棱镜对（二）在线视频

看一下第四步

β随着n的变化

怎么来求

现在看一下dβ比上dn

怎么来求

这个就涉及到里头的三角的公式了

这个图是出射角

与棱镜的折射率的一个定义

在这个里头呢

各个角的定义都标出来了

这个棱镜的顶角用α来表示

ε是代表的是光线的偏转角

也就是入射光线和出射光线之间的夹角

用ε来表示

其中进入到这个棱镜的入射角

用φ1来表示

出射角用φ2来表示

φ1一撇和φ2一撇

代表两个内折射角

根据棱镜的几何关系

可以得出

这个里头的图呢

就是第一是φ1加上φ2

等于ε加上α

这个大家自己去算一下很容易

同时呢

φ1一撇二加上φ2一撇

是等于α

等于这个顶角的

这是从这个几何图形中也容易算出来

把第一个式子给它求一下导

就是求微分

就对于n来求微分

就等于dφ1一撇比上dn

加上dφ2一撇比上dn

因为后面那个顶角α是一个常数

因此导数为零

φ和φ1一撇

φ2和φ2一撇

它们之间的关系呢

满足的是斯奈尔定律

这个大家也都知道

就是sinφ1

等于n倍的sinφ1一撇

φ2也是满足同样的关系

那由这几个式子整理以后

得到谁呢

就是出射角φ2

随着折射率n的变化

就是它的导数

是等于右边的这式子

等于cosφ2分之一

乘上sinφ2再乘n

加上cosφ2再乘上n

再乘上tanφ1乘以n

就是说出射角φ2

随着折射率的变化跟谁有关呢

跟入射角φ1有关

跟出射角φ2有关

并且还跟棱镜的折射率n本身有关系

这个就求出来了

同样的呢二阶导

三阶导也都可以求出来

具体的计算就在这儿不详细地讲了

得到这个结论之后

跟dβ比上dn是一个什么关系呢

大家接着看一下右边这个图

其实β出来的这条线

如果按照出射角的值的话

β实际上就是

这条线就是出射角的这条线

就是出射光线

其实就是这条线

只不过角度呢

不是用β来标的

β和前面那个棱镜的

那个出射角之间的关系呢

实际上就差一个固定的角度

也就是说φ2和β的关系呢

是φ2是等于一个γ减β的

因此dβ比上dn呢

其实就等于负的

范二对于φ2对于n的导数

前面φ2对于n的导数

已经求出来了

那因此β对与n的一次导也求出来了

相应的二次导三次导也可以求出来

由这几个式子出来之后

就说

刚才前三项

一个是P对于β的求导

一个是β对与n的求导

一个是n对于λ的求导

都是可以算出来的了

因此把这几项代进去

就可以求出光程P对于λ的二阶导数

以及P对于λ的三阶导数

就把刚才求出来的这几步求出来的值

都代到最初的第一个方程中去

得到了什么呢

就是P对λ的二阶导数

看一下它结构主要分二项

第一项的是看一下这个大括号

大括号外头有一个2l

就是这个l代表

两个棱镜顶角之间的距离

那大括号里头分两项

第一项的是乘以sinβ项

第二项是cosβ项

这个是推导出来的公式

这个公式是在用的引用的

是在1987年fork等人推出来的

其实最早这个公式是出现在1984年

这就发表了这篇文章了

那在这个里头

实际上确定的时候得到的这个式子

看到跟谁有关呢

就是跟两个顶角间的距离l有关

跟折射率

以及折射率的对于波长的一次导

二次导以及三次导有关

还跟β值有关

里头有一个sinβ

有一个cosβ

但是实际上β值呢很难确定

所以为了近似计算

给了一个近似

就是说假设l乘上一个sinβ

就等于光束插入到棱镜中的那个量

一般来说就给它一个固定量就好

就大概是比方说三到五个毫米

并且呢

因为β值比较小

因此假设cosβ等于1

就可以把色散就可以求出来了

另外还有一种近似的方法

近似的方法就是刚才说过了

这个里头除了l

就是顶角之间的距离l

是可以测出来之外呢

另外呢

光束切入到棱镜中的这个量

假定它是三到五个毫米

但是其实第二个棱镜有时候

是往里推得

它这个位置是不完全一样的

因此把这个公式给它进一步的简化

就是近似一下

近似成什么

里头有两个自变量

一个是两个顶角之间的距离l

还有一个呢

光束切入到第二个顶角内的

这个量用x来表示

这样子就可以把l乘cosβ

和l乘sinβ分别写成这两个式子

其中就是两个未知量

一个是l

一个是x

还有一个呢

就是跟α和ε有关

大家记得α是棱镜的顶角

又说在激光器中

为了减小损耗

这个一般用的是布儒斯特棱镜

因此α角是可以知道的

ε是对应的是

入射光线和出射光线的偏转角

一般的来说

用的是最小偏向角

最小偏向角

然后这样子有这两个条件

就可以把上面的l乘cosβ

和l乘sinβ

就给它进一步简化

布儒斯特角的概念

大家知道就是

入射角tanα

是等于n的

ε也可以求出来

代进去之后

就可以把二阶色散和三阶色散

给它表示成两个独立变量

l和x的函数

也就是相位

对于频率的二阶导

就等于D2L乘以L

再加上D2x乘以x

其中D2L和D2x等于多少呢

就是右边的这一列

D2L是跟λ有关

跟n随着λ的一次导的平方项有关

D2x呢

除了跟λ有关以外

还跟n随着λ二次导数有关

但是如果知道了中心波长

知道了材料的话

这两个系数就可以求出来了

它们两个如果当做一个系数

因此这个时候棱镜对儿提供的二阶色散

就跟棱镜对之间的间距l

以及第二个棱镜切入到光路系统中的

插入量x有关

同样的呢

三阶色散也是

用D3L乘以L加上D3x

乘以x来表示

并且D3L和D3x也是后面的

这个式子也是可以求出来的

当作一个系数

这样就可以把

这个系统的三阶色散也可以求出来

这个里头呢

有一个大小的值的问题

可以看一下

在D2L看一下右边这个式子

D2L因为它等于负的二倍的λ的三次方

除以πc方乘上一个n

随λ的一阶导数的平方项

因此这个系数永远都是负的

因此在二阶色散中

棱镜对之间的间距

L提供的色散这一部分总是负的

但是第二部分

D2x乘以x的就不一定了

就是对于可见光和近红外光来说

它是正的

但是再往远处就有可能是负的了

那因此提供的总的二阶色散量

就会有一个变化过程

三阶色散也是一样的

给出来一个表

这个表中呢

给出来不同的材料

它的材料色散

这个里头列了几种

第一个是Fusedsilica是熔融石英

第二个是BK7

第三个是SF18

第四个是KDP

第五是Calcite是方解石

下面这个是Sapphire是钛宝石

然后在下面

这个是钛宝石以布儒斯特角入射

在下面这个是空气

先看到这儿

这个是材料的色散

这个材料如果取

长度为一个厘米的话

可以求出它的GVD

二阶色散

TOD三节色散

以及FOD四阶色散

现在先不关心四阶色散

看一下二阶色散

就是材料的二阶色散呢

在这个位置处

基本上是都是等于一个正值

求的是800个纳米处

波长是800个纳米处

GVD基本上都是正的

TOD也都是正的

然后再看一下棱镜对儿

按照刚才的那个公式

给出棱镜对儿的

GVD和TOD来

可以看到这个棱镜对

如果用材料的用的是sf18

对应的在800纳米处的波长呢

它每个厘米提供的色散

是负的45.567

它的TOD是负的181

记得这个是根据棱镜对

间距不一样

其实这个值是略有不同的

这里头有一个调制

看到GVD呢

就是在这儿算出来它是一个负值

因此就可以补偿前面

比方说这个系统中有一个钛宝石

钛宝石就会引入一个正色散

这个时候在系统中再加一个棱镜对

棱镜对就会引入一个负色散

负色散就会补偿钛宝石

引入的正色散了

就可以产生色散补偿

这个就是它的色散补偿原理

TOD呢是三阶色散

说过了

如果脉宽比较窄的时候

就要考虑三阶色散

三阶色散在这儿算的

这个位置处呢

三阶色散也是负的

就是它也可以补偿

这个材料带来的三阶色散

但是这个大家记着

如果还有以钛宝石为例

钛宝石的这个一个厘米的

色散呢

如果是581个飞秒方

那如果棱镜对

提供的是45

如果乘这个这是一个厘米的

如果乘以大概十厘米

就差不多变成了450个飞秒方了

那这个呢

就大概可以补偿那个二阶色散

但这个时候三阶色散

就会远远的过度补偿了

材料带来的三阶色散

因此就会产生三阶色散

这个是它的一个问题

这个棱镜对儿的一个问题

不管怎么说

反正棱镜对是可以提供负色散的

因此可以补偿系统的二阶色散

这个也算出来了

这个要用怎么用也知道了

下面看一下前面提到的

说这个棱镜对的结构有一个问题

就是它有一个空间色散的问题

脉冲如果从左边进来

经过棱镜对以后在空间就会散开

这个怎么办呢

可以在里头加一个反射镜

让光再沿着原路再返回去

这个时候输出光

就仍然在空间光被压窄了

并且能够提供负色散

这个是一种办法

还有一种办法就是也可以用四个棱镜

用两对儿棱镜

两个棱镜对呢

入射的光也可以被压缩

并且空间光空间色散问题也可以解决

总结一下呢就是

棱镜对可以提供

就是负的二阶色散

那二阶色散的量跟谁有关呢

跟顶角之间的距离有关

并且也跟第二个棱镜的插入量有关

提供的色散

跟距离l是一个线性关系

但不是一个正比关系

这个有点糊涂

就是这个提供的色散

是等于相当于是a加上一个bl

前面有一个a

它跟l是一个线性关系

但是它前面还有一个偏移量

跟这a有关系

具体的大家可以下去自己算一下

这个就是棱镜对这部分的工作