6.2.1 劳斯稳定判据在线视频

各位同学，大家好

今天我们来学习劳斯稳定判据

经过上一讲，我们知道线性系统稳定的

充要条件是

当系统的全部特征根位于

S平面的左半平面

包含原点，但不包含虚轴时

系统是稳定的

及意味着判定，一个系统的稳定性

只需要判断系统

特征根的分布即可

不需要求解系统特征根的

具体数值

今天我们来学习的劳斯稳定判据是一种代数稳定判据

简称劳斯判据

劳斯判断的根本思想是

通过特征方程的

系数的代数运算

来判断系统是否具有

不稳定的根

从而判定系统的稳定

而劳斯

判断的关键是要按特征方程的系数

构建一个劳斯阵列表

简称劳斯表

那么

劳斯稳定判据到底

有着怎样的判定规则呢？

首先

我们来学习

如何运用闭环特征方程的系数构造一个劳斯表

若系统的闭环特征方程为

N阶代数方程

可以设系数

An

大于零

劳斯表

则由n加一行构成

这些行顺次按照s的降幂排列

依次记为

SN行

SN，减一行

SN，减2行

一直到

S零行

那么

劳斯表前两行的元素

是由闭环特征方程的系数直接确定

首先，我们先来看SN行

SN行对应的系数就是特征方程当中

X的N次方向的系数

X的n-2次方项的系数

S的n减4次方项的系数

此类类推

要写完特征方程中对应的所有项的系数

接下来我们来看

SN，减一行

SN，减一行的系数

则因是特征方程中

SN-1次方项的系数

SN-3次方项的系数

Sn，减五次方项的系数

同样一直要

写完特征方程中对应的所有项的系数

既意味着应用特征方程的系数

可直接构建劳斯表的前两行

那么

其余行的元素又将如何来确定呢？

接下来我们来看SN-2

为了讲述的便利

对于该行元素，从左至右依次标记为

A1

A2

A3

等顺序后延

那么，这些元素将由上两行当中的

对应的元素

按照一定

规则来构建

其中

A1

等于

An，减1乘以an减2

减去an乘以an减3的差

除以an减一

以此类推，我们就可得到

A2

A3

的系数

如虚线框中所示

一直进行到该行相应的右边缘

全部为零

通过上述的方法

接下来我们将来构建SN减3行的系数

同样，为了讲述的便利，对于该行元素

从左至右依次标记为

B一

B二

B三

那么

这个时候，我们知道

总是应该用这一行，上面的两行系数来构建该行的系数

因此

B1，就等于

A1乘上

N减三减去

A

N，减一乘上

A2的差再除以a1

此类推可得到B二

B3

的系数

如虚线框中所示

一直进行到该行相应右边的元素

全部为零为止

那么利用这样子的构建规则

一直要进行到s零行

最终得到一个完整的劳斯表

接下来，基于所构建的劳斯表

就可以建立劳斯稳定判据了

首先考虑最普遍的情况

劳斯表中第一列所有的系数均不为零时

如果劳斯表中第一列的系数

都具有相同的符号

即都为正

则系统是稳定的

即该系统的特征根全部位于s平面的左半平面

如若第一列的系数的符号有变化

则说明系统是不稳定

而且，右半平面上的特征根的个数

就等于劳斯表中第一列元素

符号改变的

次数

即劳斯稳定

判据就是说

劳斯 表中第一列符号改变的次数

等于

系统特征方程具有正式部特征根的个数

因此

系统稳定的充要条件是看

劳斯表中第一列的符号

均为正

且值不为零

接下来我们来看例一

已知一个系统的特征方程

如下式所示

是用劳斯稳定判据

判断系统的稳定

首先

我们根据特征方程的系数，构建劳斯表如下

可知

这是一个四阶系统

因此，其劳斯表有五行构成

如图所示

按S的降幂排列依次记为

S4行s3行

S2行

S1行和s0行

按照我们刚刚讲过的构建规则可知道

S4行对应的系数，因为特征方程中

所有的

偶次幂的系数

S三行对应的系数，因为特征方程当中

所有的奇次幂的系数

将剩下三行的系数通过计算规则

计算以后

填入劳斯表

通过观察，我们发现

所建立的劳斯表的第一列元素

并不全是正的

通过表格当中可以看出

第一列元素符号变化了两次

因此，该系统是不稳定的

并且特征方程有两个根落在了

s平面的右半平面

接下来我们学习

劳斯稳定判据的两种特殊情

第一种特殊情况是

当劳斯表某一行的第一列元素为零

而这一行的其余各项系数不全为零的情况

在这种情况下

可用一个很小的正数

ε代替第一列中的

零元素

然后按照

之前所讲的计算规则

继续计算，劳斯表当中的其余项

如果

ε同列上下的系数

属均为正数

则表示，该系统处于临界稳定状态

且有一对纯虚根

如果ε同列上下的系数

有编号

则说明系统不稳定

不稳定的根的个数由符号变化的

来决定

我们来看例二

已知一个系统的特征方程如下

使用劳斯稳定判据

判断系统的稳定性

我们根据特征方程的系数，构建劳斯表如下

通过观察

我们发现

劳斯表的第一列出现了零元素

利用无穷小正数ε代替

第一列当中的零元素

并继续完成劳斯表当中的其余项的计算

通过最终确立的劳斯表我们可知

劳斯阵列第一列，ε上下两项的符号相同

这表明，系统有一对纯虚根

系统临界稳定

劳斯表的第二种特殊情况是全零行

即当劳斯表当中某一行所有的元素全为零时

说明在s平面有对称分布的根

既存在大小相等，符号相反的实根

或一对共轭虚根

或对称于实轴的两对共轭复数根

或存在更多这种大小相等

但在

S平面位置镜像相

根

如下图 所示

这种情况的处理方法为

若劳斯表

中第K行的元素出现全零行时

则利用第k-1行的元素

构成辅助多项式

取

辅助多项式导数的系数来代替

原来

第K行的元素

利用新的元素继续

计算劳斯阵列当中，其余各项

其中，特征方程中

以原点对称的根

可以由所建立的辅助方程来求的

我们来看例三

已知一个七阶的系统的特征方程

使用劳斯稳定判据

判断系统的稳定性

同样

我们先根据特征方程的系数，构建劳斯表如下

在列些劳斯表的过程当中

我们发现

劳斯表的s3行的元素全为零了

则此时

应该利用S4行的元素

构建系统的辅助方程as

并对as求导得到的系数

来代替原s 3行当中的元素

并完成劳斯表中

剩下其余项的计算

最终

通过劳斯表表我们可知

第一列元素符号改变了两次

因此，该系统是不稳定的

并且特征方程有两个根落在了

s平面的右半平米

通过以上的讲解，我们可以知道

劳斯稳定判据，不仅是判定

系统稳定的一个代数方法

他还是可以用来分析系统参数对

系统稳定性的影响

从而得到使系统稳定的参数范围

接下来我们来看例四

通过例四的题目以及

要求

我们

可以写出该题所示的系统的闭环传递函数Φs

并得到系统的特征方程Ds

再根据特征方程的系数建立如下

所示的劳斯表

根据劳斯稳定判据，我们知道

如果系统稳定

则劳斯表第一列系数

n全为正

即可得到以下的方程组

那么，求解该方程组，我们可以知道

当系统参数k

在0到30的区间取值时，系统稳定

当k的取值范围

不再0到30的区间之内时

系统是不稳定的

通过前面的分析，我们知道

特征方程式判断线性系统稳定的一个关键因素

在系统稳定的情况下

特征方程左半平面的根

越靠近虚轴

系统的相对稳定性也就越差

而劳斯稳定判据

不仅可以判断系统是否稳定

进行相对稳定性

那么也就是说

劳斯判据，虽然不能表明系统特征根在

S 平面上

相对于虚轴的距离

但是可以判断

特征根

与虚轴之间的最小给定

距离

稳定预量

判断方法如下

可在s左半平面上做一条s等于-a的垂线

而a是系统的特征根的位置与虚轴之间的最小给定距离

其稳定预量

然后用新变量

S等于s1减a

代入原系统方程

得到一个以s1为新变量的

特征方程

对新的特征方程，利用劳斯稳定判据

即可判别

系统的特征根是否全部位于

S等于-a的垂线之左

如果系统稳定，则说明系统

所有的特征跟均位于s=-a的垂线之左

如果不稳定

则说明有部分特征根位于s等于

负a的垂线

之右

最后我们对本次课的内容做一个总结

第一

要求大家掌握劳斯表的构建方法

即利用劳斯表判断系统稳定性的方法

第二

当出现两种特殊情况时，劳斯表的处理

方式

第三

利用劳斯表来分析系统参数的变化

系统性能的影响

好，各位同学

本次课程到这里结束

谢谢大家