高阶非线性薛定谔方程&数值解法在线视频

下一部分我们讲一下

高阶非线性波动方程

刚才说过了

为了简化运算

更加的把物理概念提出来

把高阶项都扔掉了

那现在如果脉宽变得越来越窄

我们在讲发展历史的时候

说脉宽都可以到几个fs了

这个时候高阶项就不能够扔掉了

把高阶项捡回来怎么捡

就是高级项需要考虑的有几项

第一个是如果入射的脉冲峰值功率

超过了两个非线性效应

一个是SRS一个是SBS

那要考虑这两项

第二个就是如果这类脉冲入射的是

两个或者是多个波长

这两个脉冲它们不同的波长

在进入这个系统之后

它们相互之间会耦合的

比方说ω1进来的光

会改变这个介质的特性

当ω2进来的光

它就会受到ω1改变了之后的

这个介质特性的影响

同样呢ω2也会影响这个介质

所以这两个波之间也会相互耦合

就叫交叉相位调制

就要用一组方程来表示了

还有一个就是刚才说的

如果我们谱宽是足够宽了

而脉冲有足够的窄就会有自频移现象

由于这些效应

就要考虑高阶非线性效应

这个方程推导也不再详细地讲了

就是推导出来的是一个

广义的非线性薛定谔方程

也叫高阶非线性薛定谔方程

这个式子里头多了谁了呢

跟刚才的一般的

非线性薛定谔方程多了哪几项呢

从色散的角度来说

多了一个β3项

就是三阶色散

从非线性效应来说多了两项

一种呢叫自陡峭项

还有一个就是后面这一项叫自频移

自频移是由喇曼效应造成的

所以它也叫喇曼响应

就是这是高阶非线性方程

和普通的非线性方程的区别

这个里头如果把坐标变换一下

变换一下就是给它一个运动坐标

后面会讲做一个坐标变换

这个方程实际上是可以

给它再进一步的简化的

如果不考虑高阶项

其实就回到了刚才说的

一般的非线性薛定谔那个方程了

非线性方程跟刚才讲了半天

非线性薛定谔方程

大家再认真看一眼少了谁了呢

少了β1那一项了

这个后面我们再讲β1为什么没了

这个就是广义的非线性薛定谔方程

就是如果脉冲小于100飞秒

你就要用高阶非线性方程来讨论了

讲到这儿

我们说脉冲在光纤中传输的方程

就给出来了分了两大类

一个是一般的非线性薛定谔方程

一个是高阶非线性薛定谔的方程

但是这两个方程除了最基本的方程

可以解出解析解以外

大部方程都解不出解析解来怎么办呢

好在有计算机

可以用做数值解法

所以这部分我们介绍一下

数值求解非线性方程

数值求解非线性薛定谔方程

主要的有两个方法

一个叫分步傅里叶法

一个叫有限差分法

我们这主要介绍一下

分步傅里叶法

因为它快

再回来看一下

非线性薛定谔方程

非线性薛定谔方程刚才说过了

主要受谁影响

一个是色散一个是非线性

如果把色散项和非线性项

如果用一个算符来代替

色散用D算符来代替

非线性用N来代替

刚才的那个方程

就可以变成这样子的一个简化形式

∂A比上∂z就等于D

作用在A上和N作用在A上

如果有一个假设说

大家知道因为有非线性

就会有相互作用

这个算起来就比较麻烦了

先假设它没有相互作用

D和N可以互易的

在这个条件下

就可以做一个简化的近似

其中这个D等于什么

后面这一对N

等于后面这一堆

就不再详细的讲这个

就把前面的公式代进来就好了

这样子就可以来分别做运算

怎么算的呢

就其实就相当于是

脉冲在传的过程中

先拿D对于A作用

然后再拿N对于A作用

分别给它进行作用

那就怎么作用

看一下这个图

在这个光纤给它分成

一段儿一段儿一段儿

一段儿的来算

每一小段儿就叫一个步长

这个步长用h来表示

那在这一个小的步长之内

可以先算色散再算非线性

就是从Z等于零这一端开始

给一个入射脉冲

脉冲它经过小的h

这个段经过了色散和非线性

就变成了A的z加1

然后拿A的z加1作为入射脉冲

再算下一个h

然后一段一段一段的算下去

就可以最后算出来

入射脉冲是Az出来了就变成了

Az加LT变成这样子的形式了

这样子第一步

就分为仅有非线性

就是在这个式子中

大家看到就是后面Az加hT这项

后面又分出两项来

一项是exp的hD

就是色散的影响

第二部分是hN是非线性的影响

先拿非线性作用在A上

得出一个值来

然后把这个值代进来

再拿色散对它作用就分开了

不同时作用分开来作用

分开来作用

这个里头为什么叫傅里叶变换

刚才说过了

因为这个里头有

∂A比上∂T是有对时间的导数项

对时间的导数将在时域中就得求导

不想求导

所以把这个求导项

给它变到频域中

做一个乘的运算

然后把它再变回来再变到时域中来

这个就叫傅里叶变换

所以计算色散这部分的时候

就把色散这一部分

先变到频域中去

做完了运算

再把它再反傅里叶变换

变成时域中来脉冲就求出来了

所以这个就是

分步傅里叶变换的主要的基本原理

这个里头有一个技巧在哪儿呢

大家知道就是小的步长

如果分得越小

肯定运算是越精确的

但是问题在哪儿呢

步长算的越小

比方说这一个光纤是一米的光纤

如果分十段

就算十次就够了

如果分一百段儿

就得算一百次是不是

这样对于运算量就会增加的很长

所以一般的来说是两个取折中

就是又要保持它的精度

又要让它算的速度足够快

取一个折中就好了

这样就可以算出

输出脉冲特性来

但是这个取步长的时候

其实不仅仅影响它的这个运算速度

还影响精度

这个是有证明

假设N与位置无关

根据公式

贝克豪斯多夫公式我们算了之后

就会发现在单对易中

这个是有误差的

误差来源于哪

看这个式子来源于h的平方

来源于步长

也就是步长越长误差越大

因此我们也想让步长越小越好

但是刚才又说过了步长越小

运算量越大

所以就又做了一个改进

因为我们说过非线性

是运算量是比较大的

所以在这个里头

把它做了个改进在哪儿呢

就是非线性让它算一段h

然后把色散部分分出两部分来

就是在这一个小的步长h中

分出一个前二分之h和一个后二分之h

分两段

色散先算前半段的

算完了之后算非线性

但是非线性就算的是整个h区

然后算完了非线性

再算后半段的色散

这样子就是既提高了精度

又提高了运算速度

这个是分布傅里叶方法的

一个运算技巧

由此就可以模拟出

脉冲在系统中

传输到底变成什么样了

好这部分内容我们就讲到这儿

谢谢大家