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3.1.1 复积分的概念在线视频

下一节:3.1.2 复积分的计算

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3.1.1 复积分的概念课程教案、知识点、字幕

欢迎来到复变函数课堂

这一讲我们开始进入

解析函数的积分理论

在第二章

我们曾经用微分的形式

给出了函数在一点以及区域

解析的刻画

那么我们这一章就要看到

第二种研究解析函数的工具

也就是积分理论

本章主要可以分为如下三块内容

在第一部分

我们将给出复积分的定义 计算

以及简单的性质

第二部分是本章的核心内容

也就是柯西积分定理

柯西积分公式以及高阶导数公式

和它们的推广形式

和不同的应用形式

最后我们还会讨论一下

解析函数和调和函数之间的关系

在这一章里面

由于公式还有定理比较多

所以大家需要注意

第一个给出的定理

它的条件是什么 结论是什么

同时把这些定理罗列到一起

对比着记忆

学习的效果会更好一点

为了给出复积分的定义

我们知道 在实分析中呢

定积分是通过分割 求和

取极限的方法来定义的

我们复积分的定义也与此类似

所以我们在分割曲线的时候

为了保证曲线段可以求长度

所以在定义之前作出如下的约定

第一个 我们所讨论的曲线

如果不加说明的话

都认为是逐段光滑的

也就是可求长的

第二个 我们会给出周线

这样一个词

周线的意思是逐段光滑的

简单闭曲线

简单闭曲线当然是连续的

无重点的曲线

这里加上了逐段光滑

也是为了可求长

并且我们规定 对于单周线而言

它的逆时针方向为正向

第三方面 我们规定积分的曲线

都是有向曲线

如果用参数方程来写的话

写成z=z(t)

那么t属于闭区间a到b

代表的就是以z(a)作为始点

以z(b)作为终点的曲线

我们就不需要写成

t是从a到b这样一个记号

下面我们就来看一下

怎么样利用分割求和取极限

来去定义复积分

如果事先给定一条

从a点作为始点 b点作为终点的

逐段光滑曲线

函数f呢 这个曲线是以z=z(t)

这种参数方程写出来的

f是在c上有定义的

现在沿着c从a到b加入

n减一个分点

我们以这个a点作为z0

加入的第一个分点记成z1

依次下去 到第n-1个分点

记成zn-1 最后的b点记成zn

所以我们这样就完成了

对曲线的分割

分割完之后就要去求和

那在每一个分出来的小弧段上面

由于f是有定义的

所以我们可以把这个

zk-1到zk这个弧段上面

任取一个点ζk 然后作一个和式

大家看一下这个和

也就是让f在ζk上取值

乘以Δzk 求和 让k从1取到n

这里Δzk代表的是zk减掉zk-1

这就完成了第二步的求和

当然第三步就是取极限

也就是说随着分点的增多

当我们要求这些分出来的弧段

长度中的最大值是趋于0的

当然这个是要求分点无限增加

那当这个最大值趋于0时

如果上面这个和式Sn它的极限

既不依赖于ζk的选取

也不依赖于你这个分点的取法

它的极限始终是存在等于J

那么这时候我们就称f(z)

沿着曲线C是可积的

并且称这个极限J为f(z)

它在C上的积分

当然这里是有方向的

表示的是从z(a)到z(b)的积分

我们一般情况下把它记为

沿着C f(z)的积分

这个记号千万注意

不要直接写成从a到b的积分

因为有可能积分的路径

虽然始点 终点分别为a到b

但路径可能不一样

所以我们把这个给定的路径

写成C就可以了

这样就完成了复积分的定义

大家看一下 在这个复积分里面

我们给出了积分是从a点到b点

也就是说它是有向的积分

当我们把c的方向取反向的时候

那么这个积分的结果

应该是正向积分的相反数

所以这时候我们可以把它记成c-

代表反向积分

第二个方面 假如沿着c

f是可积的 类似于数学分析

我们可以证明f(z)在c上

一定是有界的

这就是可积必有界

第三个方面 如果c取的是实轴上的

一个曲线段 也就是直线段

比方说是闭区间a到b

那么这时候f(z)就可以写成f(x)

于是按照分割求和取极限的步骤

上面的积分就是数学分析中的

定积分

所以定积分是我们这里

复积分的特例

或者说复积分是定积分的

一种推广

尤其需要注意

这是沿着曲线的积分

好 关于复积分的定义

我们就讲到这里 谢谢

复变函数课程列表：

第1章 复数与复变函数

-1.1 复数

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.1 作业测试

-1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.2 作业测试

-1.3 复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--电子教案

--延伸阅读

--1.3 作业测试

-1.4 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.4 作业测试

-1.5 本章导学

--导学视频

--导学课件

-1.6 小结与测试

--本章测试

第2章 解析函数

-2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程

--2.1.1 解析函数

--2.1.2 解析函数的判别 第一讲

--2.1.3 解析函数的判别 第二讲

--2.1.2 解析函数的判别 第一讲

--2.1.3解析函数的判别 第二讲

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.1 作业测试

-2.2 初等解析函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角函数与双曲函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角与双曲函数

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.2 作业测试

-2.3 初等多值函数

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.3 作业测试

-2.4 本章导学

--导学视频

--导学课件

-2.5 小结与测试

--本章测试

第3章 复变函数的积分

-3.1复积分的概念及其简单性质

--3.1.1 复积分的概念

--3.1.2 复积分的计算

--3.1.3 复积分的性质

--§3.1.1 复积分的概念

--§3.1.2 复积分的计算

--§3.1.3 复积分的性质

--电子教案

--3.1 预习测试

--3.1 作业

--延伸阅读

-3.2柯西积分定理

--3.2.1 柯西积分定理

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理推广1

--3.2.4 柯西积分定理推广2

--3.2.1 柯西积分定理1

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理——柯西积分定理的推广1

--3.2.4 柯西积分定理——柯西积分定理的推广2

--电子教案

--作业测试

--3.2 作业1

-3.3柯西积分公式及其推论

--3.3.1 柯西积分公式及其推论

--3.3.2 柯西积分公式及其推论

--3.3.3 解析函数无穷次可微性

--3.3.4 柯西不等式与刘维尔定理

--3.3.1柯西积分公式

--3.3.2柯西积分公式推论1

--3.3.3解析函数无穷次可微性

--3.3.4柯西不等式与刘维尔定理

--电子教案

--3.3 预习测试

--3.3 作业1

-3.4解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--电子教案

--3.4 预习测试

--3.4 作业

-3.5本章导学

--第三章导学视频

--导学课件

-3.6小结与测试

--复习小结

--本章测试

第4章 解析函数的幂级数表示法

-4.1复级数的基本性质

--4.1.1复数项级数

--4.1.1 复数项级数

--电子教案

--作业测试

--4.1作业

--延伸阅读

-4.2幂级数

--4.2幂函数

--教学课件

--电子教案

--作业测试

--4.2 作业

--延伸阅读

-4.3解析函数的泰勒展式

--4.3.1泰勒定理

--4.3.1泰勒定理

--电子教案

--4.3 预习测试

--4.3 作业

--延伸阅读

-4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--电子教案

--4.4 预习测试

--4.4 作业

--延伸阅读

-4.5本章导学

--第四章导学视频

--第四章导学课件

-4.6小结与测试

--复变函数第四章复习小结

--第四章测试

第5章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

-5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1解析函数的洛朗展式

--5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1 电子教材

--5.1 预习测试

--5.1 作业

--5.1 延伸阅读

-5.2 解析函数的孤立奇点

--5.2.1 孤立奇点的分类

--5.2.2 可去奇点

--5.2.3 极点

--5.2.4 本质奇点

--5.2 ppt

--5.2 电子教案

--5.2.1 预习测试

--5.2.2 作业1

--5.2.3 作业2

--5.2.4 作业3

--5.2 延伸拓展

-5.3 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3 电子教案

--5.3.1预习测试

--5.3.2 作业

--5.3 延伸阅读

-5.4 整函数与亚纯函数的概念

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 电子教案

--5.4.1 预习测试

--5.4 延伸阅读

-5.5 本章导学

--第五章 导学视频

--第五章 导学课件

-5.6 小结与测试

--第五章 学习指导

--第五章测试

第6章 留数理论及其应用

-6.1 留数

--6.1.1 留数定义

--6.1.2 留数定理

--6.1.3 无穷远点处的留数

--6.1 PPT

--6.1 电子教案

--6.1.1 预习测试

--6.1.2 作业1

--6.1.3 作业2

--6.1 延伸阅读

-6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 留数定理计算实积分

--6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 电子教案

--6.2.1 作业1

--6.2.2 作业2

--6.2 延伸阅读

-6.3 幅角定理及其应用

--6.3.1 辐角原理及其应用

--6.3.2 辐角原理及其应用

--6.3 PPT

--6.3 电子教案

--6.3 作业

--6.3 延伸阅读

-6.4 本章导学

--第六章导学视频

-6.5 小结与测试

--复变函数第六章复习小结

--第六章测试

第7章 *共形映射

-7.1 解析变换的特性

--7.1 解析变换的特性

-7.2 分式线性变换

--7.2 分式线性变换

-7.5 智慧课堂参赛课程

--7.5 PPT与电子教案

--7.5 课前讨论

--7.5 学习指导

--7.5 课上抢答与随堂测试

--7.5 留数的定义及求法作业

-7.5.1 附件3 课题教学设计

--附件3 课题教学设计

3.1.1 复积分的概念笔记与讨论

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