当前课程知识点：机械工程控制基础 > 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 > 2-4 拉氏变换的性质（下） > 2.4 拉式变换性质（下）
2点4拉式变换的性质
下
在上一次课中，我们已经学习了，拉式变换的
如下性质
线性性质
时移性质
S域的位移性质
周期化性质
以及尺度变换性质
接下来
我们来学习
微分性质
积分性质
卷积性质
初值终值定理
微分性质
微分性质也可以分为时域微分
和S域微分
时域微分性质
假设ft和fs是一个拉式变换对
则如公式八所示
在时域
对函数
ft求导
则其项函数为
它的证明过程是
Ft的一阶导
带进拉氏变换公式
微分算子dt
可以
消掉
积分
就变为
在零到正无穷上的积分
利用分部积分法
分成两项
前一项
在Fs收敛域之内
当t趋近于无穷的时候
它的值趋近于零
即为上线
当t趋近于零的时候即零加
他的下限值是f0加
第二项
因为s乘上f s
因此，公式八就得到了证明
一般的
如果对时域信号ft
在时域进行n阶微分
等效于
在s域
呈上s的N次方
并减去
n个初始值的一个线性叠加
从公式八，我们可以看出
时域的微分运算
在s域
是代数运算
因此
时域微分性质使我们
有可能
将ft的微分方程
转换成fs
代数方程
线性系统
有十分重要的作用
s域的微分性质
S域的微分性质
也叫像函数的导数
公式十
说明
在s域求导
对于时域
乘上一个t
在乘上一个
负一
因此，这个性质也可以叫做
t乘
FT的拉氏变换
一般的
如果在s域对象函数求n阶导
对于时域要乘上t的n次方
再乘上一个
负一的n次方
如公式11所示
证明过程略
第七
积分性质
类似于微分性质
积分性质也可以分为
时域积分性质
和s域积分性质
我们现在来看一下时域积分性质
如公式12所示
时域函数ft
在时域进行积分
为
FS
在零到
T上的积分
那么它的拉普拉斯变换是？
Ft的时域积分在
t趋近于零加时刻的值
注意
这里时域积分的时候上限是t
因此，积分的结果仍然是时间t的函数
我们才能对他求拉氏变换
公式13，我们还可以
写成公式十四
求和的形式
其中，f负nt表示从零到t 对Ft的n重积分
表示系统的初始状态
初始状态为零的时候
公式十四还可以简写成
S域的积分性质
Se的积分性质也叫
ft除t的拉普拉斯变换
如果ft
和
Fs是一个
拉普拉斯变换对
则对象函数在S域求积分
对应的时域函数除t，如公式十五所示
一般的
在时域就要除以t的N次方
如公式16所示
微积分性质小结
当初始条件为零的时候
微积分性质可以简化记忆为
对于s域除上s的N次方
八初值定理
初值定理和终值定理经常被一起提及
这两个定理
常用于由像函数fs
直接求f0加和f无穷
而不直接求出原函数Ft
初值定律
使用储值定理是有条件的
如果函数ft
即Ft的一阶导
都是可以求拉普拉斯变换
Ft的初值为如公式十七所示
可以
初值定理
可以由时域微分性质证明
终值定理
如果函数ft即ft的一阶导
都是可以拉普拉斯变换的
如果ft
在t趋近于 无穷的时候极限值存在
并且，s乘上fs的收敛域
包含s=0这一点时
其极限值，如公式18所示
可以通过
取极限s趋近于零
即可以获得
它的终值
卷积定理
卷积的定义
卷积也叫卷积积分
如果有两个函数f1和f2
他的
卷积
如公式19所示
从公式我们可以看
要完成两个信号的卷积
需要
完成四步
第一
换元
第二
反转平移
第三，乘积
积分
注意
整个计算的过程
t都是参变量
卷积的结果是时间t的函数
在这里我们要注意
卷积运算，我们用星号来表示
第二
积分的结果
是时间t的函数
第三
如果参与卷积的
两个信号都是因果的
则卷积的范围
被限定在零到
T之间
卷积揭示了线性时不变系统在时域的
传输特性
因此
从时域分析系统响应我们可以求卷积
然而，在时域求卷积
是非常困难的
但卷积本身有许多
有趣的性质
大家
参考
信号与系统课程
在这里我们就不做介绍了
第二卷积定理
如公式20所示
如果在时域
对两个信号f和G
求卷积
其结果对应的拉式变换
是在s域求乘积
因此，卷积定理我们可以简单记忆成
时域的卷积
对于s域的乘积
公司21
是反过来
是在象函数
做卷积，那么对于
的时域函数
要求乘积
这样通过拉式变换，我们就可以
一个域类的
卷积运算转换成另外一个域的
乘积运算
拉氏变换
性质小结
到目前为止，我们学习了拉式变换的
线性性质
时移性质
s域的
移位性质
周期化性质
尺度变换性质
时域微分性质
s域分性质
时域积分性质
s域积分性质
以及
初值定理
终值定理
和卷积
这些性质
在我们后面的课程里面
都有非常重要的作用，希望大家能够
仔细的
去理解并掌握
本次课程就到这里
谢谢大家
-1-1 机械工程 控制论的基本含义
-1-2 机械工程系统中的信息传递，反馈以及反馈控制的概念
-1-3 机械控制的应用实例
-第一章 作业
-2-1 复数和复变函数/2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义
--2.1复数和复变函数的定义/2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
--拉式变换和拉式反变换的定义
-2-3 典型时间函数的拉式变换
-- 作业-2.3 典型信号的拉式变换
-2-4 拉氏变换的性质（上）
--作业 2.3拉氏变换的的性质
-2-4 拉氏变换的性质（下）
--作业-24 拉氏变换的性质（下）
-2-5 拉氏反变换的数学方法
--作业-2.5拉氏反变换的数学方法
-2-6 用拉氏变换解常微分方程
--作业-2.5 用拉氏变换解常微分方程
-第一节 概述和系统微分方程的建立
--课后作业
-第二节 系统的传递函数
--课后作业
-第三节 典型环节传递函数
--课后作业
-第四节 系统的传递函数方框图及其简化和反馈控制系统的传递函数
--第五节 系统的传递函数方框图及其简化和反馈控制系统的传递函数
--课后作业
-第五节 信号流图及梅逊公式
--课后作业
-第六节 梅逊公式
--第六节 梅逊公式
--课后作业
-4-1 时间响应
--4-1作业
-4-2 一阶系统得 时间响应
--4-2作业
-4-3 二阶系统的时间响应
--4-3作业
-4-4 高阶系统的动态分析
--4-4作业
-4-5 瞬态响应的性能指标
--4-5作业
-4-6 系统误差分析
--4-6作业
-4-5-1 改善系统性能的措施
-5.1 频率特性的基本概念
--5.1.2 频率特性的基本概念作业
-5.2 频率特性的对数坐标图
--5.2.3 频率特性的对数坐标图作业
--5.2.4 频率特性的对数坐标图作业（2）
-5.3 频率特性的极坐标图
--5.3.3 频率特性的极坐标图作业（1）
--5.3.4 频率特性的极坐标图作业（2）
-5.4 闭环频率特性与频域性能指标
--5.6.2 闭环频率特性与频域性能指标作业
-第五章 主观题
-6.1 稳定性的概念及稳定性的充要条件
--6.1 稳定性的概念及稳定性的充要条件
-6.2 劳斯稳定判据
--6.2.2 劳斯稳定判据作业
-6.3 映射定理
-6.4 Nyquist稳定判据
--6.4.2 Nyquist稳定判据作业
-第六章 主观题
-实验一 典型环节及其阶跃响应
-实验二 二阶系统阶跃响应
-实验三 控制系统的稳定性分析
-实验四 系统频率特性测量
