2.2.1 指数函数在线视频

欢迎来到复变函数课堂

这一节我们将给大家介绍

初等解析函数中的指数函数

请大家留意

复指数函数它的定义

以及所具有的独特性在哪里

在前面的内容学习中

我们已经知道了

解析函数的概念

以及常见的几类解析函数

比方说

正整数次幂的多项式函数

在整个复平面内是解析的

其次我们学过有理分式函数

在分母不为零的的点上

也是解析的

并且我们透过一个例子

看到了这个函数

也就是e的x次方

乘以cosy加isiny

这个函数

在整个复平面内是解析的

而且我们求出它的导数

和它自己是一样的

大家想

这个性质非常像我们

数学分析中的指数函数

所以我们下面

就以这样一个函数来定义

复指数函数

大家看

我们把任意的x加iy

作为自变量的话

那么定义z的指数函数

就是这样一个函数

2.9式

也就是e的x次方

乘以cosy加i倍的siny

是这样一个定义

那么需要注意的就是

很显然e的x加iy次方

它的模长就是e的x次方

后面这块正好是三角式的表达式

所以这个e的z次方的辐角

实际上就是y加上2π的整数倍

那我们下面来看一下

指数函数具有的性质

由于是复指数函数

所以放到实数范围内

应该和实指数函数一致

大家看

当这里的y取0的时候

也就是没有虚部了

只是z等于x时

恰好这边就是e的x次方

和通常实指数函数的定义是一样的

第二个

如果我们让x取0

y不一定为0

这个时候就可以按照这个定义

得到的是欧拉公式

也就是e的iy次方

正好是cosy加i倍的siny

第二方面

对于复指数函数e的z次方

我们看到它的模长是e的x次方

恒大于0

因此

在整个复平面上

e的z次方是不为0的

其次

该函数的辐角

其中的主值我们取的是y

当然也可以作为一个特定的值

第三方面

e的z次方在整个复平面上是解析的

这个我们在前面的例子中

已经证明过了

并且我们知道它的倒数

还是不变的

等于它自己

也就是形象地说

和数学分析一样

这个叫不倒翁

求任意借倒还是它自己

这是第三项

下面第四块儿

我们来看一下

复指数函数和实指数函数一样

具有加法定理

也就是e的z1次方乘以e的z2次方

实际上是等于e的z1加z2次方的

为什么是这样的

大家看一下

如果令z1是x1加i倍的y1

z2是x2加i倍的y2

这时候把左边代入

代入以后

透过多项式的展开

按照复数的运算法则

最后

一定可以推出化成右边这个式子

它是代数的证明方法

也就是加法定理是成立的

在这里

由于加法定理成立

我们可以导出复指数函数

一个非常非常重要的特性

也就是周期性

首先我们需要定义

什么叫复的周期函数

就是如果一个复函数f（z）

恒等于f（z+ω）

这个等式对于任何复数z都成立

那么我们就称f（z）是周期函数

并且称这个ω是f（z）的一个周期

那么假如说f是一个周期函数

并且它所有的周期

都可以表示成某一个周期

ω的整数倍

这个时候

我们就称ω是f（z）的基本周期

这个有点像数学分析中的

最小正周期

由于复分析里面

我们没有大小比较

所以把它定义为基本周期

也就是所有的周期

都是这个周期的整数倍

那么根据加法定理

我们就可以得到

e的z次方复指数函数的周期性

大家先看这个例子

就是如果对于e的z次方

它恒等于e的z加ω次方

这时候ω一定是它的一个周期

我们想

一定可以导出ω就是2πi的整数倍

为什么是这样的

大家看一下

如果在这里

我取它是对任意的z都成立

我们取一个特殊情况

让z等于0

于是

左边这个就是e的0次方就是1了

假如设z是0

ω是a加bi

那么这个等式就可以变成

e的ω等于e的0次方等于1

把这个e的ω代进去

就得到这个等式

于是这两个复数相等

我们看到这个乘积是1

所以e的a次方等于1

后面这个因此也是等于1

由于e的a次方等于1

这是一个实指数函数

所以a等于0

后面这个恒等于1

大家知道这个虚部就是0

实部就是1

所以我们就倒出a是0

b就是2kπ

然后这里的k属于整数

所以代到这里面

ω写成a加ib

也就是2kπi

那么这样的话

我们就推出对于这个z等于0时

它的周期是2kπi

当然如果z不是0

也可以类似的去证明

计算出来就可以了

那么这就说明e的z次方

是以2kπi为周期的一个周期函数

很显然

这个T如果是e的z次方的周期

那么T是2kπi

所以所有的周期都是2πi的整数倍

我们就可以推出这个e的z次方

它的基本周期是2πi

需要注意的是

复指数函数的周期性

在实指数函数里面是没有的

所以这是我们遇到的第一个

复函数所独具有的性质

而且

它的基本周期是2πi

这个大家需要注意

第三块儿

如果两个复指数函数相等

那么对应的指数

一定相差2πi的整数倍

这个证明和刚才那个周期性

是类似的

第四块儿

由于e的z次方

它具有加法原则

所以我们可以推出

e的-z次方

正好是e的z次方的倒数

而这种除法运算

就相当于是指数的减法

这个和数学分析完全一致

下面我们再看

对于复指数函数而言

这个当自变量z

趋向于无穷的时候

极限是不存在的

因此

e的无穷次方

在复数域中没有意义

为什么是这样的

大家看如果我们取的这个z

让它沿着正实轴趋于0

这个时候e的iy次方就没有了

也就是说e的z次方

正好是e的x次方

所以这时候当z趋于无穷大

相当于x趋于无穷大

于是这个是正实轴

x趋于正无穷

于是这个期限是趋于正无穷的

如果沿着复实轴的话

这个极限是趋于0的

所以沿着不同的路径

极限存在不相等

或者说极限不存在

我们就推出

这个极限是不存在的 好

下面我们需要注意一个事实就是

e的z次方在复数域中

它只是一个记号

和实指数中e的成幂

是不一样的

它没有这个含义

那么

有时候为了区分

就把e的z次方写成这样一个记号

第六个方面

我们看到

对于任意的复数z

e的z次方

始终是等于e的z加2Kπi

这就相当于罗尔中值定理中有两端是相同的

并且中间是可倒

在我们这里

对于复指数函数而言

它处处可倒

所以按照数学分析中

罗尔中值定理的条件

应该能推出存在0点

但是由于e的z次方处处非零

所以复指数函数不满足

罗尔中值定理

也就是说复变函数中值定理

未必成立

大家思考一个问题

在复变函数中啊

洛必达法则是否成立

这节课就上到这里