当前课程知识点:机械工程控制基础 > 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 > 2-6 用拉氏变换解常微分方程 > 2.6 用拉式变换解常微分方程
用拉氏变换
解常微分方程
前面我们学了拉斯变换的定义,
常见信号的拉斯变换对拉斯变换的性质以及
拉氏逆变换的求解方法
所有最终的目的
都是要利用拉氏变换这个数学工具
帮我们分析
系统也就是简化
常系数微分方程的
求解问题
接下来的内容
就是学习
如何利用拉氏变换?
求解微分方程
拉式变换求解微分方程的求解步骤
第一步
将微分方程通过拉氏变换
变为 s 的代数方程;
第二步
解代数方程
得到有关变量的拉式变换表达式
第三步
利用
拉式反变换
得到微分方程的
时域解
我们通过一个实例
说明求解的过程
例如
这是一个实系数的二阶微分方程
其中
X it表示系统的输入
XO t表示
系统的输出
当输入是一个
单位阶跃信号
并给定两个系统
初始条件
求系统的输出
Xot的表达式
求解
这个常系数的线性微分方程
第一步
是对微分方程的两边
分别求拉氏变换
利用
拉式变换的线性性质
微分性质
方程的左边可以分成三项
分别求拉式变换
得到的结果经过整理
可以写成
对方程的右边进行拉氏变换
由于输入是一个单位节约函数
其值1/s
从而我们得到
一个关于
XO的
表达式
经过整理
写出XO s
可以分为
两项之和
第四步
再利用部分分式
分别
对两项求
拉普拉斯逆变化
回忆一下部分分式法的求解步骤
第一部
是求极点
令分母等于零的点
并进行
部分分式展开
前面一项
可以展开成三项之和
后面一项
可以展开成两项之和
第二步
观察极点的特点
这里全部是单极点
用留数法
分别求出5个系数
注意在求b1d2的时候
我们并不需要
带入
初始值的
具体值
第三步
分别对每一个分量
求拉式逆变换
这样我们就得到了
初始条件
不为零时
系统
单位阶跃函数输入下的响应
可以看到
此时
系统的输出
明显有两部分组成
前三项
是完全由外部输入导致的输出
我们可以把它称之为
零状态响应
后面两项
是完全
由系统初始状态
引起的输出
也可以把系统的初始状态
称之为初始储能
我们可以把它叫做
零
输入e
这两部分就构成了
该微分方程的全解
由上述实验
可见
使用拉式变换法
求解微分方程的时候
由於
初始条件
以自动的包含在
微分方程的拉式变换之中
因此,不需要根据初始条件
就可以
求解微分方程的值得到微分方程的全解
相对高等数学的经典法更为简洁
如果所有的初始条件为零
微分方程的拉式变换就可以简单的
用Sn
代替时域函数ft的
N阶导
从系统的角度看
微分方程的解及系统的响应
可以分解为两个部分
零状态响应
和零输入响应
小结
微分方程的解
可以
全解等于
齐次解
加特解
线性时不变系统的响应
可以
分为全响应
等于零状态响
加零输入响应
零状态响应等于
齐次解吗?
零输入响应等于
特解吗?
我们留一个问题,在这里希望大家在后面的
学习中,能够找到答案
本章我们学习了
拉式变换,这个有趣的数学工具
由于涉及大量的公式与计算
同学们需要在课后做一定量的练习
才能够掌握
巩固这些知识
本章内容到此结
谢谢大家
-1-1 机械工程 控制论的基本含义
-1-2 机械工程系统中的信息传递,反馈以及反馈控制的概念
-1-3 机械控制的应用实例
-第一章 作业
-2-1 复数和复变函数/2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义
--2.1复数和复变函数的定义/2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义
--拉式变换和拉式反变换的定义
-2-3 典型时间函数的拉式变换
-- 作业-2.3 典型信号的拉式变换
-2-4 拉氏变换的性质(上)
--作业 2.3拉氏变换的的性质
-2-4 拉氏变换的性质(下)
--作业-24 拉氏变换的性质(下)
-2-5 拉氏反变换的数学方法
--作业-2.5拉氏反变换的数学方法
-2-6 用拉氏变换解常微分方程
--作业-2.5 用拉氏变换解常微分方程
-第一节 概述和系统微分方程的建立
--课后作业
-第二节 系统的传递函数
--课后作业
-第三节 典型环节传递函数
--课后作业
-第四节 系统的传递函数方框图及其简化和反馈控制系统的传递函数
--第五节 系统的传递函数方框图及其简化和反馈控制系统的传递函数
--课后作业
-第五节 信号流图及梅逊公式
--课后作业
-第六节 梅逊公式
--第六节 梅逊公式
--课后作业
-4-1 时间响应
--4-1作业
-4-2 一阶系统得 时间响应
--4-2作业
-4-3 二阶系统的时间响应
--4-3作业
-4-4 高阶系统的动态分析
--4-4作业
-4-5 瞬态响应的性能指标
--4-5作业
-4-6 系统误差分析
--4-6作业
-4-5-1 改善系统性能的措施
-5.1 频率特性的基本概念
--5.1.2 频率特性的基本概念作业
-5.2 频率特性的对数坐标图
--5.2.3 频率特性的对数坐标图作业
--5.2.4 频率特性的对数坐标图作业(2)
-5.3 频率特性的极坐标图
--5.3.3 频率特性的极坐标图作业(1)
--5.3.4 频率特性的极坐标图作业(2)
-5.4 闭环频率特性与频域性能指标
--5.6.2 闭环频率特性与频域性能指标作业
-第五章 主观题
-6.1 稳定性的概念及稳定性的充要条件
--6.1 稳定性的概念及稳定性的充要条件
-6.2 劳斯稳定判据
--6.2.2 劳斯稳定判据作业
-6.3 映射定理
-6.4 Nyquist稳定判据
--6.4.2 Nyquist稳定判据作业
-第六章 主观题
-实验一 典型环节及其阶跃响应
-实验二 二阶系统阶跃响应
-实验三 控制系统的稳定性分析
-实验四 系统频率特性测量