当前课程知识点：复变函数 >  第5章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 >  5.2 解析函数的孤立奇点 >  5.2.4 本质奇点

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5.2.4 本质奇点课程教案、知识点、字幕

欢迎来到复变函数课堂

本节我们将学习解析函数孤立奇点中的本质奇点

首先我们来看一下除了利用展开式判定奇点的类型之外呢

我们还可以用什么方法判定本质奇点

假如函数f(z)它以a点为孤立奇点

那么a是本质奇点的充要条件为f在z趋于a时的极限

既不是有限数也不是无穷

因为是有限数是可去奇点是无穷就是极点

所以只要极限既不是有限数也不是无穷

那么该点就是本质奇点

需要注意的是本质奇点的判定

大多数使用的是展式法

比方说我们让大家做一个e^(1/z)

以零为本质奇点的这样一个题

很显然我们直接把e^(1/z)在0这一点展开

就能发现它的负幂相有无穷多项

因此零就是该函数的本质奇点

下面利用刚才的定理

我们给出本质奇点的一个性质

假如a点是f的本质奇点而且在a的充分小邻域内f是非零的

则a点一定是f倒函数的本质奇点

为什么呢

如果我们令这个倒函数φ(z)由题设条件

我们知道a点一定是φ(z)的孤立奇点

既然是孤立奇点就有而且只有三种情况

假如说z=a是φ的可去奇点

那么在z趋于a时φ的极限是存在且有限

当极限是零时说明f在z趋于a时的极限是无穷 那此时a点就是f的极点

如果极限是有限的非零常数 那么f在a的极限也是常数

说明a点是f的可去奇点

这两种情况都跟题设a点是本质奇点矛盾

因此a点不是φ的可去奇点

另外一种情况a点如果是φ的极点呢

说明φ在z趋于a时的极限就是无穷了

那也就是说f在z趋于a时的极限为零

于是a点就是f的可去奇点 这个跟题设也不符

因此a点只能是φ的本质奇点

就是这个结论我们就证完了

下面我们把孤立奇点

它的分类和判定做一小结

孤立奇点分为如下三类

一个是可去 一个是m阶极点 第三类是本质奇点

按照展式法来去看的话

可去奇点当且仅当它的主要部分消失

也就是没有负幂项 m阶极点当且仅当它的主要部分

含有1/(z-a)的最高次方为m次而本质奇点含有无穷多个负幂项

第二种方法我们是利用极限法极限法里面可去奇点的充要条件是极限存在且有限

而极点它的充要条件是该极限是无穷

本质奇点就是极限 既不是常数也不是无穷

这样的话用来判定孤立奇点

往往用展式或者极限法就可以了

需要注意的是 奇点并不都是孤立奇点

对于多值函数而言 其支点就是奇点

而对于单值函数而言

只有是孤立奇点的情况 才能分成如下的三类

另外一种情况还包含非孤立奇点

因此

让我们判定奇点的类型需要从孤立系列非孤立奇点和支点来去考虑

只有在孤立奇点的情况下

才可以继续用展式法或者极限法来去细分奇点的类型

一般情况下支点不做讨论

下面我们看一下本质奇点附近即函数取值的情况

在1876年魏尔斯特拉斯给出了下这个定理

假如a点是函数f的本质奇点

那么对于任何一个常数A当然

这个常数A可以是无穷 也可以是普通的复数

我们都可以找到一个收敛于a的点列zn使得f在zn趋于a的时候

它的极限值是a

这个意思是说

如果a点是f的本质奇点

那么在本质奇点的充分小邻域内f(z)几乎可以取到任意事先给定的常数

所以本质奇点周围的函数值分布是非常复杂的

下面我们用一个实例来验证刚才的定理

假如函数取为sin 1/z而本质奇点取为零

这时候我们看一下事先任给常数A 假如A是无穷

我们看怎样找到一个点列

比方我们取zn就是i/n也就是1/zn等于-in很

显然当n趋于无穷大的时候 zn是趋于本质奇点零的

并且sinz这个函数在1/zn处的值

我们可以把它算出来是这样一个分式

当n趋无穷大的时候 它是趋于无穷的

也就是说我们找到一个点列 可以趋于事先给定的常数A

假如A不是无穷

我们怎么样去找一个点列使得f在这个点列上的值趋于A

直接解这样一个方程 我们容易得到1/z

就可以写成一个反正弦的形式

于是可以把zk取出来

在这里我们只需要取这里的整数 k为正整数n就可以了

而zn在n趋无穷大时是趋于本性奇点零的

同时 f(z)在zn的值就等于A 因此 当zn趋于零时或者n趋无穷大的时候

f(z)作为常数列 它一定等A

这个例子让我们看到

如果A不是无穷 其实取的那个点列可以让函数值等于A

如果A不是无穷 其实取的那个点列可以让函数值等于A

那问题来了

这里具不具备一般性呢

还是仅仅这个例子所具有的特征

事实上我们有下面的皮卡大定理

假如A是f的本质奇点 那么对于每一个A≠∞

除掉一个可能的值之外 一定能找到一列趋于a的点列

使得f在这个点列上的值就等于A

这里面有精确的值等于A

只要A大A不是无穷 还有可能有一个值取不到

比方说我们取函数f(z)是1/e^z它的本质奇点是零

那么这时候假如对于大A=0f(z)是取不到的

因为我们知道在复平面内该函数是取不到零的

所以这时候就需要利用魏尔斯特拉斯定理取一个极限

也就是说除了无穷原点

最多还可能相差一个一个点函数总能够在zn处取到A

这就是皮卡大定理

这个定理其实深刻地揭示了本质奇点的性质

因为在本质奇点的周围f几乎可以取到事先给定的任何复数

因此其值域的分布是很广

但也决定了本质奇点的研究比较复杂

本节课的作业参见课程平台

好 本节课就讲到这里

复变函数课程列表：

第1章 复数与复变函数

-1.1 复数

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.1 作业测试

-1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.2 作业测试

-1.3 复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--电子教案

--延伸阅读

--1.3 作业测试

-1.4 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.4 作业测试

-1.5 本章导学

--导学视频

--导学课件

-1.6 小结与测试

--本章测试

第2章 解析函数

-2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程

--2.1.1 解析函数

--2.1.2 解析函数的判别 第一讲

--2.1.3 解析函数的判别 第二讲

--2.1.2 解析函数的判别 第一讲

--2.1.3解析函数的判别 第二讲

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.1 作业测试

-2.2 初等解析函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角函数与双曲函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角与双曲函数

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.2 作业测试

-2.3 初等多值函数

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.3 作业测试

-2.4 本章导学

--导学视频

--导学课件

-2.5 小结与测试

--本章测试

第3章 复变函数的积分

-3.1复积分的概念及其简单性质

--3.1.1 复积分的概念

--3.1.2 复积分的计算

--3.1.3 复积分的性质

--§3.1.1 复积分的概念

--§3.1.2 复积分的计算

--§3.1.3 复积分的性质

--电子教案

--3.1 预习测试

--3.1 作业

--延伸阅读

-3.2柯西积分定理

--3.2.1 柯西积分定理

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理推广1

--3.2.4 柯西积分定理推广2

--3.2.1 柯西积分定理1

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理——柯西积分定理的推广1

--3.2.4 柯西积分定理——柯西积分定理的推广2

--电子教案

--作业测试

--3.2 作业1

-3.3柯西积分公式及其推论

--3.3.1 柯西积分公式及其推论

--3.3.2 柯西积分公式及其推论

--3.3.3 解析函数无穷次可微性

--3.3.4 柯西不等式与刘维尔定理

--3.3.1柯西积分公式

--3.3.2柯西积分公式推论1

--3.3.3解析函数无穷次可微性

--3.3.4柯西不等式与刘维尔定理

--电子教案

--3.3 预习测试

--3.3 作业1

-3.4解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--电子教案

--3.4 预习测试

--3.4 作业

-3.5本章导学

--第三章导学视频

--导学课件

-3.6小结与测试

--复习小结

--本章测试

第4章 解析函数的幂级数表示法

-4.1复级数的基本性质

--4.1.1复数项级数

--4.1.1 复数项级数

--电子教案

--作业测试

--4.1作业

--延伸阅读

-4.2幂级数

--4.2幂函数

--教学课件

--电子教案

--作业测试

--4.2 作业

--延伸阅读

-4.3解析函数的泰勒展式

--4.3.1泰勒定理

--4.3.1泰勒定理

--电子教案

--4.3 预习测试

--4.3 作业

--延伸阅读

-4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--电子教案

--4.4 预习测试

--4.4 作业

--延伸阅读

-4.5本章导学

--第四章导学视频

--第四章导学课件

-4.6小结与测试

--复变函数第四章复习小结

--第四章测试

第5章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

-5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1解析函数的洛朗展式

--5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1 电子教材

--5.1 预习测试

--5.1 作业

--5.1 延伸阅读

-5.2 解析函数的孤立奇点

--5.2.1 孤立奇点的分类

--5.2.2 可去奇点

--5.2.3 极点

--5.2.4 本质奇点

--5.2 ppt

--5.2 电子教案

--5.2.1 预习测试

--5.2.2 作业1

--5.2.3 作业2

--5.2.4 作业3

--5.2 延伸拓展

-5.3 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3 电子教案

--5.3.1预习测试

--5.3.2 作业

--5.3 延伸阅读

-5.4 整函数与亚纯函数的概念

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 电子教案

--5.4.1 预习测试

--5.4 延伸阅读

-5.5 本章导学

--第五章 导学视频

--第五章 导学课件

-5.6 小结与测试

--第五章 学习指导

--第五章测试

第6章 留数理论及其应用

-6.1 留数

--6.1.1 留数定义

--6.1.2 留数定理

--6.1.3 无穷远点处的留数

--6.1 PPT

--6.1 电子教案

--6.1.1 预习测试

--6.1.2 作业1

--6.1.3 作业2

--6.1 延伸阅读

-6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 留数定理计算实积分

--6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 电子教案

--6.2.1 作业1

--6.2.2 作业2

--6.2 延伸阅读

-6.3 幅角定理及其应用

--6.3.1 辐角原理及其应用

--6.3.2 辐角原理及其应用

--6.3 PPT

--6.3 电子教案

--6.3 作业

--6.3 延伸阅读

-6.4 本章导学

--第六章导学视频

-6.5 小结与测试

--复变函数第六章复习小结

--第六章测试

第7章 *共形映射

-7.1 解析变换的特性

--7.1 解析变换的特性

-7.2 分式线性变换

--7.2 分式线性变换

-7.5 智慧课堂参赛课程

--7.5 PPT与电子教案

--7.5 课前讨论

--7.5 学习指导

--7.5 课上抢答与随堂测试

--7.5 留数的定义及求法作业

-7.5.1 附件3 课题教学设计

--附件3 课题教学设计

5.2.4 本质奇点笔记与讨论

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