当前课程知识点：机械工程控制基础 > 第六章 系统的稳定性 > 6.1 稳定性的概念及稳定性的充要条件 > 6.1.1 稳定性的概念及稳定性的充要条件
各位同学，大家好
今天我们来学习课程的第六章
系统的稳定性
稳定性是机械工程控制系统的重要性能
指标之一
我们在之前的章节当中
学习了系统的时域分析
频域分析
那么
本章开始研究系统的稳定性问题
在经典控制理论当中
对于判别一个定常系统是否稳定提供了多种
方法
在本章当中，我们先来学习线性定常系统
稳定性的概念
及判断系统稳定性的充要条件
然后学习劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据两种方法
稳定性是对控制系统提出的基本要求
也是保证系统正常工作的先决条件
控制系统在实际运行过程当中
总会受到外部或者内部的一些因素的影响
比如说
外界环境条件的改变
系统参数的变化
及负载的波动
多种情况
如果系统不稳定
那么，当它受到扰动作用的时候
就会使
被控量
偏离原来的平衡工作点
并且，随着时间的推移
发散
即使扰动消失了
也不可能恢复原来的平衡状态
因此
不稳定的系统是无法正常工作的
如何分析系统的稳定性
并提出保证系统稳定的措施
是控制理论的重要任务之一
那么
到底什么是稳定系统呢？
首先我们来看一个单摆的例子
在如图a所示的单摆系统当中
小球在没有外力的作用下处于
平衡位置a
在当
外界扰动力作用下单摆离开平衡
点A
会到达一个新的位置
A撇
外界扰动作用消失以后，小球将会在重力的作用下
有a撇
回到原来的平衡点
但由于惯性的作用
小球将会经过a
继续运动到a两撇
此后则围绕点A震荡
由于空气阻尼作用
小球震荡角度会越来越小
经过一段时间
单摆又回到了原来的平衡点，a
因此，对于平衡点，a来说
在外力的作用下
单摆小球虽然偏离了它的平衡位置
但是，当外力消失后
经过一段时间
小球还可以再回到该平衡点
因此，该系统为一个
稳定的系统
那么接下来我们再来看一下的是图b所示的系统
图b所示的系统是一个倒立摆
此时小球处于B点
系统仍然处于平衡状态
显然
一旦小球受到外力左右
小球会偏离B点
当外力消失后
无论经过多长时间
小球也不可能重新回到B点
因此，该倒立摆系统
为一个不稳定的
系统
经过上述两个系统的分析
我们可以将这种
稳定的概念推广于一般的控制系统
于是就得出了线性定常系统稳定性的概念
即
系统受到扰动作用的时候
偏离了原来的平衡状态
而当扰动消失后
系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态
则称该系统是稳定的
若扰动消失后不能恢复
原始的
平衡状态
而且偏差越来越大
则称系统是不稳定
若扰动消失后，系统的输出
与原始的平衡状态之间
存在恒定的偏差
或者输出特性，维持等幅震荡
则认为系统处于临界稳定状态
综上所述
稳定性就是指系统在扰动作用消失后
由初始偏差状态
恢复到原来平衡状态的性能
它是系统的固有属性
只取决于系统的结构
和参数
与外部输入无关
那么
在面对一个线性定常系统的时候
如何判定它的稳定性呢？
或者说，一个线性定常系统稳定的充要条件是什么？
已知gs为一个n阶
线性定常系统的传递函数
如下式所示
其中，n大于等于m
其特征方程如下
考虑如下所示的线性定常系统
求解其微分方程可得方程的解的形式如下
从解的形式，我们可以看出
解包含自由响应和强迫响应两个部分
其中
自由响应部分的系数aei和aei
这两个常系数是由系统的初始条件来决定
表达式当中的
Si
为系统的特征根
那么，通过对接的形式的分析，我们可以得到以下几点
结论
第一
当系统的所有的特征根si均具有负实部
计系统的所有的特征根均位于
S平面的左半平面时
如
若所有的特征跟均具有负实部
则随着时间T 趋近于无穷大
响应当中呢自由响应的指数项是
趋近于零的
系统是稳定的
如果特征根当中具有
负实部的共轭负数根
负
则系统会产生
震荡
并随着时间t趋近于无穷大
系统的震荡会逐渐减弱
并最终趋于稳定
第二种情况
如果有任意特征跟si具有正实部
位于s平面的右半平面
则随着时间t趋近于无穷大
自由响应的指数项是趋近于无穷大的
也就意味着系统的输出是发散的
此时系统不稳定
那么，系统发散会出现两种情况
如果根是
正实数
那么意味着根会产生一个单调发散的形式
如果更是一个具有正实部的共轭负数
那么，此时系统的发散是按震荡形式
发散的
第三种情况
位于
S平面的虚轴上
其余几点均位于s平面的左半平面
则系统的输出为等幅振荡
此时，系统处于临界稳定状态
对于大多数实际系统
处于临界稳定状态时
也是不能正常工作的
所以，临界稳定的系统在工程上属于不稳定系统
第四种情况
若有特征跟si=0
即位于s平面的原点
其余几点均位于s平面的左半平面
则系统输出是收敛的
即系统稳定
综合以上的分析
我们知道
线性定常系统是否稳定
完全取决于系统的特征根的分布
信息系统稳定的充要条件是
若系统的全部特征根
及闭环传递函数的全部极点
均具有
负实部
位于
s的左半平面
包含原点，但不包含虚轴时
系统是
稳定的
否则系统
不稳定
那么，这就是我们这一节课的知识点
我们对这个知识点做一个总结
那么，要求大家掌握的是稳定性的定义
及判断稳定性的重要条件
好，今天我们的课程就结束了
谢谢大家
-1-1 机械工程 控制论的基本含义
-1-2 机械工程系统中的信息传递，反馈以及反馈控制的概念
-1-3 机械控制的应用实例
-第一章 作业
-2-1 复数和复变函数/2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义
--2.1复数和复变函数的定义/2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
--拉式变换和拉式反变换的定义
-2-3 典型时间函数的拉式变换
-- 作业-2.3 典型信号的拉式变换
-2-4 拉氏变换的性质（上）
--作业 2.3拉氏变换的的性质
-2-4 拉氏变换的性质（下）
--作业-24 拉氏变换的性质（下）
-2-5 拉氏反变换的数学方法
--作业-2.5拉氏反变换的数学方法
-2-6 用拉氏变换解常微分方程
--作业-2.5 用拉氏变换解常微分方程
-第一节 概述和系统微分方程的建立
--课后作业
-第二节 系统的传递函数
--课后作业
-第三节 典型环节传递函数
--课后作业
-第四节 系统的传递函数方框图及其简化和反馈控制系统的传递函数
--第五节 系统的传递函数方框图及其简化和反馈控制系统的传递函数
--课后作业
-第五节 信号流图及梅逊公式
--课后作业
-第六节 梅逊公式
--第六节 梅逊公式
--课后作业
-4-1 时间响应
--4-1作业
-4-2 一阶系统得 时间响应
--4-2作业
-4-3 二阶系统的时间响应
--4-3作业
-4-4 高阶系统的动态分析
--4-4作业
-4-5 瞬态响应的性能指标
--4-5作业
-4-6 系统误差分析
--4-6作业
-4-5-1 改善系统性能的措施
-5.1 频率特性的基本概念
--5.1.2 频率特性的基本概念作业
-5.2 频率特性的对数坐标图
--5.2.3 频率特性的对数坐标图作业
--5.2.4 频率特性的对数坐标图作业（2）
-5.3 频率特性的极坐标图
--5.3.3 频率特性的极坐标图作业（1）
--5.3.4 频率特性的极坐标图作业（2）
-5.4 闭环频率特性与频域性能指标
--5.6.2 闭环频率特性与频域性能指标作业
-第五章 主观题
-6.1 稳定性的概念及稳定性的充要条件
--6.1 稳定性的概念及稳定性的充要条件
-6.2 劳斯稳定判据
--6.2.2 劳斯稳定判据作业
-6.3 映射定理
-6.4 Nyquist稳定判据
--6.4.2 Nyquist稳定判据作业
-第六章 主观题
-实验一 典型环节及其阶跃响应
-实验二 二阶系统阶跃响应
-实验三 控制系统的稳定性分析
-实验四 系统频率特性测量
