当前课程知识点：机械工程控制基础 > 第四章 系统的瞬态响应与误差分析 > 4-3 二阶系统的时间响应 > 第四章 第三节 二阶系统的时间响应
各位同学，大家好
今天我们给大家介绍
第四章第三节的内容
二阶系统的时间响应
首先
大家了解一下
什么是二阶系统的数学模型
我们说
凡是以二阶微分方程
作为运动方程的控制系统
我们就称之为二阶系统
图所示
是一个
质量阻尼弹簧所构成的机械系统
在第三章
我们已建立了它的数学模型
其微分方程如公式一所示
我们对公式一进行相应的
拉式变换
就可以获得公式二所示的
拉氏变换的
结果
得到
质量弹簧阻尼所构成的
系统的传递函数
那么他有
ms的平方
加bx+k
分之一
我们通过公式二所表现的形式
我们就说
他是
二阶系统的数学模型
所以
二阶系统的数学模型的典型输入形式
就是
公式三
所示
我们将公式三中
所显示的欧米伽n
称为
无阻尼自然频率
称为
阻尼比
那么，对应公式三
二阶系统的
标准形式
我们就可以获得
所对应的
二阶系统的方块图
如图二所示
那么，在公式三中
它的分母
我们把它称为
系统的特征方程
对该特征方程
求根
我们就可以得到
公示五所显示的
特征根的情况
其中
基于公式五中
阻尼比的不同的取值
我们二阶系统
他也有
各种不同的
情况
我们分别来进行研究
当阻尼比
大于零小于一时
二阶系统
我们就把它称为
欠阻尼的二阶系统
在这样的取值范围
其他就可以得到
一对
共轭
复数极点
所体现的
结果
如公式六所示
就称为
由阻尼
自然频率
第二种情况
当阻尼比等于一时
我们将
这样的二阶系统
称为
临界阻尼的二阶系统
由于
阻尼比等于一
我们带入
根的公式当中，我们就可以得到
此时，特征方程的根
是具有两个相等的负实数极点
也就是说
此时的sS1S2
等于
负的欧米伽N
第三种情况
当阻尼比大于一时
我们称
此时的二阶系统
为过阻尼的二阶系统
其特征方程的根
是两个不相等的负实根
也就是说
就有两个
不相等的负实数极点
第四种情况
当阻尼比为零时
二阶系统称为零阻尼的二阶系统
其特征方程的根
是两个不相等的共轭
叙述极点
是有两个不相等的
共轭虚数极点
当
阻尼比小于零食
二阶系统称为
负阻尼的二阶系统
其特征方程的根
实部都大于零
在复平面的右半平面上
其输出响应发散
系统不稳定
通过上面的分析
我们就会发现
在后续的二阶系统的响应
分析中，我们都将针对阻尼比的不同的情况
开展研究
下面我们给大家介绍
二阶系统的单位阶跃响应
当
系统的输入信号
为
单位阶跃输入信号的时候
那么，该信号作用在二阶系统上
它所对应的响应，输出的结果
是什么呢
当输入信号rt 为1t的时候
那么所对应的复数域的表达式为1/s
将输入信号
作用在二阶系统上
我们就可以得到
如公式七所显示的
单位阶跃响应输出的结果，CS
我们对该表达式
进行相应的拉斯反变换
就可以得到
其
时域的表达式
CT的结果
当阻尼比
为
大于零小于一，也就是说欠阻尼的情况时
我们就可以得到
公式八所显示的
单位阶跃响应输出的结果
那么
从
图中我们就可以看到
在欠阻尼的情况下
其单位节约响应输出的结果
他呈现的就是一个
与
有超调的
这样的一个响应，输出的结果
最终
随着时间趋近于无穷大
去近于零
从图中
我们还可以看
阻尼比越小
震荡就越厉害
阻尼比越接近于一
它的震荡
越小
那么
欠阻尼二阶系统的阶跃响应有些什么特点呢？
从图中可以看出
第一，无稳态误差
第二
含有衰减的
复指数震荡象
其震荡衰减的
快慢
是由阻尼比和无阻尼固有频率来决定的
所以
其震荡的副职
随着阻尼比的减少
而加大
此时的
二阶系统的阶跃响应是什么结果呢？
当阻尼比为零时，我们就可以获得
公式十所显示的CS的表达式
我们对它进行
拉式反变换之后
就可以得到
公式11所显示的
响应输出的结果
通过公式11，我们就可以看到
零阻尼的阶跃响应
他是一个
无阻尼的等幅振荡
它所对应的响应输出CT
响应输出的结果
如图三所示
当阻尼比等于一的时候
此时是临界阻尼的二阶系统
所对应的特征方程的根
为
相等的负实数极点
所对应的
浮数响应输出的结果，CS
我们对该公式进行相应的拉斯反变换
就可以得到
其
时域的表达结果
如公式所示
那么
临界阻尼的二阶系统
是一个稳定的系统
他响应输出的特点就是
单调上升无震荡，无稳态误差
当阻尼比
大于一时，为过阻尼的情况
过阻尼的二阶系统
其响应输出的结果
如公式12所示
对其进行拉氏反变换之后
就可以得到
公式13所显示的
时域表达式
对应该食欲表达的结果可以看到
它是由稳态分量和
瞬态分量两部分来构成
如图五所示
其响应输出的结果
单调上升
无震荡
过渡过程时间比较长
没有稳态误差
那么，通过上面的分析
我们可以得到以下
几个结论？
这四种情况
分别为
零阻尼
欠阻尼
临界阻尼和过阻尼的二阶系统
其阻尼系数
特征方程的根
如下表所示
对应于不同的阻尼情况
其特征根
极点的位置
以及单位节约响应输出的结果
也各自不同
下面我们深入的来分析一下
二阶系统阻尼比的
取值情况
来决定
二阶系统的震荡特性
阻尼比小于零时
阶跃响应发散
系统不稳定
阻尼比等于零时
等幅振荡
如图中
红色所显示的情况
等幅震荡
当属尼比大于零小于一时
系统有震荡
阻尼比越小
震荡就越厉害
但是响应
快速
我们可以看到阻尼比从零点一
到零点八
在图中的
显示情况
当阻尼比
大于等于一时
系统
没有超调
单调上升
只是过渡过程
比较慢
过渡过程比较长
所以呢？
在阻尼比一定的情况下
瞬态响应分量
衰减就越迅速
系统就能够更快地达到稳态值
响应的快速性能
就越好
所以，在工程实际中
处理一些不允许产生的振荡的应用
比如说
指示
和记录仪表系统等等
通常采用
欠阻尼的二阶系统
其阻尼取值范围为
0.4到0.8
以保证系统的快速性
同时又不至于产生
过大的震荡
下面
我们再来看
当输入信号为单位脉冲信号的时候
二阶系统的单位脉冲响应
所对应的rs为一
作用在二阶系统上
我们可以获得公式14
所显示的响应，输出的结果
CS
我们对该表达式
进行相应的拉斯反变换
就可以得到
对应的
脉冲响应输出的结果
从图中我们可以看到
欠阻尼的二阶系统
零阻尼的二阶系统
临界阻尼的二阶系统和过阻尼的二阶系统
在脉冲响应
输入函数作用下
所产生的脉冲响应
如图
所示
当输入信号为单位脉冲函数的时候
所对应的
输入结果
就是
如公式
17，18
19
20
所显示的结果
那么
下面我们对二阶系统的阻尼
决定二阶系统振荡性能
来进行一个总结
根据上述的分析
我们可以得到如下的结论
二阶系统的阻尼比
决定了
其
震荡特性
阻尼比小于零时
阶跃的响应发散
系统不稳定
阻尼比等于零时
出现等幅振荡
阻尼比大于零小于一时
有震荡
阻尼比越小
震荡就越严重
但响应速度就越快
当属尼比大于等于一时
系统无震荡
无超调
过渡过程
时间比较长
快速响应性能不好
这就是二阶系统在
单位阶跃输入信号作用下的
响应
特点
当二阶系统
单位脉冲信号
单位斜坡信号输入作用下
我们也将会从
不同的阻尼比的取值
来确定其
响应性能
在这里呢？
我们就不详细的给大家介绍
今天的讲解到这里就结束了
谢谢大家
-1-1 机械工程 控制论的基本含义
-1-2 机械工程系统中的信息传递，反馈以及反馈控制的概念
-1-3 机械控制的应用实例
-第一章 作业
-2-1 复数和复变函数/2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义
--2.1复数和复变函数的定义/2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
--拉式变换和拉式反变换的定义
-2-3 典型时间函数的拉式变换
-- 作业-2.3 典型信号的拉式变换
-2-4 拉氏变换的性质（上）
--作业 2.3拉氏变换的的性质
-2-4 拉氏变换的性质（下）
--作业-24 拉氏变换的性质（下）
-2-5 拉氏反变换的数学方法
--作业-2.5拉氏反变换的数学方法
-2-6 用拉氏变换解常微分方程
--作业-2.5 用拉氏变换解常微分方程
-第一节 概述和系统微分方程的建立
--课后作业
-第二节 系统的传递函数
--课后作业
-第三节 典型环节传递函数
--课后作业
-第四节 系统的传递函数方框图及其简化和反馈控制系统的传递函数
--第五节 系统的传递函数方框图及其简化和反馈控制系统的传递函数
--课后作业
-第五节 信号流图及梅逊公式
--课后作业
-第六节 梅逊公式
--第六节 梅逊公式
--课后作业
-4-1 时间响应
--4-1作业
-4-2 一阶系统得 时间响应
--4-2作业
-4-3 二阶系统的时间响应
--4-3作业
-4-4 高阶系统的动态分析
--4-4作业
-4-5 瞬态响应的性能指标
--4-5作业
-4-6 系统误差分析
--4-6作业
-4-5-1 改善系统性能的措施
-5.1 频率特性的基本概念
--5.1.2 频率特性的基本概念作业
-5.2 频率特性的对数坐标图
--5.2.3 频率特性的对数坐标图作业
--5.2.4 频率特性的对数坐标图作业（2）
-5.3 频率特性的极坐标图
--5.3.3 频率特性的极坐标图作业（1）
--5.3.4 频率特性的极坐标图作业（2）
-5.4 闭环频率特性与频域性能指标
--5.6.2 闭环频率特性与频域性能指标作业
-第五章 主观题
-6.1 稳定性的概念及稳定性的充要条件
--6.1 稳定性的概念及稳定性的充要条件
-6.2 劳斯稳定判据
--6.2.2 劳斯稳定判据作业
-6.3 映射定理
-6.4 Nyquist稳定判据
--6.4.2 Nyquist稳定判据作业
-第六章 主观题
-实验一 典型环节及其阶跃响应
-实验二 二阶系统阶跃响应
-实验三 控制系统的稳定性分析
-实验四 系统频率特性测量
