当前课程知识点：复变函数 >  第5章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 >  5.2 解析函数的孤立奇点 >  5.2.2 可去奇点

返回《复变函数》慕课在线视频课程列表

5.2.2 可去奇点在线视频

下一节:5.2.3 极点

返回《复变函数》慕课在线视频列表

5.2.2 可去奇点课程教案、知识点、字幕

欢迎来到复变函数课堂

本节我们将学习解析函数孤立奇点中的可去奇点

根据孤立奇点的分类结果

我们知道如果f是可去奇点 它的前提一定是孤立奇点

根据定义f（z）在可去奇点的邻域内或者空心邻域内

它的展式中负幂项是消失的

这样的话我们知道这个右边的级数

实际上是没有负幂项的幂级数

按照第四章的理论

该幂级数它的和函数在a点实际上是一个解析的函数

但是在左边由于a点是可去奇点

可能函数在a点是没有定义的

现在我们知道右边它收敛的是解析函数

所以不管f(z)在a点是否有定义

我们都可以补充一下定义

比方说我们让f在a点的值就等于右边这个级数在a点的取值即为c0

或者说我们把f(z)在a点的值取成f(z)在a点的极限值

此时我们发现f实际上跟F就是一回事了

所以f(z)在a点在补充定义之后就是解析的

所以我们一般情况下会把有限的可去奇点和解析点是不加区别的

只要补充定义就可以了

下面我们来看一下可去奇点的判定

由于孤立奇点的三种类型是根据

其在孤立奇点处函数的洛朗展式来分的

因此洛朗展式是判定 孤立奇点类型的通用方法

下面我们给出的是一些比较特别的方法

比方说

如果a是孤立奇点

那么下面三个结论都是可去奇点的充要条件

第一就是f(z)在a的主要部分消失 那么这是定义

第二是f(z)在a点的极限存在且有限不是无穷

第三就是在a点的某一个空心邻域内f(z)是有界的

这三个命题是判定可去奇点的充要条件 三个是两两等价的

下面我们给出证明

我们的证法是一推二二推三三再推一

所以首先来看一下 由一推二

也就是说f在a点空心邻域内的展式是主要部分消失

那么我们要证的是f的极限有限

当然了很容易看出来

右边如果取极限的时候

极限值一定是c0

所以一就推出了二 二推三实际上是前面的一个例题

也就是极限存在的话

在它的某一个小邻域内是局部有界的空心邻域内局部有界

三推一关键是

如果f在a的空心邻域内是有界的

那么我们要证的是它的主要部分消失

也就是说这些负幂项它的系数都是零

这样的话就证完了

下面我们来估算c-n的值

根据洛朗定理

c-n可以由积分形式来表达

其中Γ是含于收敛圆环内的一个圆周

那按照积分不等式|c-n|是不会超过1/2π

而右边f的模长是根据有界性小于等于大M的|z-a|=ρ的

所以乘起来结论就等于M*ρ

这里|c-n|是非负的

而ρ是可以趋于零的

所以就导致了|c-n|大于等于0而又小于等于0

所以就对任何一个n属于正整数c-n=0

这就证明了

当f在a的空心邻域内有界时

它的主要部分就消失了 于是由三就推出了一

这样我们就证明了上述三个充要条件

下面我们看一个例子

让我们证明z=0是该函数的可去奇点

当然我们可以利用刚才三个充要条件

比方说我们可以先利用展式法 直接把e^z在零的邻域内展开

很容易得到 (e^z-1)/z最终这样一个展开式的形式

那么很显然该形式中没有负幂项

我们就根据定义知道零是该函数的可去奇点

当然我们还可以换一种解法

就是用极限法考察一下该函数在零的极限

当然这是一个0 /0型的

我们利用一次洛必达法则得到这个极限是等于1为非无穷的常数

由于零是孤立奇点

根据第二个充要条件

我们知道零就是该函数的可去奇点

下面请大家思考一个问题

零是这三个函数的哪一类奇点呢

我们可以采取刚才那两种方法

用展式法或者用极限法来考虑

那么很显然这三类函数大家很熟悉

这是在数学分析中学过的等价无穷小量

所以极限存在且有限 它就是可去奇点

我们也可以等价为解析点

这样的话

这一类奇点应该不是孤立奇点的主要部分

因为稍微补充定义就解析了

好 本节课就讲到这里

复变函数课程列表：

第1章 复数与复变函数

-1.1 复数

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.1 作业测试

-1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.2 作业测试

-1.3 复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--电子教案

--延伸阅读

--1.3 作业测试

-1.4 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.4 作业测试

-1.5 本章导学

--导学视频

--导学课件

-1.6 小结与测试

--本章测试

第2章 解析函数

-2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程

--2.1.1 解析函数

--2.1.2 解析函数的判别 第一讲

--2.1.3 解析函数的判别 第二讲

--2.1.2 解析函数的判别 第一讲

--2.1.3解析函数的判别 第二讲

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.1 作业测试

-2.2 初等解析函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角函数与双曲函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角与双曲函数

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.2 作业测试

-2.3 初等多值函数

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.3 作业测试

-2.4 本章导学

--导学视频

--导学课件

-2.5 小结与测试

--本章测试

第3章 复变函数的积分

-3.1复积分的概念及其简单性质

--3.1.1 复积分的概念

--3.1.2 复积分的计算

--3.1.3 复积分的性质

--§3.1.1 复积分的概念

--§3.1.2 复积分的计算

--§3.1.3 复积分的性质

--电子教案

--3.1 预习测试

--3.1 作业

--延伸阅读

-3.2柯西积分定理

--3.2.1 柯西积分定理

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理推广1

--3.2.4 柯西积分定理推广2

--3.2.1 柯西积分定理1

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理——柯西积分定理的推广1

--3.2.4 柯西积分定理——柯西积分定理的推广2

--电子教案

--作业测试

--3.2 作业1

-3.3柯西积分公式及其推论

--3.3.1 柯西积分公式及其推论

--3.3.2 柯西积分公式及其推论

--3.3.3 解析函数无穷次可微性

--3.3.4 柯西不等式与刘维尔定理

--3.3.1柯西积分公式

--3.3.2柯西积分公式推论1

--3.3.3解析函数无穷次可微性

--3.3.4柯西不等式与刘维尔定理

--电子教案

--3.3 预习测试

--3.3 作业1

-3.4解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--电子教案

--3.4 预习测试

--3.4 作业

-3.5本章导学

--第三章导学视频

--导学课件

-3.6小结与测试

--复习小结

--本章测试

第4章 解析函数的幂级数表示法

-4.1复级数的基本性质

--4.1.1复数项级数

--4.1.1 复数项级数

--电子教案

--作业测试

--4.1作业

--延伸阅读

-4.2幂级数

--4.2幂函数

--教学课件

--电子教案

--作业测试

--4.2 作业

--延伸阅读

-4.3解析函数的泰勒展式

--4.3.1泰勒定理

--4.3.1泰勒定理

--电子教案

--4.3 预习测试

--4.3 作业

--延伸阅读

-4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--电子教案

--4.4 预习测试

--4.4 作业

--延伸阅读

-4.5本章导学

--第四章导学视频

--第四章导学课件

-4.6小结与测试

--复变函数第四章复习小结

--第四章测试

第5章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

-5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1解析函数的洛朗展式

--5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1 电子教材

--5.1 预习测试

--5.1 作业

--5.1 延伸阅读

-5.2 解析函数的孤立奇点

--5.2.1 孤立奇点的分类

--5.2.2 可去奇点

--5.2.3 极点

--5.2.4 本质奇点

--5.2 ppt

--5.2 电子教案

--5.2.1 预习测试

--5.2.2 作业1

--5.2.3 作业2

--5.2.4 作业3

--5.2 延伸拓展

-5.3 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3 电子教案

--5.3.1预习测试

--5.3.2 作业

--5.3 延伸阅读

-5.4 整函数与亚纯函数的概念

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 电子教案

--5.4.1 预习测试

--5.4 延伸阅读

-5.5 本章导学

--第五章 导学视频

--第五章 导学课件

-5.6 小结与测试

--第五章 学习指导

--第五章测试

第6章 留数理论及其应用

-6.1 留数

--6.1.1 留数定义

--6.1.2 留数定理

--6.1.3 无穷远点处的留数

--6.1 PPT

--6.1 电子教案

--6.1.1 预习测试

--6.1.2 作业1

--6.1.3 作业2

--6.1 延伸阅读

-6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 留数定理计算实积分

--6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 电子教案

--6.2.1 作业1

--6.2.2 作业2

--6.2 延伸阅读

-6.3 幅角定理及其应用

--6.3.1 辐角原理及其应用

--6.3.2 辐角原理及其应用

--6.3 PPT

--6.3 电子教案

--6.3 作业

--6.3 延伸阅读

-6.4 本章导学

--第六章导学视频

-6.5 小结与测试

--复变函数第六章复习小结

--第六章测试

第7章 *共形映射

-7.1 解析变换的特性

--7.1 解析变换的特性

-7.2 分式线性变换

--7.2 分式线性变换

-7.5 智慧课堂参赛课程

--7.5 PPT与电子教案

--7.5 课前讨论

--7.5 学习指导

--7.5 课上抢答与随堂测试

--7.5 留数的定义及求法作业

-7.5.1 附件3 课题教学设计

--附件3 课题教学设计

5.2.2 可去奇点笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:


  1. 复变函数(2021秋)

  2. Small Acupoints Help Your Health Better on(Round 2)

  3. 传播学概论(2021秋)

  4. International Shipping Practice’(CH/ENG)(Round 2)

  5. 教你学创意(2021秋)

  6. 中医护理技术(2021秋)

  7. Heat Transfer(Round 2)

  8. Roller Skating Course For Beginners(Round 2)

  9. 中国国情与文化概况(2021秋)

  10. 数字逻辑(2021秋)

  11. 中西医结合外科学(2021秋)

  12. 法律职业伦理(2021暑假班)

  13. 基础写作I(2021秋)

  14. College Physics II（大学物理下）(2021暑假班)

  15. 园林植物保护(2021秋)

  16. 国际学术交流英语(2021秋)

  17. 安卓手机软件拼图式开发App Inventor(2021秋)

  18. 地理数据处理与图表表达技术(2021秋)

  19. 民法总论(2021秋)

  20. 微创与腔镜技能学(2021暑假班)
© 柠檬大学-慕课导航 课程版权归原始院校所有，
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引，不提供在线课程学习和视频，请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。