主方程在线视频

现在我们来学习一下

激光器中的脉冲光场方程

前面我们讲了

脉冲在光纤中的传输方程

跟激光器中的方程有什么不一样呢

因为激光器中有一个增益介质

有增益了

那这个里头

主要用的是主方程

后面给了一个

锁模光纤激光器的一个模拟举例

首先来看一下主方程

就是刚才说过了

因为这个激光器中有了增益

增益就会带来比方说

增益滤波增益带宽

这些各种效应

描述激光器中的脉冲光场方程

也是在很早就有人开始做了

在1970年这两位老先生

就已经解除了

主动锁模在频域中的自恰解

在1984年的时候

Mollenauer了和Stolen两位先生

提出来用描述孤子锁模的现象的

非线性薛定谔方程

也就是在前面讲的

脉冲在光纤中传输的

非线性薛定谔方程

早在1975年的时候

Huas先生提出了时域主方程

也就是Master Equation

有的地方也用

金斯伯格朗道方程

其实非线性薛定谔方程

是主方程的一个简化形式

因为在这个方程中

没有考虑到增益的影响

并且在腔内

认为它的元件是独立与位置无关的

其实这个元件的位置

因为有非线性效应

它是有关系的

这个方程比较复杂

本章主要讨论一下

主方程是怎么得出来的

看一下系统在达到稳态的时候

因为脉冲在激光腔中

已经运行了相当长的时间了

因此不用再找一串脉冲

我们只讨论一个单一的脉冲

就可以了

这个单一的脉冲电场

可以用连续函数来表示

仍然是这个a(z,t)e的iω0t

这个时候的a(z,t)

仍然代表的是慢变振幅包络

在这个情况下

就像刚才说的

仍然是这个黑盒子

脉冲进入这个黑盒子

然后再从黑盒子中出来

只不过这个时候黑盒子里头

加了增益项了

增益项主要是影响谁呢

影响它的幅度

所以在这个黑盒子中

其实就有了3项

一种叫色散

一种是幅度调制

一种是非线性效应

同样的也把它用算符来表示

总的算符用Fi来表示

因此这个方程可以用左边这个方程

就是a对z的∂导

就等于这个算符Fi作用在a上

这个i主要有三个机制

一个是色散用D算符表示

一个是增益用来G算符表示

还有一个是非线性用N来表示

如果这三个算符单独作用在脉冲上呢

就是右边的这三个方程

这三个方程需要知道什么呢

需要知道这三个算符

D G N到底代表什么意思

就是它由什么来表达出来的

如果我们讨论的这个系统

是一个弱脉冲成形机制的话

并且假设光场

与这个位置是无关的

这个脉冲的表达式

就可以写出刚才说的简化式来

这个时候

因为现在讨论的是激光器

大家知道激光器我们讨论的是稳态过程

也就是说激光器光场在激光器中

在运行的时候

它运行的一圈的时候

它应该是不变的

就是除了它的相位发生变化以外

它的其它状态应该是不发生变化的

再简单一点说

其实就是它的脉冲的包络

应该是自洽的

这样子

如果光场与z无关的话

算符就直接写成G D N作用

在at上就把z也去掉了

它就等于a(t)

先看一下这几个算符

它的表达式是什么样的

先看一下增益算符

假设增益在频域内

是一个高斯型的

高斯型的大家知道

等于e的负的t方比t0方

那是一个高斯函数

这个是一个高斯型它的增益形式

这个高斯型

可以再减化一下

把它简化成为一个抛物线型

这个条件前提条件是什么呢

就是说对应的增益

它很小的情况下

这个增益在中心波长附近

就可以简化为抛物线型

这个抛物线形就是

写出来的这个表达式

这个表达式它是在频域中

把它对应到时域中来

实际上相当于

还是做一个反傅里叶变换

反傅里叶变换

算符G作用在这个a(t)上

等于

后面这个式子做反傅里叶变换

最后就等于下面这个式子1加g

再加上g除以Ωg的平方

在这个对t的两阶∂导数

整个作用在这个a(t)上

这样子

算符G就可以写出来了

在时域中这个算符

就等于下面的这个表达式

这个推导过程实际上

也是用了傅里叶变换

这一页是主要讲了一个推导

就是详细的增益算符的推导过程

大家可以感兴趣看一下

就是增益算符

刚才说了它等于G

对作用在这个F上

它做反傅里叶变换

因为这个G参数

对应的是简化成了一个

抛物线形了其实就是相对于的是

ω减ω零的平方项

它做反傅里叶变换

把第二个等式

给它整理一下

就是说

把1加g合起来

1加g括起来乘以a的ω减ω0

后面那项是跟ω减ω0的平方项有关的

等式的右边的第一项

其实就相当于是这个1加g

这个信号的频谱

它的反傅里叶变换其实就是1加g

所以就变成1加g

然后那个a的ω减ω0呢

就变成了at

这个等式右边的第二项

就相当于是对ω减ω0的平方项

做反傅里叶变换

那大家知道这个

下面这个式子给出来

傅里叶变换的这个公式

把它求二阶导

求二阶导就得出来

这个式子可以清楚的看得到呢

就是ω减ω0的平方项

在时域中就相当于

在频域中的∂上∂t的二次导数

它因此这个式子直接就对应下来了

这个就得到增益在

时域中的算符的表达式

这个就是的一个推导过程

好 这个是增益的算符

色散算符写成什么样呢

看一下

因为前面讲过色散了

这个色散它只改变这个脉冲的相位

因此看一下它的这个相移

把这个相移φω

也是在频域中展开

展成一阶导 二阶导这个形式

然后知道呢说它的这个

色散导致脉冲展宽

这个色散主要是跟二次项有关的

把这个式子

把它变到这个频域中来

其实就变成了下面这个表达式的

就变成了1加iφω0

后面这一项呢

就是跟它的t的一阶导有关

在后面这一项是跟t的二阶导有关

后面就是三阶四阶高阶项

这个推导的过程

跟刚才那个增益算符的推导过程

是一样的在这儿就不再多讲了

最后一项呢

是非线性效应的算符

非线性效应它本来

就是在时域中的算符

所以它不用做傅立叶变换

简化一下呢

这个它的近似表达式就是

1加δ减去iγ括号

a的模的平方

那因此呢

跟这个a的模的平方

也就是说跟

这个光强相关的项有两项

一项是实部项

一项是虚部项

说呢这个δ

是跟饱和吸收项有关

也不是线性的

后面那个γ项呢

就是跟克尔效应有关

就是它的这个自相位调制

这三个算符分别求出来之后

把它作用到这个脉冲上

其实就可以得到这个

它的这个主方程了

就是看一下这个主方程

就是第一项是增益项

方括号中的第一项是增益

第二项是色散

第三项是非线性

把它们作用出来

整个再整理一下

在整理的过程中

还是说的

有一个原则说保留到二阶项

就是为了简化保留的二阶项

保留的二阶项之后呢

就得到下面的这个表达式

然后把这个里头

再给它简化一下呢

这个色散

本来这个就是跟D2相关的

所以把这个色散用D2来代进去

这个时候呢

就得到了这个主方程

这个主方程就是描述脉冲

这个光场在激光器中的方程

这个里头看一下它有什么区别呢

就是跟前面的

那个非线性的方程

有什么区别呢

它就是第一项

左边说过了

因为它转了一圈之后

是多加了一个相位

并且还有一个g减l项

g代表增益

l代表损耗

因为在光纤中

它有损耗一个增益

但是如果激光器在连续运转的时候

如果达到稳态

那它这个增益和损耗

应该是平衡了

所以这个

在这个光纤中

是没有这一项的

后面的这一项呢

是Ω平方项是增益的带宽

增益带宽引进来的影响

再后面这个第二项就是色散

叫群速色散

再后面这个呢

刚才讲过了

δ代表可饱和吸收项

γ代表非线性项

这个就是主方程

主方程呢

一般的来说

也会有这个解

这个主方程的解呢

一般是等于是跟scch波相关的

就等于一个sech波

这个主方程呢

主要有两大类解

第一大类呢

就是孤子锁模解

就是刚才的这个主方程中

大家已经看到它有不同的项

比非线性薛定谔方程中多了几项

那如果把它退化

退化到在这个方程中

只讨论自相位调制

和这个群速度色散的话

这个方程呢

就退化成了

前面讲的非线性薛定谔方程

其实就是下面的这一项

这个里头我们说过g减l呢

是等于增益和损耗

其实可以不考虑它

这个的解就是一个sech波

是一个稳态孤子解

稳态孤子解

前面我们也讲过了

这个非线性薛定谔方程

得出来的这个稳态解

就是一个sech波

它的脉宽呢

就等于两倍的D2

除上γA0的平方

就是跟色散有关

跟非线性有关

这个就是孤子锁模

然后这个主方程的解的第二个解呢

就是纯被动锁模

这个里头纯被动锁模呢

就是只考虑增益饱和

和吸收饱和项

就这个里头有了可饱和吸收了

也有了增益带宽了

其实增益饱和

也可以作为一个滤波项来讨论

那这个主方程呢

就变成了这样子的一个方程

这个方程依然有解

这个解仍然是一个孤子解

并且它的解

稳态解仍然是一个sech波

这个sech波呢

就可以得到脉冲的宽度

就是后面跟增益带宽有关

跟可饱和吸收项有关

这个值得一提的是呢

如果存在高阶项的话

比如说如果存在三阶色散项

一般的来说

这个是没有解析解了

三阶色散项必须用数值解来解

并且三阶色散项

如果没有增益带宽的限制的话

这个解释不稳定的

所以这个时候就需要

引入更高阶的自幅度调制效应

同样的呢

高阶色散和高阶非线性项

如果考虑进来的话

那这个跟前面讲的

脉冲在光纤中的这个

高阶非线性方程是一样的

我们讨论的高阶项

也就是高阶色散和高阶非线性项

过程是一样的

在这个里头就不再详细的讨论了

刚才说过了

另外还有一个方程

跟主方程对应的类似的

也叫金斯伯格朗道方程

这个一般是在光纤激光器中

用的是比较多的

金斯伯格朗道方程呢

是这样子的一个方程

其实跟刚才的主方程是

长的基本上是一样的

区别是在于说

这个光纤中又变回来

变成了∂u比上∂z

就是这个振幅随着z的传输

把它变回来了

其中呢

就是跟在前面讲的

没有增益介质

也就是脉冲在光纤中的传输方程

那看一下有什么区别呢

也是多了几项

一个是多了这个增益带宽项

一个是多了三阶色散项

本来就是有的

然后还多了一个谁呢

多了一个增益损耗项

这个其实里头含有可饱和吸收项

最后还有一个喇曼响应

喇曼响应在前面的那个

高阶非线性薛定谔方程中

也有喇曼响应

所以其实是多了两项

一个是增益带宽

一个是增益与损耗带来的

可饱和吸收项

如果把增益带宽带来的

用滤波来表示的话

其实就多了一个滤波

多了一个可饱和吸收

这个就是

光纤激光器中的方程

这个增益项呢

一般用这个式子来进行运算

吸收项一般用

这个式子来进行计算

这个就是在光纤激光器中常用的方程