7.1优化设计数学模型在线视频

各位同学 大家好

今天我们开始学习

现代设计方法学第七章的内容

第七章我们要介绍机械优化设计

什么叫优化设计呢

这是因为我们在

机械系统的设计过程当中

我们会受到各种各样约束条件的限制

比如说尺寸的限制

比如说成本的限制

那么 在这样的一些约束条件下

那我们的设计方案

就会存在着一个

求优的一个问题

所以那么就会要涉及到了优化设计

那么什么叫优化设计呢

我们来看一下

在规定的设计限定

条件下

运用最优化的原理和方法

将我们实际的工程设计问题

转化为最优化的问题

然后利用我们的计算机

工具来进行寻优的计算

那么 在我们前边提出的

很多的备选的设计方案当中

来选择最佳的设计方案

那么 这就是我们在这里提到的

优化设计

优化设计和我们传统设计

它是不同的

它们两个之间的一个区别

就在于我们优化设计问题一般是

按照如下的四个阶段来进行

首先 第一个阶段是设计问题的分析

第二个 根据对问题的分析

来建立对应的数学模型

第三个

基于我们所建立的数学模型

我们选择

合理的优化设计方法来进行求解

第四个 利用我们现在的编程软件

辅助我们优化算法的实现

那么在这里需要给大家去说一下

那么我们常用到的编程的软件

可以用c语言 也可以利用Matlab

所以我们建议大家

在学习第二篇现代设计方法的时候

如果之前没有

学习过Matlab编程语言的同学

建议大家

同步去学习一下相关的内容

好 那接下来呢 我们来看一下

第一个问题

有关机械优化设计的数学模型

对于机械优化设计来说

我们可以看到 首先

我们的第一步要对我们实际的

设计问题来进行分析

分析完了之后

我们就要建立对应的数学模型

那么 我们如何去

分析实际的工程设计问题

又如何来建立对应的数学模型

那么 数学模型有哪些部分组成呢

那接下来我们通过一个例子来看一下

那么这个例子呢 大家可以看到

我们要设计一个均匀的空心圆管

它所受到的载荷的情况

以及其它的限制条件

我们在题目当中都有明确的介绍

那另外一个我们在设计的过程当中

我们的要求是以最小的成本

来承受这样的一个压力

所以大家可以看到

对于这样的一个问题的设计来说

它和我们的传统设计是不一样的

我们传统的设计过程

我们以功能的实现

为前提

我们重点关注它的强度

刚度的这样一些情况

但是在我们现在看到的

这个优化设计的问题当中

它要求的是

以最小的成本来承受这样一个压力

所以我们大家可以看到

我们既要保证它的成本最低

同时我们还要满足

强度的要求

刚度的要求以及其它的限制条件

所以在这样的情况下 我们对于

空心圆管的设计来说

我们就会受到了

很多的约束条件的限制

好 那接下来我们来看一下这个

具体的这样一个问题 我们如何来做

首先 我们来看一下

我们先假设这个圆管的平均直径为d

它的厚度我们用t来表示

那么这样的一个问题呢

我们可以看到因为它要求的是

成本最小

对于成本的表达式在题目当中给出了

它应该等于5w加上2d

那么在这个表达式当中我们可以看到

根据题目当中的已知条件

我们把所有已知的参数

给它代进去之后 我们就得到了

后边的这个表达式

从这个表达式当中

我们可以看到

它的成本取决于它的平均直径

取决于它的厚度

所以

那么成本最小的这样一个优化问题

实际上

就是一个我们如何去合理的选择

它的平均直径和厚度

来满足这样一个成本最小的

这样的一个设计问题

但是我们在这里面大家可以看到

这种优化问题和我们单纯的数学问题

不太一样的

我们除了满足这样的一个成本最小的

这样一个公式之外

我们还要受到其它约束条件的限制

因为这个圆管 它是要承受载荷的

所以我们在这里大家可以看到

它还有受到

也就说它在满足

最小成本的要求情况下

还应该满足其它的约束条件

这些条件呢 我们可以看到

其中包括强度的条件

强度的表达式我们根据

前面学过的相关课程

我们能够给它写出来

那么同时呢我们说

对于这个圆管来说

它的尺寸是有限制的

也就是说它的结构尺寸

具有一定的边界条件

比如我们在这里大家可以看到

它的直径是有限制的

它的厚度也有一定的限制

所以大家可以看到

这个优化设计的这样一个问题

它既要满足我们的目标函数

同时还要满足我们的约束条件

我们现在根据题目当中的

已知条件和已知的数据

我们代入到刚刚

确定的目标函数和约束条件当中

我们大家可以看到

我们最终得到的表达式是这样的

目标函数的表达式 大家可以看到

约束条件

我们可以看到一共有六个

根据刚才的例子我们可以看到

优化设计的数学模型

它是需要通过我们的设计变量

目标函数和约束条件

三个要素来进行描述的

对于这样的三个要素来说

我们一般可以统一写为

如下的这样的一种形式

这个统一的形式是求设计变量

使极小化函数同时满足约束条件

那么在这里面

我们需要给大家去说一下约束条件

这里的约束条件大家看到

我们写了两行

这两行呢大家可以看到

一个是等式的约束条件

还有一个是不等式的约束条件

那么 对于等式和不等式的约束条件

在我们实际的优化问题当中

都是存在的

那么对于这样的优化数学模型来说

我们通常会把它写成向量的形式

因为在实际的设计问题当中

它的设计变量通常不止一个

所以如果我们把这样一个数学模型

用向量的形式来进行表达的话

我们就会得到这样的一个表达式

我们可以看到

用f(X)来代表它的目标函数

x为设计变量

它还受到两个约束条件的限制

gu(X)和hv(X)

那么在这个地方 我们可以看到

它用到了一个符号是

在目标函数前边 用到了一个min

也就是我们要求目标函数的极小值

在下面一行里面

我们看到有一个s.t.

这个s.t.

它实际上是英文单词subjected to

的一个缩写

它指的是受到

也就是我们在求

目标函数f(x)的极小值的时候

它要受到约束条件的限制

那么上面的这个表达式呢

我们称之为优化设计数学模型的

标准表达式

那么从这个标准表达式里面

我们大家可以看到一个完整的

这样一个优化设计的数学模型

包括这样的三个部分

一个是设计变量

我们通常用大x来表示

还有目标函数我们用f(x)来表示

那另外一个

要素是约束条件

所以我们通常把设计变量

目标函数和约束条件

称为优化设计数学模型的三要素

那么我们选择合适的优化算法

经过计算机的编程之后

我们所求出来的解

我们称之为优化问题的约束最优解

这个约束最优解

我们大家需要注意

我们在写的时候

尤其针对我们的设计方案来说

我们在进行表达的时候

我们在x上角标加上一个星号

代表是约束最优解

那么 对应的目标函数值

我们称之为最优目标函数值

好

今天的内容我们就讲到这