2.1复数和复变函数的定义/2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义在线视频

大家好

从今天开始

我们来学习

本课程的第二章

拉普拉斯变换的数学方法

拉普拉斯变换

简称拉式变换

是一种

数学积分变换

它是联系函数

或者也叫信号

的时域和复频域的桥梁

在本门课程中

我们不会严格区分

函数

和信号的概念

拉普拉斯变换

有几个显著的优点

一

简化了函数

它可以把指数函数

具有的

不连续点转换成简单的

初等函数

二简化了计算

把微分

积分运算

转换成

乘法运算

把卷积运算

转化成乘法运算

三不需要给定常数

可以解微分方程

四有效利用阶跃响应

和冲激响应

五

利用系统函数的

零极点分布

可以直观表达

系统的性能的

许多规律

如稳定性

拉普拉斯变换

分析研究

连续线性时不变系统

也就是LTI系统

有利数学工具

通过拉氏变换

可以把时域的微分方程

转换成复频域的

代数方程

这样

由常系数线性微分方程

描述的线性时不变系统

在给定输入的前提下

求响应

就不必用高等数学上

学到的

微分方程的经典求解方法

而是转到复数域求

代数方程

这样

就达到了简化系统分析

便于解决问题的目的

本章内容

主要包括以下六个方面

学习完本章要求大家

一

理解并掌握拉氏正变换和

逆变换公式

二

掌握常见信号的拉氏变换对

三

理解并掌握拉式变换的新职工

四能够根据

常见信号的拉氏变换对

和拉式变换的性质

求拉氏逆变换和解微分方程

在进入拉式变换的学习之前

我们先来回顾一下

复数与

复变函数的

基础知识

一

复数的概念

负数可以认为

是由两个实数构造而成

如果我们以实部为横轴

虚部

为纵轴

就可以构造

复平面s

如

图一所示

复数的表示方法

复数有三种表示方法

叫点表示法

也叫直角坐标表示法

可以

用一对坐标

如图一所示

第二种叫向量表示法

S等于r角θ

图二所示

复平面上从原点出发

指向点s1的有向线段

可以唯一

确定点S1

这个有向线段被称之为

向量

r

是这个有向线段的长度

向量的模

θ是从实轴正半轴出发

与有向线段的夹角

称之为相位角

第三

叫复指数表示法

它的实质跟向量表示法类似

只是写法不一样

但它揭示了向量的周期性

利用三角函数公式

欧拉公式

这三种表示方法可以很快的进行互相转换

比如已知

直角坐标表示法

假设已知

极坐标表示法

或者

复指数表示法

那么它的实部

虚部

复变函数

极点

与零点的概念

所谓复变函数

就是自变量

复数的函数

类似于实变函数

可以是单直的，也可以是多值的

在线性控制系统

我们通常遇到的都是单值普遍函数

如普遍函数y=fz

z和f

是一一对应的关系

自变量z=x+jy

是一个复数

则f通常也是一个复数

并且可以分别求出

其实部u

和虚部v

这里

u

和v

分别是自变量为xy的二元时变函数

即

一个复变函数y=fz

就相当于一对二元实变函数

y=f(z)的性质取决于u、v的性质

极点 零点

通常来说

一个复变函数可以写成如式二所示

一样的真分式

并且

可以把分子分母因式分解

成多个一次项的乘积

令分子N(s)=0点z1、z2

称之为零点

此时G(s)= 0

令分母D(s)=0的点

称之为极点

此时G(s)

等于无穷

零极点的知识我们在后面还会用到

第二节

拉式变换与拉式反变换的定义

假设

Ft是定义在

零到正无穷上的实值函数

这种函数也叫

因果

信号

如果对于复变量

定义积分如式三所示

积分的结果

Fs是一个

复变函数

公式三也被称之为

单边拉普拉斯变换

公式三可以记为

表示

对时域函数Ft

求拉式变化

反之

表示已知复变函数fs

求其拉式逆变换，得到时域函数

这里

我们分别称Ft

为原函数

Fs，为象函数

如果

用双箭头

来表示这两个函数的关系

我们把他们称之为

拉普拉斯变换对

但是我们要注意

Fs不是在复平面s的任意位置处

都是存在

也即s有一个取值

区间

拉氏变换的fs才会收敛

这个取值区间，我们称之为

收敛域

拉普拉斯变换存在的定理

假设

函数ft满足

一

t大于等于零时，在任何有限区间上

是分段连续的

二

在t趋近于正无穷时

ft具有有限增长性

及存在实数

a和M

当M大于零

t大于等于零时

小于等于M

其中

a称为ft的增长指数

则象函数

Fs在s平面上

只有

当R1S大于a时

Fs才存在

他的收敛域

即为Res大于a

如图一所示

只有在右侧平面的阴影部分

即它的收敛域内

Ft的拉式变化

存在且为fs

S等于a

为收敛轴或叫收敛边界

只要是因果信号

都是在右侧平面收敛

由于本门课程研究的都是因果信号

因此

在后面的应用

不需要特别注明其其收敛域

我们还要注意到

a是一个常数

不同的时域函数

a有三种取值可能

小于0等于0

或者是大于零

也就是a

可以在实轴上移动的

收敛域与F(s)极点的关系

前面我们知道

F(s)在极点

会使fs趋近于

无穷

不收敛

因此

收敛域肯定不能包含fs

的极点

即收敛轴s=a

与极点有关

是有关的

A的取值

等于所有极点中

实部最大的那个分量

收敛域

与傅里叶变换

F(jw)的关系

在后面的课程中

我们还要探讨另外一种重要的积分变换

傅里叶变换

类似于拉式变换

傅里叶变换

是联系

信号时域与频域的桥梁

这里我们直接给出结论

这两种积分变换的关系

拉式变换是傅立叶变换的推广

福利也变换

是拉氏变换的特例

所以

如果我们已知

拉氏变换

且收敛域如图2所示

且收敛轴包含jw轴

就可以直接令s等于jw

就可以获得

信号ft的

傅里叶变换

F(jw)

严格的数学推导

大家可以去参考

信号与系统课程

相关内容

拉氏反变换

公式四

称之为拉式反变换

或拉式逆变换

式中σ

为fs的收敛边界

这是一个

复变函数积分

称之为反演积分

求解比较困难

实际问题中

Fs，通常都是有理分式形式

经过部分分式展开

结合常见信号的拉氏变换对

和对拉氏变换的性质

来，求解

今天的内容就到这里

谢谢大家