3.3.4 柯西不等式与刘维尔定理在线视频

欢迎来到复变函数课堂

本讲我们将继续学习

柯西积分公式的推论

介绍柯西不等式与刘维尔定理

首先我们来看一下

由高阶导数公式

所带来的柯西不等式

假定FZ是以这样一个

Z0为心 ρ为半径的

圆周所围成的圆域

在这个圆域内

以及边界上面都是解析的

当然我们也可以要求

在内部解析连续到边界

那么我们就可以导出

函数FZ在圆心Z0处的

N阶导数/N的阶乘这个模长

是不会超过Mρ/ρ的N次方

这样一个不等式

那这里的大ρ代表的是

FZ沿着这个

以Z0为心 以ρ为半径的

圆周上函数值的模长最大值

与函数解析B连续

所以这个模长的最大值

是能取到的

注意这里的ρ

是介于0和ρ0之间的一个正数

这个不等式我们称之为

柯西不等式

需要注意的是

柯西不等式说明了

解析函数在解析点

比方这里是Z0点或者是A点

它的各阶导数的估计

与它的解析区域的大小

有密切的关系

我们看一下这里

会涉及到ρ的这样一个半径

所以和解析区域的大小有关

同时也让我们看到

各阶导数的模长

其实可以被函数的模长所控制

这个在数学分析里面是没有的

比方一些函数图象

它本身的大小是有界的

但是它的导数就是切线的斜率

可以非常大

不一定能被控制

所以这个是复变函数

所给我们带来的一些新的结果

那这个不等式的证明

也是非常简单的

利用高阶导数公式

我们在B圆盘C上面

考察一下这个F的N阶导

在它圆中心Z0处的值

正好是N阶乘/2πi

乘以FZ/（Z-Z0）的N+1次方

沿着这个Cρ的积分

当然这个Cρ正好就是我们刚才的

Z0为心

以ρ的半径的这样一个圆周

那由于在整个这个Cρ上

F的模长是小于等于Mρ的

所以两边使用积分估值

就可以得到左边N阶导

在Z0的这个函数值的模长

是不会超过右边这个积分的模长

所以把这个积分模长

做一下估算

这边是N阶乘2πR的模长是2π

然后积分的模长

不会超过模长的积分

所以这个模长M的模长

是不会超过M的

当然这个Z-ZO

这个模长是ρ

所以这边就变成了ρ的（N+1）次方

然后整个积分剩下的部分

就是Cρ上的积分

关于DS的

也就是Cρ的周长

所以我们发现了这里有2πρ

这里有个2π有个ρ（N+1）次方

最后化检就得到这个结果

也正是我们所要的

F的N阶导在Z0的值

比上N的阶乘

是要小于等于大Mρ/ρ的N次方

就可以了

这里我们取的Mρ指的是

这个边界上的模长最大值

到后面的学习会告诉我们

其实边界上模长的最值

就代表了整个圆域内

模长的最值

它整个圆域的最值

只能在有界的边界上取到

所以这个也可以把它改写成

在整个B域上的最值

这就是高阶导数公式

所带来的一个柯西不等式

下面我们来看一下

柯西不等式的直接应用

假定F在这一个圆域内

连同边界上是解析的

并且在这个B圆盘上面

模长是有界的M

那这时候让我们证明

F的N阶导在Z处的值

它的模长是不会超过

后面这样一个式子

当然我们可以考虑的

就是柯西不等式

但是在柯西不等式里面

这里是圆域的圆心

而这里是圆域内的

某一个圆的半径

所以我们在这里需要看一下

由于这个所给的Z

是落在这样一个

以原点为心

以R为半径的圆盘内

那么对于任意的一点Z

我们有柯西不等式可以得到

F的N阶导在Z点的值

它的模长/N的阶乘

是不会超过它在整个

B域上的上界

然后再比上谁

大家注意

这个Z是圆心

而以Z为心做最大的这样一个圆周

使得整个圆周所围的圆盘

落在你刚才这个圆盘内

那么我们相当于找Z到

外面这个圆周的最近的距离

那其实这个距离

恰巧就是整个半径

R减到Z的模长

按照柯西不等式

这个ρ正好

是这个最大圆的半径

因为这里取得越大

我们这里这个就是估计的

就应该是越精确

所以在这里

我们取的这个最大圆半径

正好就是整个半径R

减到Z的模长

那这边是N次方就可以了

这就正好给出了

我们要证的结果

所以说把这里的N阶乘

乘到右边

就证明了本例题

下面我们来看一下

柯西不等式的第二个应用

就是关于有界的整函数

首先给个定义

什么叫整函数

就是如果在整个负平面

上面都解析的函数

我们就称这种函数为整函数

比方说多项式函数

E的Z次方

3ZcosZ

以及H3Z和ScosZ

还有它们的组合等等

那刘维尔定理告诉我们

如果这个整函数是有界的话

那么它一定等于常数

这里的证明最关键的

就是用到了柯西不等式中

N=1时的这样一个情形

也就是说如果我们考察

F在整个副平面上

它一定等于常数

其实只需要说明

在任何一点它都是常数

按照第二章的结论

就推出F是常数就可以了

而要说明在任何一点Z0

F是常数

只要说明F的一阶导

在Z0的值等于0

也可以等价于它在这一点的

一阶导的函数值的模长等于零

那么我们就利用

一阶导形式的柯西不等式

大家看得到这个

这是一阶导

这是ρ的一次方

这是M×1的阶乘就不要了

所以如果我们对于任何一个点

Z0落在整个负平面内

考察以Z0为心

以Z为半径的这样一个B圆盘

那由于F是整函数

所以它在整个负平面解析

当然在这个B圆盘上面

是解析的

其次由于它是有界的

我们不妨设它的界模块的界

是M

这样的话我们可以利用

柯西不等式

导出f'在圆心处的值的模长

是不会超过这个圆周半径

分之大M的

那由于这个圆半径的ρ具有任意性

我们可以做的ρ充分大

所以当ρ区无穷大的时候

这个不等式的右边是大于等于0

右边是趋于0的

就导出了f在Z0=0

从而由Z0的任意性

推出在F在任何一点Z上面

都等于常数

于是就证明了有界的整函数

B为常数的这样一个结果

那么刘维尔定理的逆定理

是这样的

大家知道常数一定是

有界值函数

因为常数本身就有界的

它是整函数

其次这个定理的逆否命题就是说

非常数的整函数一定是无界的

那么这里也就让我们可以看到

sinZ cosZ它是整函数

由于它不是常数

所以推出它们的无界性

这个是在负平面内

给出sin cos无界的另外一种证法

那利用刘维尔定理

我们非常容易证明

代数学基本定理

这个在之前学的时候

用初等方法证起来是非常麻烦的

什么是代数学基本定理

它的一种叙述方式就是

在负平面上一个N次多项式

至少有一个零点

当然这里表达式中

AN是不等于O的

下面我们来看一下

这个代数学基本定理的证明

那由于定理的要求是

在整个负平面内要存在

或者说至少有一个零点

我们之前说过

至少有一个

那么我们有两种证法

第一你想方设法给出一个值

活生生地给出来

当然有了

第二种就用反证法

这里我们用反证法

假如说PZ是整个负平面上

没有零点的

这是反证的假定

那我要导出矛盾就行了

这个矛盾大家知道

那个N次多项式

其实它的首项是不能等于零的

我们看能不能导出这个矛盾

那由于没有零点

根据它解析

所以这个倒函数在整个负平面上

就解析了

那下面我们来说明

这个倒函数是有界的

根据刘维尔定理它就是常数

突出矛盾就行了

那为什么有界呢

这个是很显然的

因为对于这个N多项式函数

当Z趋于无穷大的时候

N次多项式的局限是趋于无穷的

于是导出它的倒函数

在Z趋于无穷时极限是等于零

所以我们就可以找到一个

充分大的正数R

使得当Z的模长大于大R时

这个倒函数的模长是有界的

比方我们这里

在R的整个外部

1/PZ的模长<1

那这样的话外部是有界的

我们来看一下内部

在内部由于这个1/PZ是解析的

当然连续

所以在内部也有界

那么在整个负平面上

它就可以用内部的界

加上外面的1作为1/PZ的界

那么根据假定

1/PE解析又有界

所以按照刘维尔定理

它在整个负平面一定是常数

当然这个肯定是矛盾的

因为1/PZ是常数

所以它的倒数PE就是常数

那这个跟AN不等于零

就是作为N次多项式是矛盾的

所以我们就推出

代数学基本定理

也就是N次多项式

至少有一个零点

下面我们再看一个例子

假如说F是一个整函数

对于所有的点Z

F的实部都是

让我们证明FZ是个常数

就是实部有界

说明F是常数

当然是解析的

这个证明的时候我们可以利用

一个重要的不等式

就是说E的Z次方的模长

是小于等于E的Z实部的这个次方

这样一个不等式

所以我们就令E的FZ次方

作为大F

那么由于小f是整函数

E的Z次方是整函数

所以这个复合的大F

也是整函数

下面利用这个不等式

在整个Z平面上

大F的模长就等于

E的这个实部的模长

就小于等于E的

这样一个实步模长的上界M

就可以了

那由于整函数配上有界

所以就由刘维尔定理

导出该函数一定是常数就可以了

那到现在为止

其实我们是从柯西积分公式

作为出发点

导出它的解析函数的

高阶导数公式

由此利用积分估值

在圆域的情况下

证明了柯西不等式

然后再考虑一阶导

得到了刘维尔定理

并且利用刘维尔定理

我们证明了代数学基本定理

另外一个事实是

柯西积分定理和柯西积分公式

是等价的

我们是用柯西积分定理

证明了柯西积分公式

当然也可以用柯西积分公式

推出柯西积分定理

这个可以自己动手尝试一下

那这一讲我们就上到这里

再见