色散的引入&群速度色散引起的脉冲展宽（一）在线视频

大家好我们今天来学习

色散对脉冲特性的影响

主要有三个部分的内容

一个是色散的引入

一个是群速度色散引起的脉冲展宽

还有三阶色散的影响

首先看一下色散的引入

问题就是什么时候需要考虑色散

前面已经学过了

把脉冲在光纤中的传输方程

非线性薛定谔方程已经得出来了

在这个里头大家看到

它其中有主要的是两部分内容

一个是β2色散的影响

还有一个是非线性项γ的影响

这两项中

怎么来取舍色散和非线性呢

就是什么时候需要考虑色散

什么时候需要考虑非线性

为了解决这个问题引入了两个概念

一个叫色散长度

一个叫非线性长度

色散长度和非线性长度的定义是

从这个方程中来推出来

在这个方程中可以给一个坐标变换

大家看一下里头

时间轴T是用的是运动坐标

给它来做了一个变换

大T作为运动坐标

等于小t减去一个Z比上Vg

大家前面学过了Vg代表群速度

因此把这个坐标变换了之后

代到上面这个方程

就得到下面这个方程

发现绿颜色的方程

把β1等于简化掉了

这个运算过程大家下去

可以自己去算一下

这个其实也好理解

就是时间t呢

是一个绝对坐标

但是希望观察到的是

脉冲它本身的演化过程

脉冲在运动坐标中

它就是往前传的过程中

它一边从a走到b

在这个走的过程中

一边脉冲发生变化

我们并不关心从a走到b它是怎么走的

只关心脉冲在这个过程中是怎么变化的

因此给了一个运动坐标

就有点像这幅图说

现在的这个时间

相当于站在站台上的人

那要想看地铁里头的人

是怎么变化的也很难

地铁一晃就过去了

那怎么办呢

把这个人自己放到地铁上去

你坐在地铁上

再看地铁上的人是怎么变化的

这个就很容易了

那么坐标相当于是

观察者和被观察者同时运动

这个运动坐标就叫它运动坐标

因为β1代表的是群速度的倒数

因此在做了运动坐标的变换之后

这个方程就没有β1了

从第二个方程中

更容易看得到说

这个系统中就只剩下

受β2群速度色散、γ非线性的影响

这里头还有一项

等号后面的那个二分之α是损耗项

损耗项当做一个微扰来处理

这个里头接着进一步的

把这个方程做归一化处理

就是把脉宽做归一化

就变成了τ等于T比上T0

T0代表的是

exp分之一处的半宽度

把这个τ接着做一个归一化处理

同时把这个幅度

也做了一下归一化处理

就是后边A(z,t) 等于

根号下p0e的负的iα除以2

再乘以一个U(z,t)

这个U代表的是归一化以后的振幅

被谁归一化了

被入射脉冲的峰值功率P0

给归一化了一下

这样子这个方程

接着就可以再进一步的处理呢

就得到这样子的一个归一化振幅方程

这个方程中就得出来

里头有两个参量

看这个等号右边上面是sgn(β2)

这个没有值

只代表正负

β2大于零的时候

sgn就等于正的

β2小于零的时候呢

sgn是一个负值等于-1

再看它前面的系数就变成了

U对于τ的两节导

前面的系数就除以一个两倍的LD

这个LD就叫它色散长度

色散长度等于什么呢

等于T0的平方除以β2的绝对值

就是说只跟初始的脉冲宽度

以及群速度色散有关系

再看这个式子的等号

右边的第二项出来一个LNL

这个叫它非线性长度

LNL定义为γP0分之一

γ代表非线性系数P0

代表初始的峰值功率

这样子看这个式子

就这更加的容易一些了

得到了这个简化式子之后

看一下这两个式子中

怎么选色散

怎么选非线性

大家看到这个式子就是其实就代表了

LD和LNL之间的关系了

如果这个LD变得很小

远远小于LNL

那么第一项就起主要作用

这个时候就是色散起主要作用

如果LNL远远小于LD

在这个式子中第二项就起主要作用

也就相当于是非线性项起主要作用

因此可以根据LNL的值不同

来讨论不同的特性

这个表列出来一个

几个四种不同的状态

第一种状态就是

传输距离L远远小于LNL

也远远小于LD

也就是说这个传输距离

非线性特征长度要小很多

也比色散长度要小很多

这个时候色散和非线性效应

就都不用考虑了

第二种情况

就是传输距离L远远小于LNL

远远小于非线性特征长度

但是它跟这个色散长度LD

基本上是相当的

这个时候相当于是在这个系统中

群速度色散是起主要作用的

那这个式子中

我们只讨论群速度色散

就把非线性项忽略掉了

第三种情况是倒过来了

如果这个时候

传输距离L和这个LNL比较相近

而同时它又远远小于LD

这个时候系统中

就是非线性效应在起主要作用

色散几乎就可以不用考虑了

最后一项就是如果传输距离

跟这两个特征长度基本上程度是相当的

这两项要同时考虑

因此这个表

就给了后面三章的主要内容

就是这一章主要讲

色散对于传输系统中脉冲的影响

就是第二项

下一章我们就讨论

非线性对于脉冲在系统中的传输影响

就是指讨论γ这一项

最后一项就是

如果两项同时作用的时候

就看这个脉冲

最后产生一个什么样的结果

最后得出一个结论来

就是可以有孤子产生

这就是后三章依据的内容

这一章我们就先来讨论

群速度色散引起的脉冲展宽

刚才说过了

在这个方程中

只有GVD的时候

刚才的那个非线性薛定谔方程

就只剩下了β2这一项了

这个方程看起来就简化了很多

这个方程是有解析解的

大家看一下这个方程解析解怎么解呢

左边儿是归一化振幅U

随着z的传输距离的变化

右边是U对于T的两阶导

在时域中运算起来稍微复杂一点

但是大家记得

在把时域中的求导

相当于在频域中是乘了一个iω这一项

因此把这个方程

给它先变到频域中去

怎么变呢

用的是傅里叶变换方法

因此用傅里叶变换公式

把上面这个方程变成

频域中的表达式

这个时候归一化振幅U

就变成了U的zω

原来那个大T就变成了变量是ω了

这个方程左边的对应

对应上面第一个方程

这个时候上面那个U

在时域中的振幅就变成了

下面的在频域中的振幅

仍然是对z求导

然后右边就变成了二分之1的β2

在这个里头

这个U对于T的两次导

就求出一个负的ω平方来

就写到这个里头

然后U还是U

振幅在时间中的归一化振幅

就变到了频域中的振幅

所以就得到了这个公式

这个公式大家看一下

它求起来就比较容易了

这个式子中左边是对z求导

右边呢是跟z没有关系

因此两边同时求积分

可以得到它的一个解

这个解就是U在z

这个位置处的U的这个振幅

应该是等于U在初始位置z

等于零处的振幅

再乘以exp的2分之iβ2ω方z

就得到了这个表达式

这个表达式

其实就是给出来的

脉冲在频域中的解

但是大家说更想知道

在时域中这个解是什么样的

更想知道脉冲在时域中

是什么样子的一个形式呢

把方程再给它做反傅里叶变换

就可以得到这个方程的时域解

这个就是U(z,T)现在换回来了

自变量变成了运动坐标大T

这个时候就等于这个式子

这个式子中初始的这个脉冲

它的频谱和初始的时间域的

这个函数之间的关系

也是一个傅里叶变换的关系

这就是U(0,ω)等于后面的积分

U(0,T)再乘上exp的iω乘上一个dT

到此为止

色散对于脉冲的影响

这个解就解出来了

但是这个解

大家看着好像不太直观

但是这个有个优点就是这个解是

对于任意义的输入脉冲都是可以用的

所以它是一个通解

现在进一步的想知道

到底脉冲展宽成什么样

举几个例子

第一个就是假设入射的脉冲是

一个无啁啾的高斯脉冲

无啁啾的高斯脉冲

也就是它的表达式是

U(0,T)等于exp的

负的t的平方除以2倍的T0的平方

高斯脉冲的形式

就是exp的负的上面是T的平方

底下是两倍的T0的平方

这个里头呢T0

就定义为脉冲的宽度

脉冲的宽度怎么给

看一下右边的这个图

右边的这个图在这个公式中的T0

代表的是这个脉冲的

最大值的e分之一处的半宽度

就是这个图中的蓝色曲线

标出来的宽度

直接从这个表达式中

就可以找出T0来了

但是这个里头还有一个脉冲宽度的定义

因为这个是在理论上算

我很容易从这个式子中把T0找出来

但是如果在实验中

大家知道我有一个脉冲出来了

这个脉冲出来以后

怎么测它的宽度呢

现在我说给我找下e分之一处的半宽度

这个e分之一处很难找

一般的在实验室中

如果用示波器来看的话

就很容易找

这个最大值的二分之一处的全宽度

这个是比较容易测出来的

因此还有一个定义

就是脉冲的宽度叫半高全宽

也就是在这个图中的

红颜色的这一部分

是峰值功率降到2分之一处的时候

脉冲的整个的宽度叫半高全宽

所以脉冲的宽度有两个定义

它们虽然描述的都是这个脉冲的宽度

但是它的取值位置不一样

这个刚才说了

原因是因为在理论上

我们愿意用高斯脉冲

高斯脉冲T0容易找出来

但是在实验中呢

测半高全宽更容易一些

因此有两个定义

这两个定义之间

肯定是有一个相互关系的

两个相互关系

就是下面的关系

就是半高全宽它的宽度

是等于1.665倍的脉冲的半宽度

等于1.665倍的T0

这个计算大家自己去计算一下

我们留一个作业很容易算就出来了

有了这个脉宽的定义之后

把前面这个公式

刚才说的这个公式代进来

就是把这个初始无啁啾的

高斯脉冲代到刚才的那个解中去

就可以得到脉冲经过距离z以后

它的归一化振幅变成了什么样子

就是给出来的这个表达式

这个表达式等号的第一项是

求出来的这个值

求出来的这个式子

但是我发现了一个什么问题呢

就是入射的脉冲

看刚才第一个方程

无啁啾的高斯脉冲

也就是在这个方程中是没有虚部的

但是当这个脉冲经过了距离z以后

它得出来的振幅有了虚部了

这个虚部

代出来的虚部

就叫做这个脉冲的啁啾

这个一会儿我们再详细的讲一下定义

现在接着

把后面的e指数后面的这一项

把它实部和虚部做一个数学处理

给它分开

所以e指数后面就变成了第一项只有实部

第二项只有虚部

接着再说

这个脉冲的宽度应该等于什么呢

脉冲宽度大家知道了

定义的是T0的位置

e分之一处的半宽度

就是现在给的这个定义

因此在这个式子中

大家可以把这个式子处理一下

就刚才给的U(z,T)里头的

这个e指数中的第一项

第一项代表它的这个振幅

振幅上面是T的平方

下面这一堆给它化简一下

化简出来的那个

原来的对应T0的平方里头

T0的位置处就是脉冲的宽度

用T1来表示

这个T1就等于底下的绿颜色的表达式

这个里头T1等于T0

乘上1加上z比上LD的平方

然后再开方

这个里头就是展宽以后的脉冲

它跟谁有关呢

跟T0初始脉宽有关

跟传输距离z有关

还跟色散长度LD有关

再看一下前面定义过说

这个色散长度LD

是等于T0的平方除以β的模的

把这个代进去

更详细一点

就是它除了跟传输距离z有关

跟T0有关

还跟β2有关

这个就是脉冲的展宽

这个式子详细的

看一下它展出来这个脉宽跟谁有关

总结它一下

就是传输距离z以后脉冲的展宽

表达式是这个表达式

跟谁有关更清楚了

就是随着传输距离的增加

这个脉冲的宽度是越来越宽的

这是第一个式子

这个色散的影响

然后第二个是随着β2的系统中

如果β2色散能力越强

脉冲展宽的越宽

这是第二个结论

那第三个结论就是

说跟初始脉冲T0的关系

这个有点难看出来了

因为右边的式子看第一项T0增加

T1也增加

但是在方括号中

分母上还有一个T0的平方

所以很难说这个T0是增加的时候

它脉冲展宽呢

还是减小的时候脉冲展宽呢

咱们给一个展宽比

把T0除到左边来

变成T1比上T0

定义它为展宽比

这个时候就容易了

就是脉冲的展宽比

是随着初始的脉冲的增加

它的展宽比是越来越小的

也就是说如果初始脉冲比较宽

展宽比较小

如果初始脉冲小那么展宽比较大

这就是我们得到的这几个结论

就是总结一下第一个

第一个是说原来这个

输入脉冲是没有啁啾的

现在变成了有啁啾的脉冲了

这个是因为有了虚部了

第二个是脉冲的宽度

随着传输距离的增加而增加

第三个就是脉冲的宽度

随着GVD的增加而增加

就是刚才说的系统的色散能力强

脉冲就展宽的宽

能力弱就展宽的就慢

第四个说的是脉冲的展宽比

就是把那个T0挪到左边来

T1比上T0

脉冲的展宽比随着初始脉冲的增加而减小

这个也很容易

如果这个初始脉冲它比较瘦

它展宽一点儿

比方说它原来是10个飞秒

它展宽一倍就展到了20个飞秒了

但是如果初始脉冲

本来是一个100飞秒的脉冲

它展宽一倍

它得展到200个飞秒去

所以它这个展宽比是不一样的

从这个式子中得到了这四个结论

我现在想问一下说还有别的结论

大家还能看出别的结论来吗

再看一下上面的那个公式

β2取的是绝对值

绝对值代表着β2取的是正值

可是前面说过了

脉冲的色散β2是有正有负的

有正有负在这个系统中

就是不管β2

是取的是大于零还是小于零

只要它的绝对值

就是随着β2的增加

这个脉冲展宽的就越来越宽

因此还有一条结论就是

展宽与β2的正负号无关

这个也很容易理解

就是看一下图

如果入射的这个脉冲

它是一个无啁啾的高斯脉冲

它经过这段距离传输以后

就是一种情况就是

红光跑得快

蓝光跑的慢

这个时候

就是这个脉冲就被展宽了

倒过来说

如果在这个队列中蓝光跑得快

红光跑的慢

这个脉冲是不是也一样被展宽

因此就是如果这个系统中

只有色散的时候

这个色散不管是大于零还是小于零

这个脉冲都会被展宽

记住这一点

这一点很重要

因为在后面讲的时候

会讲到色散补偿的问题

就会有正有负

并且形成孤子的时候

就会有正有负的这个区别了

记住这一点

在下一章我们会讨论到这个问题

这个就是脉冲在传输距离z以后

色散对于脉冲展宽的影响

有这5点大家讨论出来了

方程也给出来了