当前课程知识点：复变函数 > 第1章 复数与复变函数 > 1.4 复球面与无穷远点 > 1.4.1 复球面与无穷远点
欢迎来到复变函数课堂
本节我们将学习
复球面与无穷远点的知识
前面我们学过
复数的全体
和平面上点的全体是一一对应的
而平面是一个无界集合
我们想能不能用一个有界集来表示复数
本节我们将通过球极投影的方式
来实现这一点
如图所示
球面切复平面与O点
过O点作一垂线交球面于 N点
我们称N点为球面的北极
O点为球面的南极
下面我们做一个映射
对于复平面上的任何一点Z
连接N点和Z点
该线段一定交球面于唯一的一点
记为P
而平面上任何两个不同的点
是通过这种方式
建立的对应一定是不一样的
反之 对于球面上的任何一点
透过做NP线段的反向延长线
必交平面于一点
于是我们就建立了复平面
和球面上点的对应关系
大家想一想
平面上点的全体
是不是和球面上点的全体一一对应呢
实际上N点在平面上是没有对应点的
那么我们观察发现呐
假如说
当我们这个Z点它的模长
无限增加的时候
或者说Z的模长越大
那对应的P点
就越靠近于N点
反之
球面上的点越接近于N
那么在平面上
它对应的像也越靠近无穷
所以我们现在假想有一个点是复数
它的模长为无穷大
我们就称这样一个点为无穷远点
它正好和N点是建立一一对应的点
于是我们就可以把
复平面再配上无穷远点
把这样一个集合称为扩充的复平面
记为C无穷
而与扩充复平面对应的
我们之前讲的整个复平面呢
称为普通的复平面
现在
透过刚才的一一对应关系
和整个扩充复平面能建立一一对应的
正是我们的球面
我们简称为复球面
所以复球面是一个有界体
但它实际上是一个几何模型
这个几何模型是复平面
再配上无穷远点
而它的优越性就是把无界的复平面
化为了有界的复球面表示
同时
可以表示出无穷远点
当然了这个是无界集变成了有界集
我们一般称之为一点紧化
也就是配上一个点
比方无穷远点
就把一个本来是完备非紧的集合
变成了紧致集
下面我们来看一下
由于无穷远点
扩充到了复平面里面
所以它的运算
要满足下面的法则才不至于冲突
首先是加法
如果α不等于无穷的时候
我们可以让它和无穷相加
无穷加α
等于α加无穷还是无穷
第二个减法
对于任何一个非无穷远点的复数
它减上无穷等于无穷减它
还是无穷
第三个是乘法
如果α是非零的
那么α和无穷的乘积
还是无穷
第四个是除法
就是当α不是无穷的时候
α比上无穷是零
而α分之无穷还是无穷
当然了这里如果α不是零的时候
α/0
我们还认为它是无穷
由于
复平面上只扩充了一个点 无穷远点
所以它不像实数里面有正负无穷
我们约定无穷加或者减去无穷
包括无穷乘以零
以及无穷比无穷 和 零比零
是没有意义的
也是不能进行运算的
有了无穷远点和扩充复平面
我们可以定义一些有意义的集合
比方说关于无穷远点的邻域
在扩充复平面上
我们称圆心在圆点
半径大于1/ε的
这些点的全体为无穷远点的邻域
那如果把这些点映回复球面
它代表的实际上是
以北极N为中心的一个球盖
当然我们一般把它记为
Nε(无穷)
当我们考察的这个集合
不包括无穷远点时
比方说Z的模长大于1/ε
但是不能取到正无穷
此时我们就称这样的点集
为无穷远点的去心邻域
或者是空心邻域
那它在复球面上呢
是对应着以N为心的这样一个球盖
要挖掉N就可以了
这是无穷远点的去心邻域
和无穷原点的邻域
下面我们加一些注记
首先无穷是扩充复平面的内点
也是原复平面唯一的界点
第二
扩充复平面是唯一无边界的区域
是连通的开集
第三
在扩充复平面上
Jordan定理依然成立
本节的作业请参考课程平台
好 本节就讲到这里
-1.1 复数
--电子教案
--延伸阅读
--延伸阅读
--延伸阅读
--1.1 作业测试
-1.2 复平面上的点集
--电子教案
--延伸阅读
--延伸阅读
--1.2 作业测试
-1.3 复变函数
--电子教案
--延伸阅读
--1.3 作业测试
-1.4 复球面与无穷远点
--电子教案
--延伸阅读
--延伸阅读
--1.4 作业测试
-1.5 本章导学
--导学视频
--导学课件
-1.6 小结与测试
--本章测试
-2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程
--电子教案
--延伸阅读
--延伸阅读
--2.1 作业测试
-2.2 初等解析函数
--电子教案
--延伸阅读
--延伸阅读
--延伸阅读
--2.2 作业测试
-2.3 初等多值函数
--电子教案
--延伸阅读
--延伸阅读
--延伸阅读
--2.3 作业测试
-2.4 本章导学
--导学视频
--导学课件
-2.5 小结与测试
--本章测试
-3.1复积分的概念及其简单性质
--电子教案
--3.1 预习测试
--3.1 作业
--延伸阅读
-3.2柯西积分定理
--电子教案
--作业测试
--3.2 作业1
-3.3柯西积分公式及其推论
--电子教案
--3.3 预习测试
--3.3 作业1
-3.4解析函数与调和函数的关系
--电子教案
--3.4 预习测试
--3.4 作业
-3.5本章导学
--第三章导学视频
--导学课件
-3.6小结与测试
--复习小结
--本章测试
-4.1复级数的基本性质
--电子教案
--作业测试
--4.1作业
--延伸阅读
-4.2幂级数
--4.2幂函数
--教学课件
--电子教案
--作业测试
--4.2 作业
--延伸阅读
-4.3解析函数的泰勒展式
--电子教案
--4.3 预习测试
--4.3 作业
--延伸阅读
-4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理
--电子教案
--4.4 预习测试
--4.4 作业
--延伸阅读
-4.5本章导学
--第四章导学视频
--第四章导学课件
-4.6小结与测试
--第四章测试
-5.1 解析函数的洛朗展式
--5.1 电子教材
--5.1 预习测试
--5.1 作业
--5.1 延伸阅读
-5.2 解析函数的孤立奇点
--5.2.3 极点
--5.2 ppt
--5.2 电子教案
--5.2.1 预习测试
--5.2.2 作业1
--5.2.3 作业2
--5.2.4 作业3
--5.2 延伸拓展
-5.3 解析函数在无穷远点的性质
--5.3 电子教案
--5.3.1预习测试
--5.3.2 作业
--5.3 延伸阅读
-5.4 整函数与亚纯函数的概念
--5.4 电子教案
--5.4.1 预习测试
--5.4 延伸阅读
-5.5 本章导学
--第五章 导学视频
--第五章 导学课件
-5.6 小结与测试
--第五章 学习指导
--第五章测试
-6.1 留数
--6.1 PPT
--6.1 电子教案
--6.1.1 预习测试
--6.1.2 作业1
--6.1.3 作业2
--6.1 延伸阅读
-6.2 用留数定理计算实积分
--6.2 电子教案
--6.2.1 作业1
--6.2.2 作业2
--6.2 延伸阅读
-6.3 幅角定理及其应用
--6.3 PPT
--6.3 电子教案
--6.3 作业
--6.3 延伸阅读
-6.4 本章导学
--第六章导学视频
-6.5 小结与测试
--第六章测试
-7.1 解析变换的特性
-7.2 分式线性变换
-7.5 智慧课堂参赛课程
--7.5 课前讨论
--7.5 学习指导
--7.5 留数的定义及求法作业
-7.5.1 附件3 课题教学设计
