零点

零是二阶零点

-2是一阶零点

而这两个零点都不是分子的零点

所以根据补充条件我们知道

零这一点是原函数的二阶极点

而-2这一点是原函数的一阶极点

本节我们给出了

m阶极点判定的三个充要条件

又给出了几点判定的极限方法

也补充了一个分式函数奇点的判定

那课下大家参考一下课程平台

看一下作业

本节就讲到这里

复变函数课程列表：

第1章复数与复变函数

-1.1 复数

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--1.1 作业测试

-1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--1.2 作业测试

-1.3 复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--1.3 作业测试

-1.4 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--1.4 作业测试

-1.5 本章导学

-1.6 小结与测试

--本章测试

第2章解析函数

-2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程

--2.1.1 解析函数

--2.1.2 解析函数的判别第一讲

--2.1.3 解析函数的判别第二讲

--2.1.2 解析函数的判别第一讲

--2.1.3解析函数的判别第二讲

--2.1 作业测试

-2.2 初等解析函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角函数与双曲函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角与双曲函数

--2.2 作业测试

-2.3 初等多值函数

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--2.3 作业测试

-2.4 本章导学

-2.5 小结与测试

--本章测试

第3章复变函数的积分

-3.1复积分的概念及其简单性质

--3.1.1 复积分的概念

--3.1.2 复积分的计算

--3.1.3 复积分的性质

--§3.1.1 复积分的概念

--§3.1.2 复积分的计算

--§3.1.3 复积分的性质

--3.1 预习测试

--3.1 作业

-3.2柯西积分定理

--3.2.1 柯西积分定理

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理推广1

--3.2.4 柯西积分定理推广2

--3.2.1 柯西积分定理1

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理——柯西积分定理的推广1

--3.2.4 柯西积分定理——柯西积分定理的推广2

--作业测试

--3.2 作业1

-3.3柯西积分公式及其推论

--3.3.1 柯西积分公式及其推论

--3.3.2 柯西积分公式及其推论

--3.3.3 解析函数无穷次可微性

--3.3.4 柯西不等式与刘维尔定理

--3.3.1柯西积分公式

--3.3.2柯西积分公式推论1

--3.3.3解析函数无穷次可微性

--3.3.4柯西不等式与刘维尔定理

--3.3 预习测试

--3.3 作业1

-3.4解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--3.4 预习测试

--3.4 作业

-3.5本章导学

--第三章导学视频

-3.6小结与测试

--本章测试

第4章解析函数的幂级数表示法

-4.1复级数的基本性质

--4.1.1复数项级数

--4.1.1 复数项级数

--作业测试

--4.1作业

-4.2幂级数

--作业测试

--4.2 作业

-4.3解析函数的泰勒展式

--4.3.1泰勒定理

--4.3.1泰勒定理

--4.3 预习测试

--4.3 作业

-4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--4.4 预习测试

--4.4 作业

-4.5本章导学

--第四章导学视频

--第四章导学课件

-4.6小结与测试

--复变函数第四章复习小结

--第四章测试

第5章解析函数的洛朗展式与孤立奇点

-5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1解析函数的洛朗展式

--5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1 电子教材

--5.1 预习测试

--5.1 作业

--5.1 延伸阅读

-5.2 解析函数的孤立奇点

--5.2.1 孤立奇点的分类

--5.2.2 可去奇点

--5.2.4 本质奇点

--5.2 电子教案

--5.2.1 预习测试

--5.2.2 作业1

--5.2.3 作业2

--5.2.4 作业3

--5.2 延伸拓展

-5.3 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3 电子教案

--5.3.1预习测试

--5.3.2 作业

--5.3 延伸阅读

-5.4 整函数与亚纯函数的概念

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 电子教案

--5.4.1 预习测试

--5.4 延伸阅读

-5.5 本章导学

--第五章导学视频

--第五章导学课件

-5.6 小结与测试

--第五章学习指导

--第五章测试

第6章留数理论及其应用

-6.1 留数

--6.1.1 留数定义

--6.1.2 留数定理

--6.1.3 无穷远点处的留数

--6.1 电子教案

--6.1.1 预习测试

--6.1.2 作业1

--6.1.3 作业2

--6.1 延伸阅读

-6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 留数定理计算实积分

--6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 电子教案

--6.2.1 作业1

--6.2.2 作业2

--6.2 延伸阅读

-6.3 幅角定理及其应用

--6.3.1 辐角原理及其应用

--6.3.2 辐角原理及其应用

--6.3 电子教案

--6.3 作业

--6.3 延伸阅读

-6.4 本章导学

--第六章导学视频

-6.5 小结与测试

--复变函数第六章复习小结

--第六章测试

第7章 *共形映射

-7.1 解析变换的特性

--7.1 解析变换的特性

-7.2 分式线性变换

--7.2 分式线性变换

-7.5 智慧课堂参赛课程

--7.5 PPT与电子教案

--7.5 课前讨论

--7.5 学习指导

--7.5 课上抢答与随堂测试

--7.5 留数的定义及求法作业

-7.5.1 附件3 课题教学设计

--附件3 课题教学设计

5.2.3 极点笔记与讨论

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