当前课程知识点：复变函数 >  第2章 解析函数 >  2.3 初等多值函数 >  2.3.2 根式函数二

返回《复变函数》慕课在线视频课程列表

2.3.2 根式函数二在线视频

下一节:2.3.1 根式函数一

返回《复变函数》慕课在线视频列表

2.3.2 根式函数二课程教案、知识点、字幕

这一讲我们将继续学习根式函数

在上一讲当中我们分出了根式函数的单值连续分支

我们从原点沿负实轴割开z平面以后

在这样的区域G内有一条过z0的简单闭曲线C

当我们的一个动点z绕着C运动一周以后

它所对应的像点wk分别各自画出了一条简单闭曲线

因而我们分出了它的单值连续分支

好我们现在不按照刚才的方法割破z平面

我们有一条围绕原点 穿过负实轴的简单闭曲线C一弯

z0在C一弯上我们的一个动点C从z0开始沿着C一弯运动一周

这个时候我们会发现它所对应的像点

以n=3为例像点w0(0) w1(0 )w2(0)

由于z绕着C弯运动一周以后它的辐角增加或减少了2π

那么它所对应的像点的辐角也增加或者会减少2π/3

这样一来的话它所对应的像点w0(0)就跑到w1(0)的位置

而w1(0)相应的跑到了w2(0)的位置而w2(0)就移到w0(0)的位置

也就是说沿着虚线的方向连在了一起

这样我们就分不出根式函数的单值连续分支

因为这个时候w=(n)√z就会像图上一样

沿着虚线的路径从一支跑到了另外一支

这样一来的话也就是说当我们的动点z绕着这样一个

包含原点的简单闭曲线运动一周的时候它的像点从一支跑到了另外一支

那么我们不能分出w=(n)√z

n个独立的单值连续分支

这样一来我们就会发现原点z=0有这样的一个特性

当z绕z=0转一整圈回到原来的位置的时候

那么它所对应的像点将由一个值变到了另外一个值

那么我们把具有这种特性的点称之为是支点

也就是咱们课本上的定义

对应多值函数w=f(z)若点z=a具有这样的一个特性

在z=a一个充分小的邻域内

作一条包围该点的简单闭曲线C

当z从C某一点起出发绕着C连续变动一周回到出发点时

如果它的函数f(z)从一个值变化到了另外一个值

那么我们就把这样的z=a这个点称之为是f(z)的支点

那么显然z=0是根式函数w=(n)√z的支点

同样z等于无穷远点也是根式函数的一个支点

因为如果我们当z沿顺时针方向绕以原点z=0为心

半径足够大的圆周运动一周

那实际上也就是无穷远点的一个领域

那么这个时候辐角将会减少2π

那么我们的根式函数w=(n)√z就会从一个值跑到另外一个值

这样一来z等于无穷也是根式函数的一个支点

那么大家可以课下分析除了z等于零和无穷远点以外

根式函数没有其它的支点了

那也就是说我们的根式函数有两个支点z=0及z等于无穷远点

好那么现在我们从z=0开始沿一条简单闭曲线连接无穷远点

割开z平面在这样割开以后的z平面G内

我们可以发现任何闭曲线都不会把支点包含在内部

因而在G内的某一点z0

如果我们选定z0辐角argz0的值那么也就选定它像点(n)√z的辐角n个值当中的一个

那么G内其它各点的值它的辐角也都会被确定

这样一来的话我们就确定了一个单值函数

叫做根式函数在G内一个单值连续分支

那么我们从原点连接无穷远点的这样一条割开z平面的割线

我们把它称之为是支割线也就是我们定义中所说

用了割破z平面借以分出函数w=f(z)的单值解析分支的割线

称之为这个函数的支割线

一般支割线是连接原点和无穷远点的射线或者是简单曲线

那么对于我们来说可以是连接原点及无穷远点负实轴

当然也可以是正实轴甚至是其它的简单闭曲线都可以割开z平面

我们同样都可以分出根式函数的单值解析分支

那么对于支割线来说一般我们支割线认为分成两岸

在同一个位置我们要认为是上下两岸两个不同的点

即割线的上下两岸我们要看成是这个区域两条边界线

对于支割线的不同的做法分支就不同

这是因为对于各个分支的定义G会随着支割线的不同改变而改变

那么这个时候它所对应的值域Tk也会随着值域的改变而改变

那么这个时候我们要注意无论支割线怎么变

但是各个分支的总体任然是(n)√z

因而改变后的Tk任然是互不相交而填满整个w平面

特别的如果我们取负实轴为支割线而分出根式函数的n个单值分支

那么其中一个分支在正实轴上取正值的时候

那么我们把这个分支称之为是w=(n)√z的主值支

可以表示成这种形式 也就是说我们限定它的辐角θ是在-π到π这个范围内的

那么下面对于根式函数我们要注意一下三点

第一点对于根式函数来说w=(n)√z我们除了可以用它来表示多值函数的全体

有时候也可以用它来表示多值函数的某一个确定的分支

那么这个时候我们要根据上下文来分析它到底是表示的哪一个分支

那么对于确定的某一个分支来说我们就可以对根式函数求导

(n)√z对z的导数就等于1/n*z^(1/n-1)

那么这和我们在数学分析当中求导公式是完全一致的

这里我们要提醒大家注意对于根式函数甚至于对于所有的多值函数来说

讨论它的导数只能在某一个确定的单值分支上来讨论

而不能就整体来讨论它的导数问题这是我们要注意的第一个问题

第二个问题 那么对于区域G而言如果G本身不包含原点或者是无穷远点的时候

那么这个时候(n)√z在G内就可以分出它的单值分支

我们就不需要割开z平面

如果G包含原点或无穷远点那么这个时候

我们就要从原点至无穷远点引一条割线将G割开

这样我们才能分出它的单值连续分支

通过前面的讨论我们可以推广到更为一般的情形

对于w=(n)√(z-a)经过适当的变量替换

我们发现z等于a以及z等于无穷为它的支点

现在我们从z=a出发作一条沿伸向无穷远点的广义简单曲线为支割线

那么在沿支割线割开的z平面上任意一区域内都可以分出

w=(n)√(z-a)的n个单值解析分支

我们这一讲主要介绍了什么是支点以及支割线

对于多值函数来说支点以及支割线是至关重要的

我们找出多值函数的支点并作出相应的支割线

在割开的以后的平面上我们可以分出多值函数的单值分支

这对于研究多值函数的性质是至关重要的

我们这一讲就到这里

复变函数课程列表：

第1章 复数与复变函数

-1.1 复数

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.1 作业测试

-1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.2 作业测试

-1.3 复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--电子教案

--延伸阅读

--1.3 作业测试

-1.4 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.4 作业测试

-1.5 本章导学

--导学视频

--导学课件

-1.6 小结与测试

--本章测试

第2章 解析函数

-2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程

--2.1.1 解析函数

--2.1.2 解析函数的判别 第一讲

--2.1.3 解析函数的判别 第二讲

--2.1.2 解析函数的判别 第一讲

--2.1.3解析函数的判别 第二讲

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.1 作业测试

-2.2 初等解析函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角函数与双曲函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角与双曲函数

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.2 作业测试

-2.3 初等多值函数

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.3 作业测试

-2.4 本章导学

--导学视频

--导学课件

-2.5 小结与测试

--本章测试

第3章 复变函数的积分

-3.1复积分的概念及其简单性质

--3.1.1 复积分的概念

--3.1.2 复积分的计算

--3.1.3 复积分的性质

--§3.1.1 复积分的概念

--§3.1.2 复积分的计算

--§3.1.3 复积分的性质

--电子教案

--3.1 预习测试

--3.1 作业

--延伸阅读

-3.2柯西积分定理

--3.2.1 柯西积分定理

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理推广1

--3.2.4 柯西积分定理推广2

--3.2.1 柯西积分定理1

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理——柯西积分定理的推广1

--3.2.4 柯西积分定理——柯西积分定理的推广2

--电子教案

--作业测试

--3.2 作业1

-3.3柯西积分公式及其推论

--3.3.1 柯西积分公式及其推论

--3.3.2 柯西积分公式及其推论

--3.3.3 解析函数无穷次可微性

--3.3.4 柯西不等式与刘维尔定理

--3.3.1柯西积分公式

--3.3.2柯西积分公式推论1

--3.3.3解析函数无穷次可微性

--3.3.4柯西不等式与刘维尔定理

--电子教案

--3.3 预习测试

--3.3 作业1

-3.4解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--电子教案

--3.4 预习测试

--3.4 作业

-3.5本章导学

--第三章导学视频

--导学课件

-3.6小结与测试

--复习小结

--本章测试

第4章 解析函数的幂级数表示法

-4.1复级数的基本性质

--4.1.1复数项级数

--4.1.1 复数项级数

--电子教案

--作业测试

--4.1作业

--延伸阅读

-4.2幂级数

--4.2幂函数

--教学课件

--电子教案

--作业测试

--4.2 作业

--延伸阅读

-4.3解析函数的泰勒展式

--4.3.1泰勒定理

--4.3.1泰勒定理

--电子教案

--4.3 预习测试

--4.3 作业

--延伸阅读

-4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--电子教案

--4.4 预习测试

--4.4 作业

--延伸阅读

-4.5本章导学

--第四章导学视频

--第四章导学课件

-4.6小结与测试

--复变函数第四章复习小结

--第四章测试

第5章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

-5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1解析函数的洛朗展式

--5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1 电子教材

--5.1 预习测试

--5.1 作业

--5.1 延伸阅读

-5.2 解析函数的孤立奇点

--5.2.1 孤立奇点的分类

--5.2.2 可去奇点

--5.2.3 极点

--5.2.4 本质奇点

--5.2 ppt

--5.2 电子教案

--5.2.1 预习测试

--5.2.2 作业1

--5.2.3 作业2

--5.2.4 作业3

--5.2 延伸拓展

-5.3 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3 电子教案

--5.3.1预习测试

--5.3.2 作业

--5.3 延伸阅读

-5.4 整函数与亚纯函数的概念

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 电子教案

--5.4.1 预习测试

--5.4 延伸阅读

-5.5 本章导学

--第五章 导学视频

--第五章 导学课件

-5.6 小结与测试

--第五章 学习指导

--第五章测试

第6章 留数理论及其应用

-6.1 留数

--6.1.1 留数定义

--6.1.2 留数定理

--6.1.3 无穷远点处的留数

--6.1 PPT

--6.1 电子教案

--6.1.1 预习测试

--6.1.2 作业1

--6.1.3 作业2

--6.1 延伸阅读

-6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 留数定理计算实积分

--6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 电子教案

--6.2.1 作业1

--6.2.2 作业2

--6.2 延伸阅读

-6.3 幅角定理及其应用

--6.3.1 辐角原理及其应用

--6.3.2 辐角原理及其应用

--6.3 PPT

--6.3 电子教案

--6.3 作业

--6.3 延伸阅读

-6.4 本章导学

--第六章导学视频

-6.5 小结与测试

--复变函数第六章复习小结

--第六章测试

第7章 *共形映射

-7.1 解析变换的特性

--7.1 解析变换的特性

-7.2 分式线性变换

--7.2 分式线性变换

-7.5 智慧课堂参赛课程

--7.5 PPT与电子教案

--7.5 课前讨论

--7.5 学习指导

--7.5 课上抢答与随堂测试

--7.5 留数的定义及求法作业

-7.5.1 附件3 课题教学设计

--附件3 课题教学设计

2.3.2 根式函数二笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:


  1. 复变函数(2021秋)

  2. Small Acupoints Help Your Health Better on(Round 2)

  3. 传播学概论(2021秋)

  4. International Shipping Practice’(CH/ENG)(Round 2)

  5. 教你学创意(2021秋)

  6. 中医护理技术(2021秋)

  7. 中医护理技术(2021秋)

  8. Heat Transfer(Round 2)

  9. Heat Transfer(Round 2)

  10. Roller Skating Course For Beginners(Round 2)

  11. Roller Skating Course For Beginners(Round 2)

  12. 中国国情与文化概况(2021秋)

  13. 中国国情与文化概况(2021秋)

  14. 数字逻辑(2021秋)

  15. 数字逻辑(2021秋)

  16. 工程图学(基础篇)(2021秋)

  17. 岩石物理学(2021秋)

  18. Calculus I(Round 2)

  19. Appreciation of Chinese and Western Cultures(Round 1)

  20. Brain Science and Advanced Imaging Techniques(Round 2)
© 柠檬大学-慕课导航 课程版权归原始院校所有，
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引，不提供在线课程学习和视频，请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。