色散（二）在线视频

下一个内容看一下色散的计算

以材料色散

作为计算的主要内容

刚才说过了

波导色散因为是一个很复杂的

一个设计过程

在本门课我们没有那么多时间

所以我们就不再讲了

我们讲一下材料色散的计算

材料色散用的是塞尔麦耶公式

大家看一下这个公式里头有几个量

一个是n代表折射率

n减1等于后面是西格玛是求和号

求和号有三个式子

其中这个式子m是分别等于1、2、3的

再往后看

Bi和Ci代表的是材料的系数

不同的材料它的系数是不一样的

这个是给定的

还有一个就是波长λ

如果Bi和Ci给定

这个式子中就只剩下n和λ的关系了

因此给不同的λ就可以

求出它的不同的折射率n来

另外还有一个公式

有些材料也用柯西公式来表示

也是如果A1A2系数给定的话

当给定不同的波长的时候

也可以求出它的折射率

给个例子常见的材料

它的塞尔麦耶系数

我们给了一个表

在这个里头给出来一个是钛宝石的

一个是熔融石英

钛宝石是作为激光介质的

熔融石英是作为色散补偿元件

棱镜对儿来用的

还有一些其它的元件

比方说BK7波率和SF10波率

那么它们的系数分别给出来

B1 B2 B3 C1 C2 C3

给出来之后

就可以求出它的折射率

随波长的变化

这个图就可以求出来了

这个图中呢有两条曲线

折射率随着波长的变化是

这一条蓝色的曲线

波长是从可见光0.4个微米

一直到近红外两个微米

我们看到折射率

它是随着波长的增加

它是在往下走的单调减小的

因此说长波长的光

比短波长的光要跑得快

因为它的折射率小

如果更形象一点说

就是红光比蓝光跑的要快

这个就是因为它的

折射率曲线造成的

上面红的曲线是群折射率

一会儿我们再介绍

因此就是说

色散为什么导致脉冲展宽

因为红光跑得快所以红光在前面

蓝光跑得慢蓝光在后头

因此把这个队列就拉开了

脉冲就展宽了

这个是它的原因

那么色散通常用传输常数来表示

用β来表示

β其实有点类似于波数K的地位

但是β是跟频率有关的

所以β(ω)等于n(ω)

因为折射率

是跟波长不一样的

跟频率不一样的

所以写出这个式子来

β(ω)等于n(ω)乘以ω除以c

这个式子刚才也看到了折射率n

是一个比较复杂的一个式子

很难写出它的一个具体的解析式来

所以把β(ω)

给它做泰勒级数展开

展出了一阶二阶三阶以及更高阶的项

这个时候如果把其中的系数β

β1β2求出来的话

它的色散这个式子我们也就知道了

因此呢求一下β

β等于多少

其中β0是等于β

当ω等于中心波长ω0的时候的表达式

其它的各阶系数

β1β2β3用βm来表示

它是等于β对dω的求导

当ω等于ω0的时候

就可以求出βm来

因此可以求出β1和β2来

β1就是β对dω求一次导

这个大家也可以看得到

按泰勒级数展看一下

把泰勒级数展开对ω求一次导

左边就是dβ比上一个dω

右边β0因为是一个常数

所以一求导就等于零了

第一项就变成了

一求导就变成了只剩下β1了

再往后的第二项就等于

ω减ω0乘以β2

后面依次类推

这个时候如果假设ω是等于ω0的

右边的第二项第三项

因为含有ω减ω0这项一

所以后面这些项就都等于零了

因此就求出来β1就等于

dβ比上dω

也就是β对ω的一次导数

然后把ω等于ω0代进去

就可以求出β1来了

β1等于什么

求出来就是后面右边的这个表达式

看最右边的这个表达式

给β1一个物理概念

就是β1是代表什么物理意义呢

看一下最右边是

我们看第一项等于n除以c

大家知道光波在介质中的

传输速度是等于c比n的

因此后面这一项的意义

其实代表的是一个速度的倒数

为什么跟普通的速度不一样呢

因为讨论的是群速度了

讨论的是这一群的概念

因此有了后面这个附加项

所以β1实际上它的物理意义

代表的是群速度的倒数

记着这是物理概念

就是β1其实表示的是群速度

就是这一个大波包

它的群的速度用β1来表示

同样的方法就可以把β2求出来

求两次导

仍然是ω等于ω0

这时候就得出后面的表达式来

后面这个表达式中有两项

就有两个式子

左边的求出来的是

dn比上dω的导数

就是n随着ω的变化量

最右边的这个式子是

n随着λ的变化量

原因是什么呢

刚才说过了

材料色散是由于不同的光的频率

它的折射率不一样

导致的脉冲展宽

导致的延迟

但是在电学中大家一般用的都是

频率这个概念

而在光学中不同的频率

更形象的说用的是波长这个概念

比方说绿光是532纳米

氦氖光是632.8纳米

所以用频率用得少一些

因为更直观

但是频率和波长的关系

其实是一个很简单的关系

就是后面的

就是频率和波长的关系

是ω等于2πc除以λ

因此我们说讨论频率的时候

其实也可以说讨论波长的关系

但是它们两个有一个相关的式子

不一样

有的时候我们讨论的是跟频率的关系

有的时候我们讨论的是跟波长的关系

其实说的都是一个概念

这样子就可以求出β2来了

β2求出来β2之后

我们看看色散

到底物理概念

是什么样的一个物理概念

我们给了一个概念叫群延时

什么叫群延时

就是刚才说的不同波长的分量ω

它经过长度L以后

它到达终端的时候

它们两个的时间是不一样的

它就会有一个延时

这个延时如果我们讨论群延时

延时τ就是L除以Vg

就是跟β对于ω一次导相关

但是实际上我们更关心的是脉冲展宽

脉冲为什么会展宽

因为不同波长的光

它到达的终端的时候

延时是不一样的

所以才导致脉冲展宽

因此光脉冲展宽应该是群延时的差

所以Δτ是等于右边的这个式子

是dτ比上dω再乘上一个Δω

把这个式子再进一步运算

知道dτ比上dω是一次导

所以就求出来

dβ比上dω的两次导数

后面再乘以它的长度和它的光谱的宽度

因此说光谱导致的

脉冲展宽就有几个因素

第一跟β2有关

跟介质的特性有关

第二跟传输的长度有关

第三跟本身所包含的频率成分有关

这个大家也好理解

传得越长队列拉得越宽

色散越厉害队列拉的越宽

频谱越宽队列越长

它到终点它拉的也越宽

这个就叫脉冲展宽

因此定义说

这里头的关键因素是谁

描述介质的色散能力的是系数β2

给这个β2起了一个名字

叫做群速色散

叫group velocity dispersion

表达式就是β对于ω的两次导

刚才说过了这个是对于频率的导数

有的时候

也希望用在对波长导数

所以又给了另外一个参量

叫做色散参量D

D它的定义是后面L分之一τ

对λ的导数

这个的定义的时候

D代表的是

两个波长间隔一个纳米的时候

光波传输一个距离一个公里之后的延时

就叫做色散参数

它俩之间是什么关系

后面看一下

就是刚才给出来了

脉冲展宽Δτ跟λ的关系

是Δτ等于D乘以L乘以Δλ也是一样的

你的D越大脉冲展宽的越宽

传输距离越长脉冲展宽的越宽

光谱越宽产生的展宽越宽

然后把它代到跟

频率有什么关系

这个式子表示的是Δτ先对频率求导

频率求导就等号的第一个等号

第二个第三个等号

等于β2乘以L2乘上Δω

然后又知道Δω跟Δλ之间

是有一个固定的关系的

因此就可以得到D和β2之间的关系

就是现在给的绿颜色的表达式

D等于负的2πc除以λ的平方

再乘以β2

这个怎么求出来的

就是后面

因为ω是跟λ是成反比的

Δω我们求一下它的导数

然后就等于

负的λ平方分之一2πc乘以Δλ

记得这个里头因为一求导之后

产生了一个负号

因此虽然D和β2都代表二阶色散

但是β2和D是反号的

就是如果β2是大于零的

这个时候要记得有的论文中说D

D其实就是小于零的

在激光器中一般用的是β2更多一些

来代表系统的色散能力

就是β2大于零就叫正常色散

β2是小于零就叫反常色散

记着这个概念

接着算一下这个熔融石英的

二阶色散以及三阶色散是什么样子的

画条曲线

这是刚才的那条曲线

蓝色的代表的是折射率随着波长的变化

红色的代表的是群折射率

随着波长的变化

它俩还是有区别的

右边这个图给出来

左边是二阶色散的标尺

右边是三阶色散

也就是说蓝颜色的曲线是二阶色散

随着波长的变化

红颜色的这条线代表的是

三阶色散随着波长的变化规律

看一下蓝色曲线

看一下蓝色曲线

发现蓝色曲线

它在随着波长的增加

它一开始是正的

然后过零点

最后就变成了一个负值了

所以看一下这个点到底在哪儿

就找到了一个零色散点

它有一个点是色散值是为零的

这个点在哪儿

是在1.27微米处

这个是熔融石英

不同材料它的零色散点是不一样的

熔融石英的零色散点在1.27微米

因此看一下

把这个图放大

就看一下1.27微米附近

1.27微米附近我们找到

这个零色散点之后

再看一下左边

这个图就代表的是二阶色散

也叫群速度色散

发现左边群速度色散是正的

β2是正的

右边这个β2是负的

因此把这个区也分成了两个区

一个区叫做正常色散区

也就是当λ小于λD

小于零色散波长的时候

这个区域叫它正色散区

这个时候β2是大于零的

记着正负是跟β2来做标准的

这个时候如果β2大于零

D就是小于零的

正常色散区形象的比喻就是红快兰慢

就是红光跑得快兰光跑得慢

在反常色散区就是

当这个β2小于零的那一部分

叫它反常色散

这个时候

β2是小于零

D这个时候是大于零的

记着它俩是反号的

再看一眼这个图

在1.27微米以下的波长

这个光纤它是在正色散区

它的β2是大于零的

在这个1.27以后的波长

光纤它的β2是小于零的

记住这个特点

因为后面会讲正常色散和反常色散

以及它们两个之间怎么来相互作用

这个概念还是很重要的

有了色散的计算之后

看一下这个色散

可不可以把零色散点

给它左移右移

普通的石英光纤如果是单模的话

它的色散点零色散点是在1.27

对于1.55微米的

掺铒光纤激光器来说

它因为工作在1.5微米

因此普通光纤它是负色散的

但是我们刚才举例子的时候说

掺镱激光器它的工作波长是在一个微米

因此普通光纤它的色散是正色散区

那如果想在正色散区

让它零色散点漂移怎么办呢

有办法这个就是就涉及到

刚才说的波导色散

因为系统总的色散是由

材料色散和波导色散加起来的

通常情况下如果波导没有那么复杂

波导色散很小就忽略掉它了

但是如果想用波导色散

就把波导色散好好设计

把它加进来

因此看一下这个图

上面这条虚线代表的是材料色散

然后以光纤为例

设计光纤的结构

就设计出一个波导色散来

而我们知道光纤的总的色散

应该是这两部分色散相加的

所以它一加

就可以把零色散点给它移动

这个光纤叫色散位移光纤

在这个图中

零色散点就已经

飘到1.3微米以后了

这个就叫色散位移光纤