当前课程知识点:超短脉冲激光技术 > 第二章:介质基本特性 > 2.1 色散 > 色散(二)
下一个内容看一下色散的计算
以材料色散
作为计算的主要内容
刚才说过了
波导色散因为是一个很复杂的
一个设计过程
在本门课我们没有那么多时间
所以我们就不再讲了
我们讲一下材料色散的计算
材料色散用的是塞尔麦耶公式
大家看一下这个公式里头有几个量
一个是n代表折射率
n减1等于后面是西格玛是求和号
求和号有三个式子
其中这个式子m是分别等于1、2、3的
再往后看
Bi和Ci代表的是材料的系数
不同的材料它的系数是不一样的
这个是给定的
还有一个就是波长λ
如果Bi和Ci给定
这个式子中就只剩下n和λ的关系了
因此给不同的λ就可以
求出它的不同的折射率n来
另外还有一个公式
有些材料也用柯西公式来表示
也是如果A1A2系数给定的话
当给定不同的波长的时候
也可以求出它的折射率
给个例子常见的材料
它的塞尔麦耶系数
我们给了一个表
在这个里头给出来一个是钛宝石的
一个是熔融石英
钛宝石是作为激光介质的
熔融石英是作为色散补偿元件
棱镜对儿来用的
还有一些其它的元件
比方说BK7波率和SF10波率
那么它们的系数分别给出来
B1 B2 B3 C1 C2 C3
给出来之后
就可以求出它的折射率
随波长的变化
这个图就可以求出来了
这个图中呢有两条曲线
折射率随着波长的变化是
这一条蓝色的曲线
波长是从可见光0.4个微米
一直到近红外两个微米
我们看到折射率
它是随着波长的增加
它是在往下走的单调减小的
因此说长波长的光
比短波长的光要跑得快
因为它的折射率小
如果更形象一点说
就是红光比蓝光跑的要快
这个就是因为它的
折射率曲线造成的
上面红的曲线是群折射率
一会儿我们再介绍
因此就是说
色散为什么导致脉冲展宽
因为红光跑得快所以红光在前面
蓝光跑得慢蓝光在后头
因此把这个队列就拉开了
脉冲就展宽了
这个是它的原因
那么色散通常用传输常数来表示
用β来表示
β其实有点类似于波数K的地位
但是β是跟频率有关的
所以β(ω)等于n(ω)
因为折射率
是跟波长不一样的
跟频率不一样的
所以写出这个式子来
β(ω)等于n(ω)乘以ω除以c
这个式子刚才也看到了折射率n
是一个比较复杂的一个式子
很难写出它的一个具体的解析式来
所以把β(ω)
给它做泰勒级数展开
展出了一阶二阶三阶以及更高阶的项
这个时候如果把其中的系数β
β1β2求出来的话
它的色散这个式子我们也就知道了
因此呢求一下β
β等于多少
其中β0是等于β
当ω等于中心波长ω0的时候的表达式
其它的各阶系数
β1β2β3用βm来表示
它是等于β对dω的求导
当ω等于ω0的时候
就可以求出βm来
因此可以求出β1和β2来
β1就是β对dω求一次导
这个大家也可以看得到
按泰勒级数展看一下
把泰勒级数展开对ω求一次导
左边就是dβ比上一个dω
右边β0因为是一个常数
所以一求导就等于零了
第一项就变成了
一求导就变成了只剩下β1了
再往后的第二项就等于
ω减ω0乘以β2
后面依次类推
这个时候如果假设ω是等于ω0的
右边的第二项第三项
因为含有ω减ω0这项一
所以后面这些项就都等于零了
因此就求出来β1就等于
dβ比上dω
也就是β对ω的一次导数
然后把ω等于ω0代进去
就可以求出β1来了
β1等于什么
求出来就是后面右边的这个表达式
看最右边的这个表达式
给β1一个物理概念
就是β1是代表什么物理意义呢
看一下最右边是
我们看第一项等于n除以c
大家知道光波在介质中的
传输速度是等于c比n的
因此后面这一项的意义
其实代表的是一个速度的倒数
为什么跟普通的速度不一样呢
因为讨论的是群速度了
讨论的是这一群的概念
因此有了后面这个附加项
所以β1实际上它的物理意义
代表的是群速度的倒数
记着这是物理概念
就是β1其实表示的是群速度
就是这一个大波包
它的群的速度用β1来表示
同样的方法就可以把β2求出来
求两次导
仍然是ω等于ω0
这时候就得出后面的表达式来
后面这个表达式中有两项
就有两个式子
左边的求出来的是
dn比上dω的导数
就是n随着ω的变化量
最右边的这个式子是
n随着λ的变化量
原因是什么呢
刚才说过了
材料色散是由于不同的光的频率
它的折射率不一样
导致的脉冲展宽
导致的延迟
但是在电学中大家一般用的都是
频率这个概念
而在光学中不同的频率
更形象的说用的是波长这个概念
比方说绿光是532纳米
氦氖光是632.8纳米
所以用频率用得少一些
因为更直观
但是频率和波长的关系
其实是一个很简单的关系
就是后面的
就是频率和波长的关系
是ω等于2πc除以λ
因此我们说讨论频率的时候
其实也可以说讨论波长的关系
但是它们两个有一个相关的式子
不一样
有的时候我们讨论的是跟频率的关系
有的时候我们讨论的是跟波长的关系
其实说的都是一个概念
这样子就可以求出β2来了
β2求出来β2之后
我们看看色散
到底物理概念
是什么样的一个物理概念
我们给了一个概念叫群延时
什么叫群延时
就是刚才说的不同波长的分量ω
它经过长度L以后
它到达终端的时候
它们两个的时间是不一样的
它就会有一个延时
这个延时如果我们讨论群延时
延时τ就是L除以Vg
就是跟β对于ω一次导相关
但是实际上我们更关心的是脉冲展宽
脉冲为什么会展宽
因为不同波长的光
它到达的终端的时候
延时是不一样的
所以才导致脉冲展宽
因此光脉冲展宽应该是群延时的差
所以Δτ是等于右边的这个式子
是dτ比上dω再乘上一个Δω
把这个式子再进一步运算
知道dτ比上dω是一次导
所以就求出来
dβ比上dω的两次导数
后面再乘以它的长度和它的光谱的宽度
因此说光谱导致的
脉冲展宽就有几个因素
第一跟β2有关
跟介质的特性有关
第二跟传输的长度有关
第三跟本身所包含的频率成分有关
这个大家也好理解
传得越长队列拉得越宽
色散越厉害队列拉的越宽
频谱越宽队列越长
它到终点它拉的也越宽
这个就叫脉冲展宽
因此定义说
这里头的关键因素是谁
描述介质的色散能力的是系数β2
给这个β2起了一个名字
叫做群速色散
叫group velocity dispersion
表达式就是β对于ω的两次导
刚才说过了这个是对于频率的导数
有的时候
也希望用在对波长导数
所以又给了另外一个参量
叫做色散参量D
D它的定义是后面L分之一τ
对λ的导数
这个的定义的时候
D代表的是
两个波长间隔一个纳米的时候
光波传输一个距离一个公里之后的延时
就叫做色散参数
它俩之间是什么关系
后面看一下
就是刚才给出来了
脉冲展宽Δτ跟λ的关系
是Δτ等于D乘以L乘以Δλ也是一样的
你的D越大脉冲展宽的越宽
传输距离越长脉冲展宽的越宽
光谱越宽产生的展宽越宽
然后把它代到跟
频率有什么关系
这个式子表示的是Δτ先对频率求导
频率求导就等号的第一个等号
第二个第三个等号
等于β2乘以L2乘上Δω
然后又知道Δω跟Δλ之间
是有一个固定的关系的
因此就可以得到D和β2之间的关系
就是现在给的绿颜色的表达式
D等于负的2πc除以λ的平方
再乘以β2
这个怎么求出来的
就是后面
因为ω是跟λ是成反比的
Δω我们求一下它的导数
然后就等于
负的λ平方分之一2πc乘以Δλ
记得这个里头因为一求导之后
产生了一个负号
因此虽然D和β2都代表二阶色散
但是β2和D是反号的
就是如果β2是大于零的
这个时候要记得有的论文中说D
D其实就是小于零的
在激光器中一般用的是β2更多一些
来代表系统的色散能力
就是β2大于零就叫正常色散
β2是小于零就叫反常色散
记着这个概念
接着算一下这个熔融石英的
二阶色散以及三阶色散是什么样子的
画条曲线
这是刚才的那条曲线
蓝色的代表的是折射率随着波长的变化
红色的代表的是群折射率
随着波长的变化
它俩还是有区别的
右边这个图给出来
左边是二阶色散的标尺
右边是三阶色散
也就是说蓝颜色的曲线是二阶色散
随着波长的变化
红颜色的这条线代表的是
三阶色散随着波长的变化规律
看一下蓝色曲线
看一下蓝色曲线
发现蓝色曲线
它在随着波长的增加
它一开始是正的
然后过零点
最后就变成了一个负值了
所以看一下这个点到底在哪儿
就找到了一个零色散点
它有一个点是色散值是为零的
这个点在哪儿
是在1.27微米处
这个是熔融石英
不同材料它的零色散点是不一样的
熔融石英的零色散点在1.27微米
因此看一下
把这个图放大
就看一下1.27微米附近
1.27微米附近我们找到
这个零色散点之后
再看一下左边
这个图就代表的是二阶色散
也叫群速度色散
发现左边群速度色散是正的
β2是正的
右边这个β2是负的
因此把这个区也分成了两个区
一个区叫做正常色散区
也就是当λ小于λD
小于零色散波长的时候
这个区域叫它正色散区
这个时候β2是大于零的
记着正负是跟β2来做标准的
这个时候如果β2大于零
D就是小于零的
正常色散区形象的比喻就是红快兰慢
就是红光跑得快兰光跑得慢
在反常色散区就是
当这个β2小于零的那一部分
叫它反常色散
这个时候
β2是小于零
D这个时候是大于零的
记着它俩是反号的
再看一眼这个图
在1.27微米以下的波长
这个光纤它是在正色散区
它的β2是大于零的
在这个1.27以后的波长
光纤它的β2是小于零的
记住这个特点
因为后面会讲正常色散和反常色散
以及它们两个之间怎么来相互作用
这个概念还是很重要的
有了色散的计算之后
看一下这个色散
可不可以把零色散点
给它左移右移
普通的石英光纤如果是单模的话
它的色散点零色散点是在1.27
对于1.55微米的
掺铒光纤激光器来说
它因为工作在1.5微米
因此普通光纤它是负色散的
但是我们刚才举例子的时候说
掺镱激光器它的工作波长是在一个微米
因此普通光纤它的色散是正色散区
那如果想在正色散区
让它零色散点漂移怎么办呢
有办法这个就是就涉及到
刚才说的波导色散
因为系统总的色散是由
材料色散和波导色散加起来的
通常情况下如果波导没有那么复杂
波导色散很小就忽略掉它了
但是如果想用波导色散
就把波导色散好好设计
把它加进来
因此看一下这个图
上面这条虚线代表的是材料色散
然后以光纤为例
设计光纤的结构
就设计出一个波导色散来
而我们知道光纤的总的色散
应该是这两部分色散相加的
所以它一加
就可以把零色散点给它移动
这个光纤叫色散位移光纤
在这个图中
零色散点就已经
飘到1.3微米以后了
这个就叫色散位移光纤
-1.1 绪论
--绪论
-第一章 测试
--第一章 测试
-2.1 色散
--色散(一)
--色散(二)
-2.2 非线性&2.3 耗损
--非线性(一)
-第二章 测试
--第二章 测试
-3.1 锁模脉冲产生基本原理
-3.2 主动锁模方式
--主动锁模方式
-3.3 被动锁模方式
--被动锁模方式
-第三章 测试
--第三章 测试
-4.1 麦克斯韦方程&4.2 线性波动方程&4.3 非线性薛定谔方程
-4.4 高阶非线性薛定谔方程&4.5 数值解法
-第四章 测试
--第四章 测试
-5.1 色散的引入&5.2 群速度色散引起的脉冲展宽(一)
-5.2 群速度色散引起的脉冲展宽(二)
-5.2 群速度色散引起的脉冲展宽(三)
-5.2 群速度色散引起的脉冲展宽(四)&5.3三阶色散的影响
-第五章 测试
--第五章 测试
-6.1 SPM感应频谱变化&6.2群速度色散的影响(一)
-6.2 群速度色散的影响(二)&6.3 高阶非线性效应&6.4 SPM应用举例
-第六章 测试
--第六章 测试
-7.1 调制不稳定性&7.2 传统光孤子(一)
-7.2 传统光孤子(二)&7.3 其他类型孤子
-第七章 测试
--第七章 测试
-8.1 主方程
--主方程
-8.2 锁模光纤激光器数值模拟举例
-第八章 测试
-9.1 色散及色散补偿&9.2 棱镜对
--棱镜对(二)
-9.3 光栅对
--光栅对
-9.4 多层膜结构
--多层膜结构
-第九章 测试
--第九章 测试
-10.1 半导体可饱和吸收镜
-10.2 材料类可饱和吸收体
-第十章 测试
--第十章 测试
-11.1 克尔锁模固体激光器谐振腔设计
-11.2 克尔锁模激光器脉冲形成机制&11.3 典型固体激光器
-第十一章 测试
--第十一章 测试
-12.1 锁模光泵半导体薄片激光器简介
-12.2 基本理论
--基本理论
-12.3 锁模脉冲实验
--锁模脉冲实验
-第十二章 测试
--第十二章 测试
-13.1 光纤简介
--光纤简介
-13.2 光纤激光器锁模启动机制
-13.3 锁模脉冲类型
-第十三章 测试
--第十三章 测试
-14.1 啁啾脉冲放大器
--啁啾脉冲放大器
-14.2 啁啾脉冲展宽与压缩
-第十四章 测试
--第十四章 测试
-15.1 强度自相关测量法
--强度自相关测量法
-15.2 Frog测量法&15.3 Spider测量法
-第十五章 测试
--第十五章 测试