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欢迎来到复变函数课堂

本节我们将学习

解析函数的洛朗展式

双边幂级数的知识

在上一章里面

我们已经学过

一个解析的函数

等价于它在区域内

可以展成幂级数

也就是说我们可以用幂级数

来研究解析函数

那么当函数有奇点的情形

我们能不能用级数来研究呢

在这章里面

我们将讨论函数在孤立奇点

也就是说除了这个a点之外

都解析的情形

它的级数表示

并且以级数表示为工具

来研究函数在奇点

及其邻域的性质

下面我们来看一个例子

要求我们将1/[z*（z-1）]

在z的模长大于零小于1内

展成幂级数

由于z=0是函数的一个奇点

那么我们看一下

这个区域是z的模长大于零小于一

而形式应该展成z^n的形式

1/z本身已经具有这种形式

所以我们只需要处理

1/（z-1）这一项就可以了

那么根据z的模长小于1条件

我们可以直接套用公式

把1/(1-z)展成右边的这种形式

最后得到的结果第一项

是1/z的相反数

后面才是幂级数部分

第二块

假如说要求我们

在z-1的模长大于0小于1内

展成z-1的幂级数

同理这里的1是函数的奇点

按照幂级数的展开

奇点处是不能展开的

但是这里有一个1/（z-1）

可以作为(z-1)^n的形式

所以我们只需要处理1/z

把它展成一个

(z-1)^n的形式就可以了

很容易把它展开

因为模长是小于1的

直接套用公式就得到这样一个结果

很显然n=0时

这里是一个1/（z-1）的一个常数倍

还出现了z-1的负幂项

也就是说

当我们遇到

在奇点的某一个空心邻域内

展成幂级数的时候

其实展出来的结果往往会出现

负幂项部分

作为一般的级数的形式

我们就需要面对有幂级数的部分

有负幂项的部分

所以我们来研究一下

如果说有两种形式的级数

一个是这样的

标准的幂级数的形式

另外一种就是我们刚才遇到的

带有负幂项的部分

我们把这两个放到一起

因为前面的展式看出来

既有正幂项部分

又有负幂项部分

所以如果放到一块

这边是负幂项部分

这边是幂级数部分

总体上可以记成

n从负无穷到正无穷

cn (z-a)^n这样一个形式

我们把它记成5.3

假如说负幂项部分

和幂级数部分同时收敛

此时我们就称

5.3这样一个级数是收敛的

当然了由于前面我们讲过

这一块是幂级数部分

所以它收敛的

一定收敛一个解析函数

而这一块我们现在还不清楚

既有正幂项部分

又有负幂项部分

我们就把它收敛的时候

这种级数称之为双边幂级数

下面我们看一下

负幂项部分其实是不解析的部分

而正幂项部分

是解析的部分

而解析的部分

我们在前面已经学过了

第四章学过

所以负幂项部分才是主要部分

因为它涉及到奇点

而这一块不是

我们奇点研究的主要部分

它是解析部分

所以一个双边幂级数

应该分成了解析部分

和主要部分两块

而主要部分

才是我们真正要关注的对象

下面我们来看一下主要部分

它的敛散性问题

假如令1/(z-a)为ζ

该级数就可以变形为

这种幂级数的形式

根据第四章的理论

当级数的收敛半径是R时

也就是说在ζ的模长小于R时

该级数是收敛的

那么我们还原到原级数里面

相当于收敛域就变成了z-a的模长

是大于1/R的

我们把1/R记成r

根据幂级数的理论在该范围内

原级数就收敛于一个解析的函数

我们把它记为f2

根据刚才讲的双边幂级数

包含了负幂项

也包含了正幂项

而正幂项部分

它的收敛半径假如记成R2

很显然在收敛域内

该解析的部分

是收敛于一个解析函数f1的

这时候

我们要求双边幂级数是两者同时收敛

所以收敛域

它有没有交集就显得非常重要

因为这边是考虑以a为心

以R2为半径的圆域内部

这边是以a为心

以R1为半径的圆的外部

所以当R1＞R2的时候

此时我们发现两个级数

它的收敛域不相交

也就是没有公共部分

于是原双边幂级数就没有意义了

因为没有收敛点

第二种情况

如果R1＜R2的

也就是说里面取一个小圆的外部

外面取一个大圆它的内部

于是我们可以得到

两个级数它的收敛域

具有公共的部分

也就是以a为心

以R1和R2为边界的圆环的部分

在这个圆环内

原双边幂级数是收敛的

于是我们得到

当R1＜R2时

原双边幂级数

它在圆环域内是收敛的

所以带有负幂项的

这样的双边幂级数

它的收敛可能要在一个圆盘内

挖掉一部分点

常见的圆环域

包含如下的几种情况

比方说R1取零的时候

挖掉的不是圆盘

而是一个点

我们像这种情况是一种

第二种情况

比方R2取的是正无穷

也就是说

以某一个z-a的模长等于R1

这个圆周的外部也是个圆环域

第三种情况就是R1取零

R2取正无穷

这种情况呢也是一种圆环域

所以我们就得到

双边幂级数

在一个圆环域内是收敛的

那么可能地圆环域有四种情况

下面我们来看一下

双边幂级数

它在收敛的圆环域内

和函数应该具有的性质

因为我们刚才讨论的

双边幂级数包含了幂级数部分

也包含了主要部分

但是主要部分还是转化为幂级数部分

所以我们可以直接利用

幂级数的一些结论

得到第一个

双边幂级数在它的收敛圆环内

一定是绝对收敛

且内闭一致收敛的

收敛到f1+f2

第二个结果

就是函数f在圆环域内是解析的

这个也是幂级数的性质

第三个

函数f在H内是可以逐项求导的

而且求导之后

它还不影响这个和函数的解析性

以及收敛的区域或者半径

第四个

函数f(z)可以在H内的曲线内

逐项的求积分

这些都是幂级数性质的自然推广

本节的一个思考题是

由于双边幂级数

在圆环域内的和函数是解析的

反过来

如果给一个圆环域内的解析函数

能不能在圆环域内

展成双边幂级数呢

本节的内容就到这里

复变函数课程列表：

第1章复数与复变函数

-1.1 复数

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--1.1 作业测试

-1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--1.2 作业测试

-1.3 复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--1.3 作业测试

-1.4 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--1.4 作业测试

-1.5 本章导学

-1.6 小结与测试

--本章测试

第2章解析函数

-2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程

--2.1.1 解析函数

--2.1.2 解析函数的判别第一讲

--2.1.3 解析函数的判别第二讲

--2.1.2 解析函数的判别第一讲

--2.1.3解析函数的判别第二讲

--2.1 作业测试

-2.2 初等解析函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角函数与双曲函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角与双曲函数

--2.2 作业测试

-2.3 初等多值函数

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--2.3 作业测试

-2.4 本章导学

-2.5 小结与测试

--本章测试

第3章复变函数的积分

-3.1复积分的概念及其简单性质

--3.1.1 复积分的概念

--3.1.2 复积分的计算

--3.1.3 复积分的性质

--§3.1.1 复积分的概念

--§3.1.2 复积分的计算

--§3.1.3 复积分的性质

--3.1 预习测试

--3.1 作业

-3.2柯西积分定理

--3.2.1 柯西积分定理

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理推广1

--3.2.4 柯西积分定理推广2

--3.2.1 柯西积分定理1

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理——柯西积分定理的推广1

--3.2.4 柯西积分定理——柯西积分定理的推广2

--作业测试

--3.2 作业1

-3.3柯西积分公式及其推论

--3.3.1 柯西积分公式及其推论

--3.3.2 柯西积分公式及其推论

--3.3.3 解析函数无穷次可微性

--3.3.4 柯西不等式与刘维尔定理

--3.3.1柯西积分公式

--3.3.2柯西积分公式推论1

--3.3.3解析函数无穷次可微性

--3.3.4柯西不等式与刘维尔定理

--3.3 预习测试

--3.3 作业1

-3.4解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--3.4 预习测试

--3.4 作业

-3.5本章导学

--第三章导学视频

-3.6小结与测试

--本章测试

第4章解析函数的幂级数表示法

-4.1复级数的基本性质

--4.1.1复数项级数

--4.1.1 复数项级数

--作业测试

--4.1作业

-4.2幂级数

--作业测试

--4.2 作业

-4.3解析函数的泰勒展式

--4.3.1泰勒定理

--4.3.1泰勒定理

--4.3 预习测试

--4.3 作业

-4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--4.4 预习测试

--4.4 作业

-4.5本章导学

--第四章导学视频

--第四章导学课件

-4.6小结与测试

--复变函数第四章复习小结

--第四章测试

第5章解析函数的洛朗展式与孤立奇点

-5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1解析函数的洛朗展式

--5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1 电子教材

--5.1 预习测试

--5.1 作业

--5.1 延伸阅读

-5.2 解析函数的孤立奇点

--5.2.1 孤立奇点的分类

--5.2.2 可去奇点

--5.2.4 本质奇点

--5.2 电子教案

--5.2.1 预习测试

--5.2.2 作业1

--5.2.3 作业2

--5.2.4 作业3

--5.2 延伸拓展

-5.3 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3 电子教案

--5.3.1预习测试

--5.3.2 作业

--5.3 延伸阅读

-5.4 整函数与亚纯函数的概念

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 电子教案

--5.4.1 预习测试

--5.4 延伸阅读

-5.5 本章导学

--第五章导学视频

--第五章导学课件

-5.6 小结与测试

--第五章学习指导

--第五章测试

第6章留数理论及其应用

-6.1 留数

--6.1.1 留数定义

--6.1.2 留数定理

--6.1.3 无穷远点处的留数

--6.1 电子教案

--6.1.1 预习测试

--6.1.2 作业1

--6.1.3 作业2

--6.1 延伸阅读

-6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 留数定理计算实积分

--6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 电子教案

--6.2.1 作业1

--6.2.2 作业2

--6.2 延伸阅读

-6.3 幅角定理及其应用

--6.3.1 辐角原理及其应用

--6.3.2 辐角原理及其应用

--6.3 电子教案

--6.3 作业

--6.3 延伸阅读

-6.4 本章导学

--第六章导学视频

-6.5 小结与测试

--复变函数第六章复习小结

--第六章测试

第7章 *共形映射

-7.1 解析变换的特性

--7.1 解析变换的特性

-7.2 分式线性变换

--7.2 分式线性变换

-7.5 智慧课堂参赛课程

--7.5 PPT与电子教案

--7.5 课前讨论

--7.5 学习指导

--7.5 课上抢答与随堂测试

--7.5 留数的定义及求法作业

-7.5.1 附件3 课题教学设计

--附件3 课题教学设计

5.1.1 解析函数的洛朗展式笔记与讨论

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