3.2.2 不定积分在线视频

欢迎来到复变函数课堂

这一讲我们将给大家介绍

柯西积分定理中不定积分的部分

在上一节里面

我们给出了解析函数积分论中的

基本定理 也就是柯西积分定理

该定理的内容是说

在一个单连通的区域D内

解析的函数f(z)

对D内的任何周线上的积分为0

这个周线可以推广到

一般的闭曲线 这样的话呢

就说明了如果f(z)

在单连通区域D内解析

那么沿着f(z)的任何一条曲线L

在L上的这个积分呢

就只和起点和终点有关

也就是说如果你再换一条曲线

那么这个积分值是一样的

于是我们取定一个点z0

任给一点z 由于积分和路径无关

这样就可以唯一的透过这个积分

决定一个值 与所给的z对应

于是在单连通区域D内

我们就定义了一个变上限的积分

由此定义了一个函数

我们记这个函数是3.4

这个记号跟数学分析比起来

只是这里是负数 实分析是实数

下面我们来考察一下

这个变上限积分所定义的函数

所具有的性质

这个体现在定理3.6中

假定函数f(z)在一个单连通的

区域D内是解析的

然后由刚才那个3.4所定义的

这个函数大F

也就是从z0到z 求F(z)的积分

这样一个函数呢

在D内也是解析的

并且它的一阶导正好就是小f(z)

在没有讲证明之前

我们简要的评论一下

在数学分析中变上限的积分函数

有这样的结论

就是被积函数连续

积分函数所得到的函数是可维的

我们在这里呢

在单连通区域D内解析

那么它所定义的变上限积分函数

是解析的

并且这一阶导就等于小f自己

我们为了证明这个定理的话

主要从定义的角度来去看

就是说这个变上限的

积分函数大F

它要说明能在D内

每一点是可导的就可以了

因为区域D内的解析和可导

是一样的

那么我们知道 导数或者可导

实际上就是差商的极限存在

所以我们在这个区域D内

对于D内的任何一点z而言

我们以z为中心

取一个充分小的长度为半径

作为一个圆盘

使得该圆盘完全落在D内

那么这个中心是z

这个在圆周上面我们取z 叫Δz

所以只要考虑大F在z+Δz的值

减掉大F在z的值比上Δz

这个差商它的极限是否存在

如果存在就可导了

再根据z的任意性就证明了

f在整个区域D内是可导的

从而就解析了

那么按照定义的话

大家看这个差商的分母不变

把大F具体的形式代入

就可以得到大F(z)加Δz

就是从z0作为下限

上限就是z+Δz这样一个积分

而大F(z)还是以z0作为下限

以z作为上限的一个积分

所以是这个差再比上Δz

就可以了

那么为了证明这个

差商的极限存在

我们需要把这个作形变

也就是说这个是从z0到z+Δz的

大家看一下从z0到z+Δz

这个路径不一定是先从z0到z

再z到z+Δz

现在根据柯西积分定理

积分和路径是无关的

所以我们就可以把这样一个

z0到z+Δz先取成z0到z

就是取前面一段路径

跟后面这个函数的路径是一样的

然后最后这一段呢

就是还是从z到z+Δz

也就是这样的话呢 前面两个

就是这个把大F(z)加Δz

分成两段

第一段的路径和大F(z)的路径

是一样的

这样我们就可以得到这个差商

它的表达式应该是分母不变

把分子直接从z积到z+Δz

考察f的积分就可以了

这里我们用到了一个

积分和路径无关的条件

就可以得到这个式子

那我们下面看一下

要使得这个差商的极限等于谁呢

我们根据结论是

导数就等于小f(z)

所以现在我们把小f(z)

也作相同的形式的这样一个变形

因为f(z)和ζ没有关系

就和这里的ξ没关系

所以我们可以把f(z)写成1/Δz

让f沿着z到z+Δz作积分

因为这个积分变量是ξ

所以这个f(z)可以提出来

整个结果是不变的

那么为了说明这个极限

就等于f(z)

所以我只需要把这两个作差

看一看它是否可以任意小

就可以了 那么作差以后

按照这个表达式

也就是说这个差商减掉f(z)

正好是1/Δz

让被积函数是f(ζ)减掉f(z)

从z到z+Δz求积分就可以了

那我们下面看一下

这个商 就是差商减掉f(z)

它是否 就是这个值

是否可以充分小呢

那我们考虑另外一个要素

就是由于f在区域D内是解析的

所以解析一定是连续的

那么大家看实际上

关键就是这个可以足够小

那么根据连续性

所以对于事先给定的任意的ε

只要我们开始取的那个小圆周

足够小

然后在圆周内的一切点ζ

它都符合这个条件f(ζ)-f(z)

我们让小于ε

就是我们可以取的那个

z+Δz的半径是根据这个ε

来让它小于Δ就行了

就有这个结果 这样的话呢

我们就可以直接由积分估值定理

也就是积分的模长

不会超过模长的积分

我们把这个式子代入

这个右边正好是积分的模长

只要放缩的时候

只要把这个模长放到里面

大家看到 这个里面它的模长

正好在这样一个小圆盘内小于ε

所以这边是取成ε

而整个这边的模长呢

跟Δz的模长是1比1

也就是说这个差是可以足够小的

那只要我们取得的那个Δz的

半径或者它的模长是小于

根据这个ε来比小于Δ就可以了

所以我们下面就看到了

当我们Δz趋于0

也就是它的模长充分小的时候

其实这个差是趋于0的

那这样的话我们就证明了

F＇就等于小f

在整个D内是成立的

实际上是先在z上面成立

再根据z的任意性

在整个D内就成立了

所以这个定理告诉我们

在单连通区域D内解析的函数

那么它的变上限积分

所定义的函数依然是解析的

而且这个函数的一阶导

正好就等于事先解析的函数f(z)

那其实在刚才这个证明中间

我们会发现

实际上我用到两个条件

第一个条件就是积分和路径无关

我把那个z0到z+Δz

直接写成了z0到z

就是和大F(z)是一致的

第二个条件

化简到一定程度之后呢

我们只需要用到f的连续性

所以这个定理3.6给出的

解析条件

我们可以把它适当的减弱

成为以下的这个定理

也就是如果函数f(z)

在这个单连通区域D内是连续的

第二个 这种沿着曲线C的积分

对于区域D内的任何曲线而言

这个积分值

如果是周线积分值都是0

那么积分和路径是无关的

只要有这两条 结论也是成立的

也就是说这个变上限的积分

所定义的函数大F(z)

是在区域D内解析的

而且大F的一阶导就是小f(z)

那么这个定理和定理3.6比起来

条件稍微弱一点点

而我可以这样讲

区域D内连续以及这个区

在区域D内沿着任何积分路径

闭曲线的积分等于0

这个条件不单单给出了F 大F

它的解析性

根据后面解析函数的

无穷次要维性 我们可以导出

其实小f也是解析的

所以利用这个定理我们可以得到

柯西积分定理的逆定理

也就是小f满足这两个条件的话

依然是解析的 这个是后话

那大家看到 这里有一个

大F的＇等于小f

也有变上限的积分

这个跟数学分析非常的相似

所以我们按照数学分析的称呼

我们也给出原函数的概念

也就是说假如在一个区域D内

一个函数f(z)是连续的

并且找到一个函数大φ

使得在区域D内大φ的一阶导

就是小f 这样呢我们称大φ

是小f在区域D内的一个原函数

或者叫一个不定积分

那很显然 大φ在区域D内

是解析的 因为它是可导嘛

区域D内可导

就等价于区域D内解析

第二个方面 在刚才我们给的

那个定理3.6或者3.7

也就是说单连通区域D内解析

或者是单连通区域D内连续

加积分与路径无关

在这两个定理的条件下

我们发现这个大写的F(z)

就是变上限积分函数

就是小f的一个原函数

因为它的一阶导就是小f

而且很容易证明

对于小f的任何两个原函数

它们之间相差一个常数

因为求一阶导之差等于0

所以它之差就等于常数

也就是说任何一个原函数大φ

一定具有这种形式

因为这个变上限积分

是小f在D内的一个原函数

那么其它的原函数

和这个原函数之间

相差一个常数C

所以就得到了这样一个

3.5的形式

那么大家看一下

这里的C是积分常数

也可以作为任意常数

那么如果我在这个公式中间

令这个z 变上限的z 就是写成z0

那么你会发现大φ(z0)

正好就等于这是从z0到z0

如果是闭曲线或者是周线

积分就是0了 就等于C

所以我们就可以直接把这个公式

由这个公式出发 得到下面的

相当于微积分学基本定理

也就是牛顿-莱布尼兹公式

大家看一下

在定理3.6或者3.7的条件下

如果大φ是小f

在单连通区域D内的

任何一个原函数

那么这时候小f沿着

从z0到z的积分 就可以写成

大φ在z的值减掉大φ在z0的值

就是把这个C一消就可以了

于是我们就得到了这个

复积分中的牛顿-莱布尼兹公式

需要注意的是

这里条件中间定理3.6

是要求在单连通区域D内解析的

而条件定理3.7呢

是要求连续加积分和路径无关

后面我们会说明这个条件

也能够推出f的解析性

所以要利用牛顿-莱布尼兹公式

去求复积分

尤其需要注意验证被积函数

在单连通区域D内的解析性

我们前面有例子说明了

比方说z的实部函数

在区域D内积分和路径是相关的

我们就没办法写成这种形式

也不能用牛顿-莱布尼兹公式

我们下面看一个例子

假如说这个函数是z*cosz?

考察从0到πi的积分

当然z是多项式函数

cos是三角函数中的余弦

都是复平面内解析的

所以整个函数在复平面内解析

于是我们只要找到原函数

验证完解析性

就可以直接用

牛顿-莱布尼兹公式去求积分

大家看一下

这个我们可以直接把它写成

cosz平方不变

把那个z变成dz?

但是会多了一个2

所以在前面除以2就可以了

这样我们就利用直接把z平方

当作u来看

利用这个最普通的定积分公式

就把这个式子化成了

1/2sinz^2从上0到πi

也就是用πi的值减掉0的值

就出来了

那这里我们就借助于

凑微分的方法

利用刚才讲的

牛顿-莱布尼兹公式

就可以求这样一个积分

第二个 比方说让求这样一个

z*cosz从0到i的积分值

这里也是一样

由于z*cosz

在整个复平面内解析

所以我们就可以直接利用

牛顿-莱布尼兹公式

那么关键是找原函数

这里我们把cosz写成sinz的导数

这时候就要用到分部积分

就写成了z*sinz

在0到i这样代入

再减掉它们换一下序

就是sinzdz

然后我们就把这个直接提出来

就可以了

最后得到具体的值

用上限的值减掉下限的值

大家需要注意就是sinz的定义

以及cosz的定义

中间有一个iz 别忘了就行了

最终是可以写出来的

那这里我们借助了数学分析中的

分部积分法

所以只要函数在区域D内解析

考虑这种积分和路径无关时

用牛顿-莱布尼兹公式

去求复积分

就跟数学分析中求实积分的方法

是一样的

这是不定积分的几个例子

下面我们再看 在这个区域内

就是说从负角的主值

从负π 就是负实轴转到正π

在这样一个割负实轴

所剩下的平面内

函数lnz是f(z)等于1/z的

一个原函数

我们知道了一个原函数

并且要考察解析性 大家看

由于f(z)等于1/z

在整个所给的区域D内是解析的

因为这里z是不等于0

就是包含0的负实轴是割破的

所以有解析性 有原函数

我们就可以直接利用

牛顿-莱布尼兹公式

去把这样一个积分写出来

用原函数在上限的值

减掉原函数在下限的值就可以了

好 大家注意 这一讲里面呢

关于不定积分给出的这样一个

牛顿-莱布尼兹公式

实际上它用起来非常方便

但是特别需要注意

验证函数的解析性

要找到相应的原函数就可以了

那这一讲我们就讲到这里

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再见