2.3 典型时间函数的拉氏变换在线视频

第三节典型时间函数的拉氏变换

所谓典型时间函数是指工程上常见或常用的信号

一，单位阶跃函数写做1(t)或者是u(t)

是控制理论中最常用的典型输入信号之一

常以它作为评价系统性能的标准输入

表示在t=0时刻，突然作用于系统的一个不变的给定量

例如，电机启动时

开关闭合瞬间，电机的定子线圈

电压从零跳变成220伏，并一直保持

阶跃信号的定义

如式1所示用一个分段函数来表示，当t小于零时，ut=0

当t大于等于零时u(t)=1

他是一个典型的因果信号

注意阶跃信号是一个理想信号,又叫奇异信号

是一种物理不可实现信号

因为实习信号幅值的跳变，总是需要一定的时间

也就是有一个过度过程

即使这个过渡过程的时间非常短

而阶跃信号的定义是没有这个过渡的幅值损失完成突变

因此，阶跃信号是对实际幅值发生突变的信号的一种理想数学抽象

阶跃信号的作用

阶跃信号，在信号分析，控制理论中都有非常重要的作用和地位

因为它可以把不连续的函数简单表示出来

第一，表示因果信号

Ft，乘上ut就可以表示信号是从t大于等于零开始取值

第二表示时域有限长信号

如ft，乘上ut-u的t-t0表示ft的取值区间在零到t0之间

三阶跃信号的拉氏变换

把阶跃信号代入拉普拉斯逆变换公式，他的积分值是1/s

及ut的拉普拉斯变换等于1/s

S=0是

它的极点也就是在s平面上除了s=0以外

Fs处处收敛

二单位冲击函数

在实际工程问题中，有许多物理现象具有一种脉冲特征

它持续的时间很短，仅在某一个瞬间或者某一个点出现，如瞬时冲击力

脉冲电流

质点的质量等

单位冲激函数的定义如式二所示

当t=0的时候，t的值为正无穷

当t不等于零的时候给她他t的值为零

但是t在负无穷到正无穷上的积分值是一

这个定义也叫做狄拉克定义

它的波形如图二所示

在t=0点处用一个竖线加箭头来表示一个冲击

并用括号注明其冲击的强度为一

类似于单位阶跃函数，单位冲激函数也是对实际信号的抽象

因为

它也是一种奇异函数

物理不可实现函数从定义上看

t，实际上是一个时域连续函数

单位脉冲函数的性质

单位脉冲函数

它有许多有趣的性质

第一个是它的

乘积性质，或者也叫取样性质

Ft，乘上t=f0乘上t

取样性质说明

任意函数ft在于单位冲激函数，第二题相乘时，它的结果是一个冲击

冲击的强度为f0

相当于把信号

在冲击出现的位置

T=0时刻的扶植取出来

因此也叫取样性质

结果，f0乘是一个时域函数

二，积分性质

Ft，在整个实验上的积分等于f0

根据取样性质的

结论

再对其进行积分的时候，由于f0是一个常数，实质就是对在整个时域上积分

根据

单位冲击的定义公式二

积分值就是一因此

它的结果，f0是一个标量

对于冲击的时移，这两个性质同样也成立

单位冲击信号的拉普拉斯变换

把单位冲击信号代进拉普拉斯变换公式

积分符号里面的乘上，t根据单位冲激信号的性质

等于f0乘上

1的负st当t=0的时候等于一，因此 实质上就是对t在0到正无穷上进行积分

由于积分的范围包含冲击出现的位置

T=0，因此他的积分的结果就是1，因此

单位冲击函数，与1是一个拉氏变换对

三单位斜坡函数

单位斜坡函数又叫加速度函数

它的定义是当t小于零的时候

为零当t大于等于零的时候

为t

我们可以利用单位阶跃信号来表示这个因果信号写成tu(t)

那么把tu(t)带进拉普拉斯正变换公式

再利用在高等数学学过的

分布积分法和指数函数的积分可以求得tu(t)的拉普拉斯变换是s平方分之一

单位冲激函数t，单位阶跃函数ut单位斜坡函数tu(t)这三个函数之间的关系

根据定义，我们很容易能发现这三个函数之间的联系

冲击的积分是阶跃

阶跃的积分是斜坡，反过来

斜坡的微分是阶跃

阶跃的微分是冲击

及这三个函数是互为微积分的关系

是指数函数eat

指数函数也是常见的信号

这里的a是实数

代进拉氏正变换公式

把两个指数函数合并之后

在积分符号外面凑一个-1/(s-a),

利用指数函数的积分可以求解

得到

Eat的拉普拉斯变换是s-1/a

五，正余弦函数

根据欧拉公式正余弦信号可以写成虚指数信号的叠加

等于二分之ej加上e的负

等于2j分之，也就是

正余弦信号可以分别由两个虚指数信号的叠加构成

正弦信号的拉氏变换

相当于球两项指数函数的拉氏变换

代入指数函数，拉式变换公式

经过整理，我们可以得到正弦信号的拉普拉斯变换是

s平方加平方分之

相同的方法，我们可以求解余弦信号的拉氏变换

它的拉普拉斯变换是S平方加平方分之s

六、幂函数t的N次方

幂函数的拉氏变换稍微复杂一点

我们把他代进拉普拉斯正变换公式

Tn，乘上1的负st这里先令U等于st

则t=u÷s

那么du就等于sdt 则dt=1/sdu

代入积分式

注意此时的积分变量为u,s的n+1次方分之一与优无关，可以提到积分号的外面

剩下的积分像un乘上e负u du，在零到正无穷上的积分在数学上被称之为伽马函数

其结果是n的阶层，这里我们不做证明

因此，t的N次方的拉氏变换为s的n+1次方分之n的阶层

小结

常见信号的拉氏变换对

这几个函数的拉式变换对，我们需要牢记在后面的学习中

求拉氏变换的性质，拉氏正变换和负变换以及

微分方程的求解都能够用到

这一节的内容就到这里，谢谢大家