当前课程知识点：机械工程控制基础 > 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 > 2-4 拉氏变换的性质（上） > 2.4 拉式变换性质（上）
第四节
拉斯变换的性质
在这一节
我们来探讨一下拉斯变换的性质
从拉斯变换的定义出发
我们可以得出许多有趣的结论
第一个就是线性性质
所谓线性
即要满足齐次性和叠加性假设
F1(t)和F1(s)是拉斯变换对F2(t)和F2(s)
是一个拉斯变换对K1K2是常数则K1乘上F1(t)
加上K2乘上F2(t)对整个函数求拉氏变换
其结果是K1乘上F1(s)
加上K2乘F2(s)如公式一所示
即在时域上两个函数的线性叠加
再求拉斯变换可以分别求出这两个函数的象函数
再在s域进行线性叠加
我们可以用余弦信号
cost的拉斯变换来说明
由于cost可以写成2j分之一的jt
加上1的负jt
即有两个指数函数的线性叠加而成
因此对余弦信号cost求
拉斯变换可以分别对这两个指数函数
求拉斯变换之后再线性叠加利用指数函数的
拉氏变换可以得出结论
二、时域平移性质
时域平移性质又称之为位移定理或延时定理
对任意一个非负实数A
如果已知f(t)和f(s)是一个拉斯变换队
则f的t减a
a拉斯变换等于e的负as乘上f(s)
时移性质表明
已知函数的拉氏变换则函数在时域右移则
其象函数在复数域乘上一个因子e的负as
而不需要带进拉斯变换公式
求积分来获得
他的证明过程
把f(t-a)带进拉普拉斯变换公式做一个变量
代换令X等于t-a则dx等于dt代入积分公式
积分变为对X积分e的
负sa与X无关
可以提到积分号外面剩下的即时对f(t)的积分大f(s)
因此F的t-a的拉普拉斯变换就等于e的负as乘上F(s)
在这里
我们要注意时移性质
我们最好写成公式
三公式四的形式
因为因果信号可以直接用阶跃信号表示写成FT乘上ut
所谓时域平移指的是整个信号平移a
平移后的信号是F的t-a
乘上u的t-a而非F的t-a
我们以FT等于sint求F的t减
二分之Π为例来说明
如果用位移定理写出他的完整写法
那么sint减二分之Π乘上u的t减二分之Π
用分段函数表示式是当T大于等于二分之Π的时候
为负的cost当T小于二分之Π的时为零
说明移位之后的信号的时间是从T等于二分之Π开始
对该信号求拉斯变换利用时移性质
可以获得其结果是e的负的二分之Π
s乘上s平方加一分之一
但是如果我们没有连根拔除
也就是用阶跃信号表示
那么F的t-2Π即sin的t减二分之Π
利用三角函数公式
我们知道他等于负cost
此时T的取值取值是从零开始的
对负的cost
拉斯变换
根据前面的结论
我们可以知道他是等于负的
s平方加s一分之s
这个做法是错误的
因此
在使用时移性质的时候
一定要注意连根拔除
第三周期函数的拉氏变换
公式五说明求任意一个周期信号的拉斯变换
可以先求一个周期类的拉斯变换
及一个时域有限长信号的拉氏变换之后
在乘上一个周期化因子e减去e的负st分之一即可
证明的方法是
根据积分的性质
可以先把积分的区间分割成两段零到T
和T到正无穷
在做一个变量代换令X等于t-T
则dt等于dx经过整理
把第二项e的负stft的拉斯变换挪到等式的左边
经过整理即可得到公式五
我们以全波整流后的正弦信号FT等于
sint的绝对值求其相函数为例
全波整流之后
他是一个周期为二分之T的周期信号
在一个周期内用阶跃信号来表示
可以写成sin的t分之二Π除t
一个周期内的信号用阶跃信号来表示
可以写成sinT分之二Π乘上u(t)减去u的t减二分之t
求其拉斯变换利用前面的线性性质
时移性质以及正弦信号的拉普拉斯变换
可以很快求出这个时域有限信号的拉普拉斯
变换为S平方加平方分之乘上1加上e的负s二分之T
再利用周期性质乘上周期化因子即可求出
该全波整流信号的拉斯变换
四
复数域的位移定理
假设f(t)和f(s)是一个拉斯变换对
如果对复数函数在S域进行一个移位处理
得到F的s-a
那么a是一个复数
移位之后对时域信号发生了什么呢
我们可以直接对函数e的负fatft求
拉普拉斯变换来证明
其拉普拉斯变换即为F的s-a
从这条性质
我们可以看到复数域又以a
对应时域乘上一个因子
e的负at
同理
我们也可以证明当s域函数左移为
F的S加A的时候对应的时域函数e的负atft
五、相似定理
相似定理也叫尺度变换性质
假设f(t)和f(s)是一个拉斯变换队
对于任意常数
A
公示期说明
如果当A大于零小于一的时候是对时域信号
进行扩展处理对应于s域函数是S
除A则在S域是压缩处理
反之
当A大于一的时候
时域是进行压缩处理则S域函数式进行扩展处理
这个性质说明时域和S域有某种相似性
因此我们也把它叫做相似定理
证明的过程我们可以直接对函数FAT求
拉普拉斯变换再用变量代换即可得到
本次课程的内容就到这里
谢谢大家
-1-1 机械工程 控制论的基本含义
-1-2 机械工程系统中的信息传递，反馈以及反馈控制的概念
-1-3 机械控制的应用实例
-第一章 作业
-2-1 复数和复变函数/2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义
--2.1复数和复变函数的定义/2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
--拉式变换和拉式反变换的定义
-2-3 典型时间函数的拉式变换
-- 作业-2.3 典型信号的拉式变换
-2-4 拉氏变换的性质（上）
--作业 2.3拉氏变换的的性质
-2-4 拉氏变换的性质（下）
--作业-24 拉氏变换的性质（下）
-2-5 拉氏反变换的数学方法
--作业-2.5拉氏反变换的数学方法
-2-6 用拉氏变换解常微分方程
--作业-2.5 用拉氏变换解常微分方程
-第一节 概述和系统微分方程的建立
--课后作业
-第二节 系统的传递函数
--课后作业
-第三节 典型环节传递函数
--课后作业
-第四节 系统的传递函数方框图及其简化和反馈控制系统的传递函数
--第五节 系统的传递函数方框图及其简化和反馈控制系统的传递函数
--课后作业
-第五节 信号流图及梅逊公式
--课后作业
-第六节 梅逊公式
--第六节 梅逊公式
--课后作业
-4-1 时间响应
--4-1作业
-4-2 一阶系统得 时间响应
--4-2作业
-4-3 二阶系统的时间响应
--4-3作业
-4-4 高阶系统的动态分析
--4-4作业
-4-5 瞬态响应的性能指标
--4-5作业
-4-6 系统误差分析
--4-6作业
-4-5-1 改善系统性能的措施
-5.1 频率特性的基本概念
--5.1.2 频率特性的基本概念作业
-5.2 频率特性的对数坐标图
--5.2.3 频率特性的对数坐标图作业
--5.2.4 频率特性的对数坐标图作业（2）
-5.3 频率特性的极坐标图
--5.3.3 频率特性的极坐标图作业（1）
--5.3.4 频率特性的极坐标图作业（2）
-5.4 闭环频率特性与频域性能指标
--5.6.2 闭环频率特性与频域性能指标作业
-第五章 主观题
-6.1 稳定性的概念及稳定性的充要条件
--6.1 稳定性的概念及稳定性的充要条件
-6.2 劳斯稳定判据
--6.2.2 劳斯稳定判据作业
-6.3 映射定理
-6.4 Nyquist稳定判据
--6.4.2 Nyquist稳定判据作业
-第六章 主观题
-实验一 典型环节及其阶跃响应
-实验二 二阶系统阶跃响应
-实验三 控制系统的稳定性分析
-实验四 系统频率特性测量
