当前课程知识点:机械工程控制基础 > 第六章 系统的稳定性 > 6.3 映射定理 > 6.3.1 映射定理
各位同学,大家好
在控制系统的时域分析法的学习当中
我们已经知道
闭环控制系统的稳定性是由
系统特征方程的根来确定
当所有的特征根都位于
s平面的左半平面时
系统是稳定的
否则系统不稳定
在上一次课程的讲解当中
我们已经学习了一种代数稳定判据方法
劳斯稳定判据
接下来我们要学习
判断系统稳定性的又一种重要方法
奈奎斯特稳定判据
简称奈式稳定盘
该判据是图解法
它依据的是系统的开环频率特性
由于系统的开环频率特性
可以用解析法或实验法获得
此利用奈式稳定判据
系统的稳定性
兼有简单和实用的优点
而且还有助于建立相对稳定性的概念
在学习,奈式稳定判断之前
我们需要先介绍一些相关
知识
首先,我们需要了解
S,平面与fs平面的映射关系
假设
复变函数
Fs为
单值函数
切除了s平面上的
有限奇点外
处处都为连续的正则函数
也就是说
fs
在s平面上
除奇点外
处处解析
那么
S平面上的每一个解析点
在fx平面上必有
一点
与之对应
我们来看一些如下的例题
已知
fs
等于
S,乘上S加1分之
S平方加s加上1
在s平面上,我们知道
fs
的奇点为
零和负一
如图所示
那么,我们在s平面上选择一个
除奇点以外的点
如选择1j1这样一个点
那么,把这个点的数值代入到Fs
方程当中
通过求解,我们就可以知道此时Fs的
值为
1点1减去零点
3j
那么我们可以说
在s平面上所取的
1j1
通过fs这个函数
那么,在fs平面上的映射即为
点
1点1
负03j
这就是s
Fs,平面的一个映射关系
那么
如果解析点s在s平面上沿
封闭曲线Γs
顺势针方向
连续变化一周
其中Γs
不经过fs
奇点
那么,复变函数fs在
Fs,平面上的映射
也是一条封闭曲线Γf
如图所示
其中
Γf的变化方向可以是顺时针的
也可以是逆时针的
这要依据复变函数的性质
来确定
了解了复变函数的映射以后
我们来学习
柯西幅角原理
已知复变函数fx如下式所示
设Fs
在s平面上
有限个奇点完
为单值的连续正则函数
若在s平面上任选一封闭曲线
Γs
并使该曲线Γs
不通过fs的
奇点
复变函数fx的
极点
在s平面上的封闭曲线Γs
映射到
Fs,平面上
也是一条封闭曲线
用Γf来表示
若曲线Γs
包含复变函数
Fx的Z零点
和p个极点
则当
S,按照顺时针方向
沿曲线Γs
变化一周时
则在fs平面ΓF
曲线按逆时针方向旋转
为n
每旋转360度为一圈
或者说,Γf按逆时针方向包围
Fs是平面原点的次数
就等于封闭曲线Γs
包含fs的零点数z
与极点数p之差
具有如下表达式
N等于p减z
那么接下来我们来讨论一下n的情况
若n大于零
则意味着
Γf
包围平面fsd的坐标原点
且按逆时针方向旋转n圈
若n小于零
则认为,Γf包围平面fs
的坐标原点
且按顺时针方向旋转n全
若
N=0
则Γf
不包围平面
Fs的
坐标原点
这就是映射定理的内容
好的,同学们
今天的课程到此就结束了
谢谢大家
-1-1 机械工程 控制论的基本含义
-1-2 机械工程系统中的信息传递,反馈以及反馈控制的概念
-1-3 机械控制的应用实例
-第一章 作业
-2-1 复数和复变函数/2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义
--2.1复数和复变函数的定义/2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
--拉式变换和拉式反变换的定义
-2-3 典型时间函数的拉式变换
-- 作业-2.3 典型信号的拉式变换
-2-4 拉氏变换的性质(上)
--作业 2.3拉氏变换的的性质
-2-4 拉氏变换的性质(下)
--作业-24 拉氏变换的性质(下)
-2-5 拉氏反变换的数学方法
--作业-2.5拉氏反变换的数学方法
-2-6 用拉氏变换解常微分方程
--作业-2.5 用拉氏变换解常微分方程
-第一节 概述和系统微分方程的建立
--课后作业
-第二节 系统的传递函数
--课后作业
-第三节 典型环节传递函数
--课后作业
-第四节 系统的传递函数方框图及其简化和反馈控制系统的传递函数
--第五节 系统的传递函数方框图及其简化和反馈控制系统的传递函数
--课后作业
-第五节 信号流图及梅逊公式
--课后作业
-第六节 梅逊公式
--第六节 梅逊公式
--课后作业
-4-1 时间响应
--4-1作业
-4-2 一阶系统得 时间响应
--4-2作业
-4-3 二阶系统的时间响应
--4-3作业
-4-4 高阶系统的动态分析
--4-4作业
-4-5 瞬态响应的性能指标
--4-5作业
-4-6 系统误差分析
--4-6作业
-4-5-1 改善系统性能的措施
-5.1 频率特性的基本概念
--5.1.2 频率特性的基本概念作业
-5.2 频率特性的对数坐标图
--5.2.3 频率特性的对数坐标图作业
--5.2.4 频率特性的对数坐标图作业(2)
-5.3 频率特性的极坐标图
--5.3.3 频率特性的极坐标图作业(1)
--5.3.4 频率特性的极坐标图作业(2)
-5.4 闭环频率特性与频域性能指标
--5.6.2 闭环频率特性与频域性能指标作业
-第五章 主观题
-6.1 稳定性的概念及稳定性的充要条件
--6.1 稳定性的概念及稳定性的充要条件
-6.2 劳斯稳定判据
--6.2.2 劳斯稳定判据作业
-6.3 映射定理
-6.4 Nyquist稳定判据
--6.4.2 Nyquist稳定判据作业
-第六章 主观题
-实验一 典型环节及其阶跃响应
-实验二 二阶系统阶跃响应
-实验三 控制系统的稳定性分析
-实验四 系统频率特性测量