麦克斯韦方程&线性波动方程&非线性薛定谔方程在线视频

现在我们来学习

脉冲在光纤中的传输方程

前面介绍了这些内容之后

看看脉冲在光纤中

到底变成了什么样子

主要内容有这几个部分

现在先来看一下

麦克斯韦方程和物质方程

前面说过了

光波是为光波频段的电磁波

就是它的频率是在

十的十四次方到十五次方之间

但它依然是电磁波

因此服从麦克斯韦方程组

这个是麦克斯韦方程组

就是电转成磁、磁再转成电相互作用

其中E代表电场强度

B代表磁感应强度

H代表磁场强度

D代表电位移矢量

其中还有这个J代表电流密度

ρ代表自由电荷密度

如果这个介质中

是一个不是导体的话

这两项应该是等于零的

在这个里头

如果对于各向同性介质来说

电位移矢量D应该等于ε0加上P

这个ε代表真空介电常数

P就代表极化强度

磁感应强度B是由磁场产生的

等于μ乘H

μ又分为μr和μ0

也就是介值相对磁导率和真空磁导率

还有一个就是电流密度

刚才说过了

因为在介质比方说光纤中

它的这个J是等于0的

所以就变成了的一个简化的形式

那对于各向异性介质来说

ε和μ是一个二阶张量

大家知道因为

极化是由电场产生极化强度

电场本身是有方向的

极化电场也是有方向的

因此它的系数是一个二阶张量

那么对于光纤这样的介质来说

因为它是非磁性介质

所以它的μr等于1

又因为它不是导体

所以它的δ也是等于0

因此麦氏方程就变成了

下面的这个形式

从这个形式我们可以看到它有四个方程

第一个是E跟B的关系

那我们看这个斜下角B呢又跟H有关

然后H又跟左边的D有关

D最后再放到右上角中

D又跟E和P有关

因此我们把四个方程重新整理一下

就会得到一个只有E跟P之间的关系

也就是说只有电场和极化强度的关系

好我们做一下数学运算

整理各项把左边

这个E的旋度再给它求一下旋度

然后把刚才说的这个E把B代进去

B再把H带进去

H再把D代进去

最后就得到一个

最后的这个表达式就只跟

E电场和极化强度P相关

我们本来讲脉冲就是要讲

它的振幅长什么样

那所以如果解出来E

就可以解出它的振幅来了

其中P和E的关系

就是极化强度跟外加电场的关系

在前面也介绍过

等于它的有线性极化

有非线性极化

那在我们这里头

因为涉及到了非线性极化

这个是本章的主要的内容

在讨论非线性极化之前

先看一下线性极化

对应的这个波动方程

叫线性波动方程

看一下这个线性波动方程是怎么出来的

就是怎么处理的非线性项

是说当非线性效应很弱的时候

利用微扰理论把PNL近似为零

先求线性波动方程

然后再把它当作微扰理论

再求非线性波动方程

这个时候如果PNL等于零的话

这个波动方程就可以简化

简化成这个形式了

这个里头只跟χ1

就只跟它的线性极化相关

这个方程是一个时域方程

就是它是在时间域的方程

因此右边的项是E对t的两次导数

求导数、求积分

是比较难的一个过程

我们更愿意求加减乘除法

因此把这个方程变到频域中去

大家知道这个求偏导数

那么其实在频域中就相当于对于

E对t对时间的一次导数

相当于得出一个iω来

那么求二次呢就变成了

一个iω的平方项

i的平方等于-1

所以E对t的两次导数就相当于

在频域中的一个负ω平方的项

所以就把上面这个方程

变到频域中去

电场E就写成了E的rω

跟频域的频率相关

这个介电常数ε也写成rω跟频率相关

那么后面的电场

就是也跟频率相关了

这个方程中就没有导数的运算

对于运算来说是大大的简化

就是怎么换的呢

我们用了这个傅立叶变换公式

这个公式是傅里叶变换的公式

这个方程它是与频率有关的

这个里头有一个介电常数

现在这个讲的是线性系统

所以用的是

线性介电常数ε(r,ω)等于1

加上χ1的(r,ω)

根据前面的章节的介绍

这个时候它是一个复数

复数分为实部和虚部

实部就对应的是介质的折射率

就是n(r,ω)

虚部对应的是吸收系数、就是α

这个里头呢如果

返回去解刚才这个方程

在解这个方程的时候

做一个近似

什么样的近似

第一说光纤的损耗是比较小的

损耗小那这个时候

折射率的平方

就近似等于介电常数了

第二个近似就是说折射率

因为如果讲光纤的话

光纤它是一个各向同性介质

那么折射率与方位无关

因此这个n(r,ω)中这个r

我们也不用考虑了

这个时候刚才

跟旋度相关的这个量

我们就变成了一个后面的

跟散度相关的量了

就E就变成了跟散度相关

所以这个线性方程就得到了

下面的这个简化形式

后面的这个是跟频率相关的

那这个方程就是

以前熟悉的叫亥姆霍兹方程

这个的解就不在这里介绍了

这个在Agrawal这本书里头

有一个详细的解

主要解谁

就是解这个线性方程中的

传输常数β

把β解出来

这个就是线性系统

这门课主要关心的是

非线性系统

所以看一下

非线性系统的相关的传输方程

考虑到非线性因素以后

把刚才那个方程再拿回来

方程中刚才说

这个极化只考虑了PL

非线性极化强度没考虑

近似它等于零了

现在把它拿回来接着考虑

那就变成了这个方程

这个方程里头也有几个假设

就第一个说不是有非线性吗

非线性造成了非线性折射率

假设这个折射率的非线性变化很小

大概是在十的-6次方数量级

就把这个PNL

当做PL的微扰来进行处理

第二个假设光场沿着光纤长度的方向

它的偏振态不变

就可以把这个矢量变成一个标量形式

第三个近似

假设这个光场是准单色的

什么叫准单色的就是

前面讲过了

因为讲的是超短脉冲

超短脉冲的话它的光谱会很宽

赤橙黄绿青蓝紫都有

所以它不可能是单色的

但是为什么可以假设它为准单色

大家想一下

这个光波它的中心频率

如果用ω0来表示

中心频率大概是什么数量级来着

十的十四到十五次方赫兹

那因此这个谱宽你算一下谱宽

跟ω0一比就变得比较小了

那因此这个时候

就假设它是一个准单色的

因为这个好处理

所以有一个假设说

△ω比上ω0

要远远小于1

这个大概是什么数量级

对于脉冲来说

如果大概是在大于100飞秒

就是大于零点一个ps的这个脉冲下

这个假设是成立的

所以有一个前提条件

在这个前提条件下

可以接着就做了一个慢变包络近似

就刚才说过了

包络它的变化的幅度

比里头的那个载波的

快慢程度呢要慢很多

所以叫慢变包络

就这个包络是变化比较慢的叫慢变包络

这个时候电场就可以

把快变部分给它分开来

就变成了一个看右边这个式子

把这个cos(iω0t)

这一部分我们把它单独分出来

就相当于它是一个载波

然后主要讨论它的包络的变化

其实换句话说就是脉冲的形状

是这么讨论的

为什么E可以跟

cos相互之间变换

在前面章节中也讲过了

就不再讲了啊

同样的处理方式

把极化强度PL和PNL

也一样写成这样子的形式

这个是线性极化强度

这个是非线性极化强度

这个现在还是有历史记录的

然后再做一个近似处理

就说这个非现象也是瞬时的

这个时候经过一些计算

就可以把这个非线性极化强度

它的慢变幅度就写成了ε0

乘上εNL再乘以E(r,t)的形式

这个推导过程前面章节也讲过了

这里就不再多说了哈

这个里头εNL叫非线性介电常数

把它当作一个常量来处理

但是记着其实它不是常量

它跟谁有关

它除了跟非线性极化系数χ3

χ3是一个常量

除了跟χ3有关以外

它还跟入射到

这个介质中的光强有关系

因此它才有光与物质是相互作用的

有了这个推导出来这个式子

前面的亥姆霍兹方程其实长得跟

前面那个线性方程是一样的

只不过这个里头的介电常数

就跟前面的那个线性系统的

介电常数不一样

加了这个非线性这部分

就是说加了一个εNL

处理方式也是一样的

也仍然把这个ε

化解为能够掌控的量

就是折射率和吸收系数

但是这个时候对于非线性系统来说

这个折射率就变成了

n加n2E的平方

n2E的平方就代表的是

非线性折射率

其中这个n2是由介质的特性决定的

n2等于什么

n2由χ3来决定

同时还得到了一个吸收系数

吸收系数是等于α加上α2的

也是这个光强

这个就是跟双光子吸收有关

这门课主要关注的是

折射率和非线性折射率

有了这个之后求一下

慢变包络的解

波动方程可以利用分离变量法来求

把解分出来

这个形式就是三个部分

第一个部分呢是等于F(x，y)

也就是光波在传输的过程中

其实它在XY这个平面上

它也是有分布的

所以用XY来表示

然后沿着Z方向传输

用AZω减ω0来表示

当然还有一个E的IβZ

这个是跟波数相关

然后假设时空是不耦合的

就是空间传空间

时间传时间

我们就可以

把这个方程分出两个方程来

一个是跟F相关的方程

一个是跟AZω相关的方程

我们更关心的是

A跟Z相关的这个方程

也就是脉冲的包络方程

其中这个介电常数刚刚说过了

分为两部分

一部分是线性折射率

一部分是跟非线性折射率相关

非线性折射率用Δn来表示

这个式子中我们是还考虑的有损耗

如果损耗不考虑的话

那么折射率

就只跟n2E的平方相关了

有了这个式子之后

就可以把这个方程解出来

这个里头F(xy)的方程

可用一阶微扰理论来求解

Δn它不会影响模式的分布的

所以我们就不太关心它了

那Δn影响谁呢

会影响传输常数β

因此我们比较关心这个β

这个本征值β跟谁有关呢

我们知道在这个系统中

当一个光经过介质的时候

这个介质有什么特性

这个特性会影响脉冲的特性的

说白了就是影响脉冲的形状的

那在这个系统中主要的特性有什么呢

有两大特性

就是在前面介绍

一是色散、一个是非线性

所以把这个本征值β

就分成了两部分

一部分是βω跟色散相关

一部分是Δβω是跟非线性相关

因为非线性如果它比较小的话

就把它处理成微扰了

但是它Δβ(ω)等于什么呢

Δβ(ω) 是跟Δn相关的啊

这个式子可以给它计算出

Δβ来

在这个计算的过程中

我们也有两个处理

就是一个我们说过了

跟色散相关的这个量

也不太容易求

所以把它做了一个泰勒级数展开

这个前面讲色散这个概念的时候

讲过了

这个里头可以求出

β1、β2、β3来

其中影响脉冲展宽的主要是由β2

群速色散引起的

当然跟β3也有关

β1刚刚说它是群速度的倒数

其实它代表的是

脉冲包络的传输速度

与此类似

把△β(ω)

也展成泰勒级数展开

这个里头也是做了一个近似处理

说过了

如果假设它是准单色光

准单色光

就是脉冲相对来说还是比较宽的

这个时候高阶项就可以忽略掉

因此就是在

色散中的三阶以上的色散

就可以忽略掉

非线性效应中的高次项

也可以忽略掉

如果忽略掉

会得到一个简单的方程

但是这个里头要提醒一句

β2说把β3忽略掉

就剩下β2了

但是有些情况下β2是不能忽略掉的

比方说

前面讲的熔融石英光纤

在1.27的时候

它是一个零色散点

那β2为零了

就必须要考虑三阶色散

还有一种就是可以做色散补偿

色散补偿系统中

β2也可以等于零

那这个时候也必须考虑三阶色散

先不讲那么多

在这儿先找出

最基本的量来就考虑

最低阶的色散和最低阶的非线性

这个时候

就可以把这个脉冲的包络方程

就可以写成这样子的一个形式

记着这个是在频域中的方程

可是讲脉冲传输的特性

是想知道它在时间域长什么样

它的特性是什么样的

所以把这个方程

给它做逆傅立叶变换

从频域中再变回到时域中来

这个就是包络A(z,t)的方程

大家看一下

这个就是包络A随着z

在传输过程中它是有变化的

它这个变化受谁影响

这个式子中一个有β1项

一个有β2项

还有一个非线性项Δβ

这个Δβ里头

包含了损耗及非线性

这个Δβ如果在空间的分布

F(xy)如果在整个脉冲带宽内

变化不大的话

就可以把这个式子接着简化

就简化出来下面的这个表达式

这个就是求出来的脉冲

在光纤中传输的时候的脉冲方程

这个脉冲方程经过推导

得出这个方程来了

大家认真看一眼

这个方程到底有几项

还是从左边开始讲

第一项就说过了

∂A比上∂z就是这个脉冲的包络

它在光纤中

它因为是沿着z轴传输的

所以它在z轴传输过程中

它就就包络就逐渐逐渐的变

所以我们想知道

它这个包络变成了什么样

所以就是偏A比偏z

然后第一项是β1项

就是β1一会儿我们再讨论

这个β1是群速度的倒数

所以这一项是跟群速度相关的

然后第三项

是二分之i的β2A对t的两次导数

我们说过了

β2项代表的是群速色散

其实也就代表的是脉冲展宽的这一项

然后在后面这一项是二分之一αA

这个α代表的是损耗

就是一般的来说

在光纤中我们说损耗是比较小的

所以有时候就把损耗扔掉

因为为了计算简单

在激光器中因为有增益

增益和损耗是平衡的

所以有时候

也就把损耗这一项扔掉了

损耗在这门课中不太重要

等号右边是谁呢

IγA方A一看这个式子

有A的模的平方代表光强

因此这一项代表的是非线性项

前面的系数γ叫非线性系数

那么这个非线性系数等于什么呢

非线性已经说过

非线性系数是跟

二阶非线性折射率相关的

所以这个γ写出来就是等于n2ω

除上一个C比上Aeff

这个n2代表非线性折射系数

A代表它的有效的模场面积

非线性是跟光强有关的

强度什么叫强度

是功率除以面积

面积越大

虽然功率强

但是它的强度低

那如果功率不够大

但是面积很小

所以强度也很高的对不对

所以这样就是为什么

在光纤中非线性效应很强

主要的一个原因是

因为光线的芯区太细了

因此它的面积小

所以有一点功率

它的光强就上去了

所以这个非线性系数

是跟折射率n2有关

也跟它的面积有关系

这个有效的模场面积怎么求的呢

下面这个公式是求的有效模场面积

就是光在xy方向的分布

分布长什么样

模场面积就可以求出来

在光纤中如果我们讨论的

一般来说都是单模光纤

如果是单模光纤

用的基模

并且如果用的是高斯光近似的话

这个Aeff就等于πω平方

这个ω代表光斑的大小就是光斑半径

这样子我们再写一遍

重要的事情再说一遍

叫非线性薛定谔方程

这个就是光脉冲在

光纤中传输的波动方程

叫它非线性薛定谔方程

这个里头就是有几个参量损耗

一般损耗我们不太关心

但是它毕竟是也是有

然后β1、β2分别对应的是

色散效应中的群速度的导数

β2代表的是群速度的色散项

γ代表非线性效应

所以这个系统中

主要是由色散和非线性造成的

再打个比方说

就相当于这个系统是一个黑盒子

进来一个脉冲

比方说是一个高斯脉冲

经过这个黑盒子以后

黑盒子里头的这些各种参量都会对

这个脉冲产生作用

那当这个脉冲

从这个黑盒子中出去的时候

这个脉冲的特性就发生了变化

这个特性跟谁相关呢

跟黑盒子中的这些各种效应有关

在光纤中

主要有哪种效应呢

两种一个是色散一个是非线性

所以色散和非线性效应

就在这个方程中体现出来了

那这个时候脉冲经过这个系统之后呢

就可以知道它变成了什么样

这个就是非线性薛定谔方程