群速度色散引起的脉冲展宽（二）在线视频

这个时候

刚才提到说里头

有一个啁啾这个概念

什么叫啁啾

给大家详细的讲一下

就是刚才说过

如果这个脉冲是一个无啁啾的高斯脉冲

就是说它的慢变部分

只有实部没有虚部

如果把exp的i(ω0t)

快变部分也写进来的话

无啁啾的高斯脉冲

就写成了是这个表达式

它的振幅是等于exp的负的T的平方

比上两倍的T0的平方的

它的形状就右边这个脉冲

它每一个位置处

它的所有的频谱都是相同的

这个叫无啁啾

这个时候刚才得出来的结论说

经过了传输距离z以后

这个脉冲的振幅就有了虚部了

这个脉冲就定义它为

有啁啾的脉冲了

在异指数后面加了一个虚部i

后面是T的平方比上β2z

比上底下的系数的平方

这个里头后面的虚部

就叫做脉冲的啁啾

如果脉冲中表达式中有虚部

这个项就叫它啁啾脉冲

它对应的这个图

就是下面彩色图

就是原来脉冲

它对于时间轴上脉冲的每一个T点处

它的所有的频谱都是相同的

但是有了啁啾以后

大家再看脉冲它在不同的位置处

它的频谱的成分不一样了

就是在这个图中

看到左边的成分就是红颜色的多

右边的这个地方呢

它的成分就是蓝颜色的多

中间就是赤橙黄绿青蓝紫就分开了

这个脉冲就叫它啁啾脉冲

啁啾脉冲

如果用一个通式来表示的话

大家可以从头写一下这个式子E(t)

E(t)等于多少呢

后面就写成了

exp的负的1加iC除以2

再乘以T的平方比上一个T0的平方

再乘后面exp的i(ω0t)

exp的i(ω0t)是快变部分

不太需要非常的注意它

看一下前面的振幅部分

也就是它的包络部分

就是后面加了一个1加iC

C就引入了虚部了

然后把这个式子再接着再处理一下

就等于后面把

实部和实部放一块

虚部和虚部放在一块儿

后面这个e指数就变成了

exp的iω0t加上一个ct的平方

这个里头的系数c就叫做啁啾系数

这个式子对应的上面

经过距离z以后传输的脉冲

它的项就是后边的

虚部的那一部分

也就是

这一部分就叫做

它的系数啁啾的值

就可以对应这两个式子

把c就找出来了

有了这个啁啾呢会导致什么情况

就导致脉冲在传输的过程中

刚才说过了这个波包下

它的不同位置处

它的频率成分变得不太一样了

把刚才的那个式子再重新写出来

等于E(t)等于E0乘上exp的iω0t

减去一个φt

其中φt刚才定义它等于负的ct平方

代表的是啁啾项

把频率的瞬时频率求出来

瞬时频率怎么定义的

就是上面的那个式子中

整个的那个相位

ω0t减去一个φt给它对t求导

就等于瞬时频率

所以瞬时频率就等于ωt

等于ω0减去一个dφ比上dt

这个dφ比上dt刚才说了

如果定义的它

啁啾高斯脉冲

定义的那个啁啾系数是c的话

这个式子就等于ω0加上两倍的ct

这个数学表达式是好求的

但是它代表什么物理意义

大家想一下

一群波在往前传的时候

里头有相速度有群速度

现在主要是讨论的

是它这个波包

波包的变化形式

在这个波包下每一个位置处

它的频率就不是ω0了

而是什么了

是ω0加上两倍的ct

这个时候的瞬时频率

就不再是一个常数了

跟谁有关跟时间t有关系

因此如果形象的表示

就像右上角这个图一样的

波包还是那个大的包络

但是在这个大的包络下

每一个位置处它的瞬时频率

变得不一样

这个图中

相当于是红颜色的光它跑的快

因此红颜色的光它的瞬时频率就快

导致的脉冲产生一个啁啾

这个就代表了脉冲的啁啾特性

但是需要说明一下

就是瞬时频率求出来的

瞬时频率其实不是波的实际频率

它是一个近似的量

就用来粗略的描述一下脉冲在

有啁啾情况时候

它的波的一个频率情况

这是这样子

另外就是实际上

这个式子中表达出来的是c

对于ω的关系

是ω等于c跟t的一次方相关

但是如果这个系统比较复杂的话

瞬时频率和啁啾的关系

就也不见得是线性关系了

现在这个式子是一个线性关系

如果系统复杂它就有可能是

更复杂的表达式

下面看一下

脉冲它的啁啾特性

就是刚才说入射脉冲

是一个无啁啾的

但是它经过了距离z以后

它变成了一个啁啾脉冲了

变成了一个啁啾脉冲

它里头就有了啁啾项

就是这个ict的平方

那个c一就出来了

这个时候看一下它

量到底等于什么呢

可以先把脉冲的相位先写出来

相位就有两部分组成

第一部分

是由exp的ict的那个c得出来的

第二部分后面

加的二分之一arctanz比上LD

是由前面的振幅项的

虚部求出来的

这样子就看到了

相位是随着横轴T

就是时间轴

它是一个二次变化的曲线

得到了一个这样的结论

这样就可以得到它的瞬时频率

也就是说这个啁啾

就把φ求一次导

求一次导t的平方

就变成了两倍的T

然后后面的因为跟t没关系

所以第二项求完导等于零了

因此瞬时频率也叫做啁啾

就等于δωt就等于

然后后面是β2的负号

再乘上一个z比LD乘上t

再除上1加z比上LD 的平方

再乘以一个T0的平方

这个里头前面有一个

负的∂φ比上∂T

这个负号是由于前面

设频率的值的时候

瞬时频率用的是exp的负的iω0T

负号代进来的

这个关系不是太大对我们的影响

因此就得到一个瞬时频率

就是后面的值

这个值得大家看到

就是瞬时频率

是跟T的一次方有关系

因此这个啁啾叫做线性啁啾

也就是红光跑的快蓝光跑的慢

并且它们差别是它们频率差

是一个线性关系

就是这个意思

现在看一下啁啾脉冲

如果经过色散系统以后

脉冲会展宽

展宽到什么程度呢

又变成什么样子了

左边的图是给出来光纤内

传输到z等于2倍的LD

也就是两倍的色散长度和4倍的LD

这个时候高斯脉冲

它的归一化振幅归一化强度

虚线部分代表的是初始的

脉冲位置时候的脉冲形状

就是无啁啾的高斯脉冲

然后它经过了两倍的LD之后

就变成了图中的红颜色的这条曲线

大家可以看得到就是

它的峰值功率下降了

但是它的脉冲的宽度展宽了

就是原来有一个

比较瘦比较高的一个脉冲

变成了一个矮一点胖一点的脉冲了

那再接着往前传

就变到了蓝颜色这条曲线

就是它接着峰值下降

然后脉冲接着展宽

这个就是它的一个特点

并且可以看到

脉冲它是对称的展宽的

一边走一边展宽

一边走一边展宽

它是对称展宽的

然后再看一下它的频率啁啾

是什么样子的呢

右边图画出来的频率啁啾

随着横轴是脉冲它的

横轴的时间就是它的

脉冲的时域中的坐标

可以看得到

就是有一条曲线是往下走的

还有一条曲线是往上走的

有什么不一样呢

就是如果β2是大于零的

这个里头就跟β2

跟色散系数β2的正负有关系

如果β2大于0

频率啁啾是往上走的

如果β2小于0

频率啁啾是往下走的

这是它的两个不同的结论

这个里头并且根据啁啾的量不一样

斜率是不一样的

可以调节它的

通过调节啁啾量来调节它的斜率

这个是色散导致的

啁啾的一个直观的曲线图

并且看出来频率啁啾

它是一个线性变化的

刚才得出结论

Δω是跟T的一次方相关

因此它是一个线性的直线

这个就是无啁啾入射的时候

脉冲它在距离z

传输了距离z以后

如果系统中有β2的群速度色散的话

脉冲被展宽以及脉冲的啁啾的情况

后面再总结一下

就是无啁啾高斯脉冲入射的特点

就是第一高斯形状保持不变

就是它虽然是展宽了

但是它依然是一个高斯的形状

这是第一个结论

第二个就是

群速度的色散导致脉冲展宽取决于它的LD

取决于它的色散长度

第三个就是GVD会导致线性频率啁啾

线性频率啁啾有往上走的

叫上啁啾

也有往下走的

就叫下啁啾

跟β2的正负号有关系

还有一个结论就是

群速度色散导致脉冲展宽

本身展宽的宽度与β2的符号无关

这两点需要重新说一下

就是群速度色散里头用β2来表示

β2有正有负

有正常色散有反常色散

但是脉冲的展宽程度

就是不管β2是正的还是负的

它都要展宽并且展开的程度是一样的

但是它对于频率的啁啾是不一样的

虽然它的啁啾的量是一样的

但是β2如果是大于零的

它就是上啁啾

如果β2是小于零的它就是下啁啾

这个注意

这后面会用到这个结论

还有一个结论就是在这个传输过程中

它的光谱形状是不变的

就是啁啾高斯脉冲

它在传的过程中

没有产生新的频谱成分

只是说这个频谱成分呢

它有的人跑的快有的人跑的慢一点

但是它的形状并没有发生变化

这个就是色散导致的脉冲展宽

以及啁啾的特性