8.3.2常用分布函数（2）在线视频

同学们 大家好

这节课我们来接着介绍

常用分布 对于第二种

叫做对数正态分布

所谓对数正态分布 它是指

随机变量x的对数lnx

如果服从正态分布

那么x就称服从对数正态分布

即为xlnμσ方

那么σ方呢

通常呢也把它称为方差

也就是标准差的平方

对于对数正太分布来说它通常适用于

机械疲劳强度

疲劳寿命分布的研究中

其概率密度fx等于下面这个式子

由于是对x取对数

所以x是要大于零的

在公式中的μ

和σ它分别是lnx的均值和标准差

也就是 均值应该等于所有的

lnxi

之和除以个n

然后 标准差呢应该等于lnxi

减去均值的平方

所有的样本除一个n减一

再开根号

上面这个式子呢 是

前面我们讲的正态分布时的

概率密度函数

我们对比这两个式子 可以看出

正态分布中这是x 而对数正态呢

是lnx同时正态分布的

这个分母下头是σ

而对数正态呢是σx

这张图代表的是

对数正态分布时的概率密度曲线

可以看出 它是一个偏态分布

不像正态分布一样属一个对称分布

那么 对数正态分布的失效概率

f x应该等于

概率密度函数在0-x的积分

通常在进行失效概率计算的时候

需要将对数正态分布

要转换成标准正态分布

那么如何进行转换呢

我们就将这个括号中的这一堆

把它令为z

那么这样我们对两边取微分之后

可以等于dx 等于σx乘以d z

然后将上面的失效概率f x呢

这里头dx用σx d z来表示

同时 上 下积分线x也要变成

z的积分上下线

这样就得到了f z 也就是

标准正态分布时的

它的失效概率的计算了

也就等于ψz

那么如果我只要计算出z来

便可以由标准正态分布查出

ψz来

这样就可以计算出对数正态分布的

失效概率了

下面我们举一道例题

已知某机械零件的疲劳寿命

服从的是对数正太分布

均值等于4.5

标准差等于一

求该零件在t等于110单位时间内的

可靠度

以及t等于90单位时间内的可靠度

那么 由可靠度的定义Rx知道

它应该等于一减去失效概率

那么 由于x服从的是对数正态分布

因此我们需要将对数正态分布

要转换为标准正态分布

转换的公式就是刚才前面我们讲的

z等于

lnx减去均值除一个σ

所以我们得出1-ψ

lnx减μ比上σ

现在我们就依次带入具体的数据了

这个时候呢

x是t 等于110单位时间

应该等于一减去ψ

那么lnx的x

就是我们所说的t 均该等于110

而μ呢均值等于4.5σ等于一

这样

可以得出ψ0.2005

查正态分布表就等于41.87%

这是在t等于110时

计算出来的可靠度

同理 当t等于90单位时间时

可靠度应该等于一减去ψ

此时的t就变成了九十

减去一点五除以个一

然后我们可以看这个式子

ln九十减四点五除以一恰好为零

而零的

正态分布的失效概率

恰好等于0.5

所以R在t等于90单位时间时的

可靠度等于0.5

我们进一步进行讨论

当可靠度为50%时

显然lnt减μ比上σ等于零

分母是不能等于零的

只能分子等于零

lnt等于μ

也等于lnt下标是0.5代表的是

可靠度为0.5时候的寿命

那么这样可以得出

t0.5就等于一的μ次方

这个则代表的是

对数正态分布时的中位寿命

第三个常用的分布叫做指数分布

指数分布 它的概率密度fx等于λ

e的负λx次方

那么x呢

是在0-无穷之间进行变换的

λ也称为呢 指数分布参数

其失效概率fx应该等于

概率密度函数在0-正无穷的积分

也就等于一减去e的负λx次方

而可靠度函数Rx呢

应该等于e的负λ

x次方

那么我们右面的这个图呢

则代表的就是可以看出它的概率密度

随着x的变化的趋势以及相应的呢

失效概率fx

还有可靠度随着x的变化趋势

其失效率λx

前面定义应该等于

概率密度f x除一个可靠度Rx

然后我们把fx带入进去

一消掉e负λx之后就等于λ

那么λ

就是一个常数

而指数分布参数λ即为它的失效率

而且是一个常数

所以 指数分布通常用于描述的是

电子产品的失效规律

由于λ是一个常数

所以指数分布并不适用于描述

按照耗损规律失效的问题

比如说机械零件的事项

第四种常用分布叫做威布尔分布

威布尔分布的概率密度

如这个式子所示

在这里头x是要大于等于α的

那么在公式中的β

我们把它称为形状参数

θ为尺度参数 而α呢

为位置参数

即为x 威布尔用w 然后三个参数

βθα

因此 这个也称为三参数的威布尔分布

那么这张图呢 代表的是 当

θ等于一α等于零是形状参数

β不同时

对于fx的影响

可以看出 当β等一的时候

它的形状呢等同于一个指数分布

而β等于二的时候呢

他是一个非对称的

所以近似于那一个对数状态分布

当β等于3.6的时候

就近似于呢正太分布了

下面这个图呢代表的是当

β等于二α等于零时

不同的尺寸参数对fx的影响

可以看出呢

θ不同它的尺寸的大小呢也就不同了

而这个图则代表的是

当β等于

二 θ呢等于一的时候

α也就是位置参数

不同的时候对f x的影响

显然 位置参数决定了

fx呢在坐标轴中的位置

如果α等于零那么

三参数的威布尔分布

就简化为了两参数的威布尔分布

威布尔分布的失效概率应该是

概率密度函数在α到x之间的一个积分

积分出来得出来的就是这个公式

失效概率可以看出呢

它是与这三个参数有关的

对于微波尔分布

他通常用在下面的一些情况

如果对于两参数威布尔分布

也就是α等于零时

通常适用于产品寿命的早期

偶然以及耗损失效阶段

比如滚动轴承

传动箱 齿轮的寿命

以及磨损寿命 还有那腐蚀寿命等等

对于滚动轴承的寿命L

他就服从的是两参数威布尔分布

它的可靠度用RL表示

应该等于一减去失效概率f

那么我们看

恰好就等于上面式子中的 也就是

这个由于适量参数所以呢α是等于零了

那么在这里头呢

β通常取的是1.5

而三参数威布尔分布呢

除了用于两参数威布尔分布的情况之外

还使用于各种的物理

机械 电器等的特性

比如说电阻电容

还有疲劳强度的描述

这节课我们继续给大家介绍了

连续性随机变量常用的分布函数

总共我们学习了正态分布

对数正态分布

指数分布

以及威布尔分布