8.2 普朗克的量子在线视频

黑体辐射的紫外灾难

困扰着物理学家

这时普朗克登场了

1900年10月

普朗克利用数学上的内插法

把适用于高频的维恩公式

和适用于低频的瑞利金斯公式衔接起来

得到了一个半经验公式

即普朗克黑体辐射公式

（见公式）

下面一个是用单位波长间隔

表达的普朗克公式（见公式）

在这个表达式当中

普朗克引入了一个常量

h等于6.626乘10的-34次方焦耳秒

这就是普朗克常量

普朗克公式推出来以后

得到的理论结果与实验结果

在全波段完全的吻合

下面我们看一下这三个公式

前面是维恩公式推出来在高频段

与实验符合

低频段偏离

而瑞利金斯公式则是在低频段符合

到了紫外及高频段就趋于无穷大

而普朗克公式

则是在整个全波段都是完全的吻合的

但是仅仅得到这么一个公式

却找不到它的依据

普朗克感到非常的不舒服

所以接下来他又用了两个月的时间

找到了他的依据

在1925年普朗克曾经写道

接下来在我生命中

最紧张努力工作的几周后

阴霾散去

意想不到的奇迹出现了

这接下来的两个月

普朗克就是做了一个推导

下面我们看一下他当年的推导

首先根据瑞利公式

（见公式）

他在等容过程当中

推出了这样一个表达式

就是上方的S表示系统的熵

下方的U表示系统的内能

它让熵对内能求二阶导数

得到一个表达式

即等于﹣1/βνU

另外根据维恩公式

（见公式）

他也同样的让熵对内能求二阶导数

得到﹣k/U²

由于这两个公式分别是在

低频和高频段与实验符合

所以普朗克把这两个公式做了一个拼凑

即让熵对能量的二阶导数

等于由瑞利公式和维恩公式两者

各取出来加到分母当中去

即等于（见公式）

这样把瑞利和维恩的公式

分别用到他自己的分母之上

在这里就用到一个常数h=kβ

接下来我们看他进一步怎么去做

在这个公式的基础上

普朗克捡起了他非常不赞同的

玻尔兹曼的统计及熵的公式

在这个熵公式当中

它令U=Pε/n

然后根据他自己的黑体辐射公式

得出来S等于下面这样的表达式

两相比较就得到ε=hν

这个就是普朗克提出的能量子

这是在1900年12月14日

也就是量子论诞生之日

戏剧性的是普朗克这个推导

实际上是用错了玻尔兹曼的公式

但是这个结果却是正确的

后来普朗克在1919年诺贝尔颁奖公报上

引用歌德的一句话

来说明他当时的这样一个结果

人只要奋斗就会犯错误

下面我们看一下普朗克的能量子假设

它是假设空腔内壁的分子原子的振动

可以看成是许多带电的简谐振子

这些简谐振子可以辐射和吸收能量

并且与空腔内的辐射达到动态的平衡

从空腔小孔辐射出的电磁波

就是这些空腔内壁的简谐振子

辐射出去的

而能量ε=hν就称为能量子

空腔内的辐射

就是由各种频率的能量子组成的

这就是普朗克的能量子假设

也即空腔内的分子原子

它辐射和吸收的能量

只能是ε=hν的整倍数

这样普朗克利用经典的统计物理

再加上这样能量子假设

就可以推出它自己的黑体辐射公式

那么能量子这样一个概念是空前的

因为在以前所有的能量都是连续的

比如这样一个物块沿着斜面下滑

每一步它都是连续

位置是连续的

那么它的势能也是在连续的变化

但实际上如果我们把这个斜面

做成一级一级的台阶

就会发现这个物块在下滑的过程当中

它只能处在某一个台阶上

实际上在这个问题当中

这个物块它的势能就已经被量子化了

只不过在宏观的情况之下

这种量子化不明显

我们来看这样一个例子

设想一个质量m等于1克的小珠子

悬挂在一个轻的弹簧下面

做简谐振动

振幅是A等于1毫米

弹簧的劲度系数k等于0.1牛顿每米

按照量子理论来计算

这个弹簧振子它的能量间隔是多大呢

如果减少一个能量子

振动的总能量相对变化又是多少

我们来算一算

由已知条件

我们可以算出弹簧振子的频率

ν=1/2π√k/m

把数值带进去就得到1.59秒-1次方

然后再来算一下能量间隔ΔE=hν

把数值代进去

算出等于1.05乘以10的-33次方焦耳

再来看这个简谐振子的能量

（见公式）

把数值带进去算出来

谐振子的总能量

是5乘以10的-8次方焦耳

所以我们可以看到如果减少一个能量子ΔE

振动能量的相对变化ΔE/E

把两个数值相比就得到2乘以10的-26次方

由此我们知道

这么小的能量间隔

在宏观的情况下

是根本不可能看出来的

而微观的量子除非是光量子

我们就可以看出是一级一级

一个一个分立的

但是在经典的谐振子情况

这些能量完全是没有办法分割开的

这也是量子为什么在我们的宏观世界

基本上是忽略不计的

后来著名物理学家和作家

Abraham Pais是在1982年

在谈到普朗克这段能量子的诞生过程

讲了这么一句话

他说他的推理是疯狂的

但是他的疯狂具有神圣的特质

只有处于转型期的最伟大的人物

才能带给科学的

它将普朗克其实是个保守者

变成一个不情愿的革命者

爱因斯坦也对普朗克赞赏有加

在1918年4月普朗克60岁生日的庆祝会上

爱因斯坦这样说

在科学的殿堂里有各种各样的人

有人爱科学是为了满足智力上的快感

有的人是为了纯粹功利的目的

而普朗克热爱科学

是为了得到现象世界那些普遍的基本规律

这是他无穷的毅力和耐心的源泉

他成了一个以伟大的创造性观念

造福于世界的人