6.4.1 Nyquist稳定判据在线视频

各位同学，大家好

前面我们了解了奈氏稳定判据的相关数据

及映射定理

接下来我们来学习，奈式稳定判据

首先，我们需要建立系统的辅助函数

 
 

已知一系统的结构框图如图所示

根据框图可知，系统的开环传递函数为gx

hs

进而得到系统的闭环传递函数

利用闭环传递函数构建系统的辅助函数

并可将fs写为如下形式

通过观察我们可知

辅助函数fs

极点

即为系统开环传递函数的

极点

辅助函数fs

的零点

极为系统闭环传递函数的

极点

通过之前的学习，我们知道

判断一个系统是否稳定，即是看该系统的

闭环极点

是否都在

s平面的

左半平面

在通过以上分析可知

构建辅助方程fs

以后

判断系统稳定的充要条件可以

判定系统的闭环极点是否落在

S，平面的左半平面

转换为

判断辅助方程fs

得零点是否全部落在

s平面的

左半平面

判定

S，平面的右半平面是否包含辅助方程fs

零点

为此

我们要把s平面上的Γs曲线扩大成为

包括虚轴在内的

右半平面

半径为无穷大的半圆，如图所示

这条曲线具体包括s平面的虚轴

即

ω

从负无穷大变化到正无穷大

以及

S的右半平面上

以圆点为圆心

半径为无穷大的半圆弧

这一封闭

无穷大半圆称为奈式轨迹

接下来我们就可以

引出基于辅助函数fs

的奈氏稳定判据

根据系统的开环传递函数

Gshs的极点分布

可以确定，s平面上的奈式轨迹

Γ

包围辅助函数fs的

零极点级

现在

若令s平面上的Γs曲线

延虚轴

从负无穷大到正无穷大变化时

然后再沿无穷大半圆

从正阶无穷

顺时针围绕至父阶无穷时

此时

根据ΓS

在fs

平面上映射的闭合曲线，ΓF

可以确定其围绕原点

旋转的圈数为n

N，等于逆时针旋转的圈数

减去顺时针旋转的

圈数

逆时针旋转的圈数

正值

顺时针旋转的圈数

负值

由于ΓS曲线，把s右半平面全部包括在内

所以特征方程所有在

右半平面的

零极点

也都

必然包括在

曲线内

因此

我们可以推算出特征方程

所有的

右半平面上的零点数

 
 

Z等于P减N

如果曲线绕原点逆时针的圈数n等于

p

则Z=0

系统稳定

否则系统不稳定

刚刚我们

学习的是基于辅助函数的奈氏稳定判据

接下来

我们将

基于辅助函数fs

的奈氏稳定判据

变换到基于开环传递函数gs

HS

奈式稳定判据

开环传递函数

 
 

辅助函数之间的关系为

也就是说，fs平面的纵轴

向右平移一个单位后，即可得到

平面为Gh的

平面

那么

Fs，平面的坐标原点即为

Gh，平面上的

负一

j零点

因此

在fs平面上

曲线

Γf

逆时针绕

Fs，平面原点的圈数

就等效于

Gh，平面上曲线

Γ

Gh

逆时针绕

Gh，平面上

负一j0点的圈数

这样我们就可以利用系统的开环传递函数

Gshs来判别系统的稳定性

若辅助函数fs的解析点

s

沿奈式曲线顺时针旋转一圈

他在gh平面上的映射曲线ΓGh

按逆时针方向包围

负一，j零点

N圈

且满足Z等于

p减n等于零时

系统是稳定的

否则系统

不稳定

接下来我们还要将基于开环传递函

Gshs的耐氏稳定判据

转换到基于开环频率特性

我们知道

利用jω代替传递函数当中的s

即可得到系统的开环频率特性

我们根据开环传递函数的特征根

S在平面上的

分部来做具体的讨论

第一种情况

是当开环传递函数gs

Hs

在s平面的虚轴

包含原点

上没有极点

此时

奈式轨迹可以包括三个部分

第一个部分

ω

从零变化到正无穷大时

S沿正虚轴变化

第二个部分

ω

从负无穷大变化到零时

S沿

负虚轴变化

第三个部分

S沿

以圆点为圆心

半径为无穷大的右半圆弧上变化

即对应于ω从正无穷大到

负无穷大的一个

顺时针环绕的曲线

如图所示

那么接下来我们将分段进行分析

在第一段

即当ω从零变化到正无穷大时

s平面上沿正虚轴变化时

得到如下

所示的式子

这个式子正是系统的开环频率特性表达式

也就是说，奈式轨迹的第一段

即s平面的正虚轴

在开环频率特性

Gh

平面上的映射

就是

ω从零变化到正无穷大的开环

图形特性曲线

接下来看第二段

当ω从负无穷大到零变化的时候

也即s在s平面上沿负虚轴变化时

通过同样的分析，我们可以得到

奈式轨迹的第二段

s平面上的负虚轴在开环频率特性

Gh，平面上的映射就是

ω

从负无穷大

变化到

零时的开环

图像特性曲线

且上述两段曲线在gh平面上的映射

是对称于实轴的

接下来我们看第三段

分析第三段时需要将

带入到

系统的开环传递函数当中

那么得到如下的表达式

从表达是当中我们可以看到

当n=m时

Γs的曲线的第三部分

在gh平面上的映射就是一个

常数k

N大于m时

Γs曲线的第三部分

有了这三段的映射，我们就得到了

S，平面上闭合曲线

Γs

在gh平面上的完整的映射曲线ΓGh

将此曲线称之为奈奎斯特曲线

简称奈式曲线

接下来我们来讨论第二种情况

开环传递函数GsHs

在s平面上的虚轴上

包含原点

存在极点时

也即一型及一型以上的系统

那么

此时，开环传递函数

下式所式

此时

所作的s平面上的曲线Γs

需要避开

Gshs

所有极点

本情况以原点为例来说明

那么在画

Γs曲线时

应该要

避开原点

那么如图所示

相应的曲线出现了第四段

而该曲线当中的其余三段

的情况

与第一种情况当中的

三段的描述是相似的

我们在

此只需要重点讨论第四段曲线即可

第四段曲线即为

即表明

曲线是

S沿

以原点为圆心

半径为无穷小的右半圆弧上

逆时针变化

也就是说

ω从零负

变化到零正

因此我们可知

如果虚轴上还有其它极点

则因采用同样的方法避开

如图所示

下面我们看一下第二种情况下

奈式轨迹Γs

在gh平面上的映射

由以上分析可知

第二种情况的Γs曲线的

前三段

与第一种情况相同

因此，这三段的映射

也应与第一种情况

映射相同

因此

此时，我们主要来看第四段的映射

代入系统的开环传递

得到了如下的表达式

从如下的表达式当中，我们可以看到

其在gh平面上的映射

就是顺时针旋转的

无穷大圆弧

如图所示

旋转的幅度为

其中

下面这个图就是v=1时

也就是一型系统的奈氏曲线

其中

实线部分为奈式轨迹

第二三段在gh平面上的映射

也就是系统的开环幅相曲线

虚线部分是以原点为圆心

顺时针旋转

兀幅度的一个

无穷大圆弧

也即是该一型系统的第四段无穷小半圆弧

在gh平面上的映射

同样，我们再来看第二个图

这个图是v=2

也就是二型系统的奈式曲线

其中

实线部分同样为系统的开环幅相曲线

虚线部分

以圆点为圆心

顺时针旋转二兀幅度的

无穷大圆弧

是该二型系统的第四段无穷小半圆弧

Gh，平面上的

映射

因此

通过以上的学习和分析

我们就得到了基于开环频率特性

如果gh平面上的开环频率特性

当ω从负无穷大变化到正无穷大时

按逆时针方向包围

负一j零点

N圈

若满足

z等于p

减去n

等于零

则系统是稳定的

否则系统

不稳定

基于

之前我们的讲述

我们接下来对奈式稳定判据，做一个总结

即在

采用奈氏稳定判据判断系统的稳定性

之前

我们需要先绘制出系统的奈式曲线

也即幅相曲线

然后再用奈氏判据判断系统的稳定性

具体判别方法如下

用奈式判断

判断系统的稳定性时

一个系统稳定的充要条件是

z

等于p减去n

等于零

其中

Z代表的是

闭环特征方程在s右半平面的零点处

p

代表的是

开环传递函数在s右半平面的

极点数

N，代表的是

开环奈式曲线

绕负一j零点

逆时针旋转的

圈数

当无开环极点在s的右半平面时

系统稳定的充要条件是开环奈式曲线

不包围

负一

j零点

需要注意的是

如果奈式曲线恰好经过Gh

平面上的

负一

j零点

注意

不是包围

而是恰好经过了这个点

那么此时

若系统没有位于s右半平面的开环极点时

则系统处于

临界稳定

最后我们对本次课程做一个总结

大家需要掌握的知识点就是

学会采用奈氏稳定判据判断系统的稳定性

好，今天的课程到此就结束了

谢谢大家