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6.3.2 辐角原理及其应用在线视频

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6.3.2 辐角原理及其应用课程教案、知识点、字幕

同学们好欢迎来到复变函数课堂

我们在上一节学习了辐角原理

辐角原理是用来判别根的个数的

那么今天我们来学习幅角原理的推论鲁歇定理

鲁歇定理不仅可以判断根的个数

还可以判断根的分布

那么我们先来看一下鲁歇定理的叙述

设C是一条周线

函数f和φ满足以下两个条件

第一它们在C的内部都解析

并且连续到C上

第二个在C上f的模长

大于φ的模长那么结论就是

f与f+φ在C的内部有同样多的零点

也就是说我们如果想要计算一个

复杂函数在C的内部有多少个根

我们就可以选取其中较为简单的一部分作为函数f

然后看一看f在C内有多少个根

我们就可以判断出f+φ在C内有多少个根

接下来我们通过几个例子来看一下鲁歇定律的应用。

我们看一下例6.23

给出一个n次多项式P（z）

并且它符合条件就是at这一项的模长大于所有项的模长的和

那么我们证明P（z）在单位圆内有n-t个零点

如果我们想证明P（z）在单位圆内有n-t个零点

我们发现在P（z）的表达式里有at*z^(n-t)这一项

这一项的零点正好是n-t的

所以我们将这一项取做f（z）

而剩下的那些项我们记作φ（z）

很明显我们可以看出f（z）和Φ（z）在单位圆周上都是解析的

并且在单位圆周上

φ（z）的模长是小于a0的模长

一直加到at-1的模长加上at+1的模长在加到an的模长

而在单位圆周上

f的模长是等于at的模长

那也就是说在单位圆周上f的模长是大于φ的模长。

由此我们可以判别f和φ是满足鲁歇定理的

根据鲁线定理P（z）=f（z）+φ（z）

在单位圆周内的零点

与f（z）=at*z^(n-t)占单位圆周内的零点是一样多的也就是n-t个

根据这个例子我们就知道要想讨论多项式函数在单位圆周内有多少个根

我们只需要对这个多项式函数

找出它的系数的绝对值最大的那一项就可以了

那么接下来我们看一下下面几个结论

第一个方程式z^8-5z^5-2z+1=0

在这个方程中

不用说系数的模长最大的那一项是-5z^5

那么由上面这个例子

我们就可以得出这个方程在单位圆内应该有五个根

同理第二个方程中系数的模长最大的那一项是-5z^4

因为这一项有四个根

所以该方程在单位圆内也有四个根

我们按照同样的方法可以判断出第三个和第四个方程

在单位圆内分别有一个根和零个根

接下来我们仍然用鲁歇定理来判断这样一个方程

它的根全部都在圆环z的模长大于1和小于2内

那么咱们如何证明这样一个问题呢

我们来看一下这道题的思路

要想证明方程的根全部都在圆环内，

也就是说我们需要进行这样三步

第一步我们需要证明根全部都在z的模长小于2内

第二步我们来证明在单位圆内是没有根的

第三步我们进一步证明在单位圆周上也是没有根的

接下来我们就按照这三个步骤来证明这道题

首先第一步我们证明根全部都在z的模长小于2内

这时我们令f（z）为z^7那么剩下的-z^3+12将作为φ

我们可以发现f和φ在z的模长小于等于2上都是解析的

同时在z的模长=2上f的模长是|z|^7也就是2^7=128

而在z的模长等于2上

|φ|是≤12+|z|^3也就是|φ|是小于等于20的

那么在z的模长等于2上f的模长严格大于φ的模长

那么由此我们发现f和φ是满足鲁歇定理的

根据鲁歇定理 这个方程在z的模长小于2内应该和z^7有同样多的根

也就是说方程在|z|<2内有七个根

第二步我们来证明在单位圆周内方程是没有根的

这时我们需要取f（z）为12

那么剩下的z^7-z^3为φ

我们同样可以验证f和φ在|z|≦1上都是解析的

并且在单位圆周上|f（z）|=12

而|φ|≦|z|^7+|z|^3也就是二

那么很显然在单位圆周上|f|是严格大于|φ|

那么这时f和φ仍然满足鲁歇定理那么根据鲁歇定理

这个方程在|z|<1内就应该和12有同样多个根也就是零个根

最后我们来证明在单位圆周上方程是没有根的

在单位圆周上由于|z^3-z^7|是小于等于|z|^3*|z^4+1|也就是2

那么我们就可以计算出z^7-z^3+12的模长

是大于等于12-z^7-z^3的模长

也就是模长是大于零的

那么在单位圆周上模长严格大于零

也就说明在单位圆周上z^7-z^3+12

这个函数是没有根的

那么根据以上三点我们就可以得出

方程的根全部都在z的模长大于1小于2这个圆环内

那么这节课我们讨论的鲁歇定理

它是辐角定理的一个推论

它不仅可以判断函数零点的个数

而且可以判断函数零点分布的状况

比如说我们刚刚证明的这个问题

方程z^7-z^3+12=0它的根全部落在圆环1<|z|<2内

按照同样的方法我们可以进一步将根所在的范围缩小为圆1<|z|<1.6内

所以我们说鲁歇定理不仅可以判断零点的个数

还可以判断零点的分布状况

这节课我们主要讨论了

如何使用鲁歇定理讨论方程的根的个数以及根的分布的问题

请同学们课后完成课程平台中的作业

这一次课到此结束

复变函数课程列表：

第1章 复数与复变函数

-1.1 复数

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--1.1.1 复数域与复平面

--1.1.2 复数的模长与辐角

--1.1.3 复数的表示方法

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.1 作业测试

-1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--1.2 复平面上的点集

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.2 作业测试

-1.3 复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--1.3.1 复数与复变函数

--电子教案

--延伸阅读

--1.3 作业测试

-1.4 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--1.4.1 复球面与无穷远点

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--1.4 作业测试

-1.5 本章导学

--导学视频

--导学课件

-1.6 小结与测试

--本章测试

第2章 解析函数

-2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程

--2.1.1 解析函数

--2.1.2 解析函数的判别 第一讲

--2.1.3 解析函数的判别 第二讲

--2.1.2 解析函数的判别 第一讲

--2.1.3解析函数的判别 第二讲

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.1 作业测试

-2.2 初等解析函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角函数与双曲函数

--2.2.1 指数函数

--2.2.2 三角与双曲函数

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.2 作业测试

-2.3 初等多值函数

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--2.3.1 根式函数一

--2.3.2 根式函数二

--电子教案

--延伸阅读

--延伸阅读

--延伸阅读

--2.3 作业测试

-2.4 本章导学

--导学视频

--导学课件

-2.5 小结与测试

--本章测试

第3章 复变函数的积分

-3.1复积分的概念及其简单性质

--3.1.1 复积分的概念

--3.1.2 复积分的计算

--3.1.3 复积分的性质

--§3.1.1 复积分的概念

--§3.1.2 复积分的计算

--§3.1.3 复积分的性质

--电子教案

--3.1 预习测试

--3.1 作业

--延伸阅读

-3.2柯西积分定理

--3.2.1 柯西积分定理

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理推广1

--3.2.4 柯西积分定理推广2

--3.2.1 柯西积分定理1

--3.2.2 不定积分

--3.2.3 柯西积分定理——柯西积分定理的推广1

--3.2.4 柯西积分定理——柯西积分定理的推广2

--电子教案

--作业测试

--3.2 作业1

-3.3柯西积分公式及其推论

--3.3.1 柯西积分公式及其推论

--3.3.2 柯西积分公式及其推论

--3.3.3 解析函数无穷次可微性

--3.3.4 柯西不等式与刘维尔定理

--3.3.1柯西积分公式

--3.3.2柯西积分公式推论1

--3.3.3解析函数无穷次可微性

--3.3.4柯西不等式与刘维尔定理

--电子教案

--3.3 预习测试

--3.3 作业1

-3.4解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--3.4.1 相关概念与关系

--3.4.2 解析函数与调和函数的关系

--电子教案

--3.4 预习测试

--3.4 作业

-3.5本章导学

--第三章导学视频

--导学课件

-3.6小结与测试

--复习小结

--本章测试

第4章 解析函数的幂级数表示法

-4.1复级数的基本性质

--4.1.1复数项级数

--4.1.1 复数项级数

--电子教案

--作业测试

--4.1作业

--延伸阅读

-4.2幂级数

--4.2幂函数

--教学课件

--电子教案

--作业测试

--4.2 作业

--延伸阅读

-4.3解析函数的泰勒展式

--4.3.1泰勒定理

--4.3.1泰勒定理

--电子教案

--4.3 预习测试

--4.3 作业

--延伸阅读

-4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--4.4.1 解析函数零点的概念与判定

--4.4.2 解析函数零点的孤立性及唯一性h

--4.4.3 最大模原理与解析函数的独特性

--电子教案

--4.4 预习测试

--4.4 作业

--延伸阅读

-4.5本章导学

--第四章导学视频

--第四章导学课件

-4.6小结与测试

--复变函数第四章复习小结

--第四章测试

第5章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

-5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1 解析函数的洛朗展式

--5.1.1解析函数的洛朗展式

--5.1 解析函数的洛朗展式

--5.1 电子教材

--5.1 预习测试

--5.1 作业

--5.1 延伸阅读

-5.2 解析函数的孤立奇点

--5.2.1 孤立奇点的分类

--5.2.2 可去奇点

--5.2.3 极点

--5.2.4 本质奇点

--5.2 ppt

--5.2 电子教案

--5.2.1 预习测试

--5.2.2 作业1

--5.2.3 作业2

--5.2.4 作业3

--5.2 延伸拓展

-5.3 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3.1 解析函数在无穷远点的性质

--5.3 电子教案

--5.3.1预习测试

--5.3.2 作业

--5.3 延伸阅读

-5.4 整函数与亚纯函数的概念

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 整函数与亚纯函数

--5.4 电子教案

--5.4.1 预习测试

--5.4 延伸阅读

-5.5 本章导学

--第五章 导学视频

--第五章 导学课件

-5.6 小结与测试

--第五章 学习指导

--第五章测试

第6章 留数理论及其应用

-6.1 留数

--6.1.1 留数定义

--6.1.2 留数定理

--6.1.3 无穷远点处的留数

--6.1 PPT

--6.1 电子教案

--6.1.1 预习测试

--6.1.2 作业1

--6.1.3 作业2

--6.1 延伸阅读

-6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 留数定理计算实积分

--6.2 用留数定理计算实积分

--6.2 电子教案

--6.2.1 作业1

--6.2.2 作业2

--6.2 延伸阅读

-6.3 幅角定理及其应用

--6.3.1 辐角原理及其应用

--6.3.2 辐角原理及其应用

--6.3 PPT

--6.3 电子教案

--6.3 作业

--6.3 延伸阅读

-6.4 本章导学

--第六章导学视频

-6.5 小结与测试

--复变函数第六章复习小结

--第六章测试

第7章 *共形映射

-7.1 解析变换的特性

--7.1 解析变换的特性

-7.2 分式线性变换

--7.2 分式线性变换

-7.5 智慧课堂参赛课程

--7.5 PPT与电子教案

--7.5 课前讨论

--7.5 学习指导

--7.5 课上抢答与随堂测试

--7.5 留数的定义及求法作业

-7.5.1 附件3 课题教学设计

--附件3 课题教学设计

6.3.2 辐角原理及其应用笔记与讨论

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