8.3.1常用分布函数（1）在线视频

同学们 大家好 这节课我们来介绍

可靠性分析中的常用分布函数

对于连续性的随机变量

常用分布函数主要包括正态分布

对数正态分布

指数分布以及威布尔分布

现在我们来开始学习正态分布

正态分布也要称为高斯分布

它是连续性随机变量

最常用的一种分布

通常适用于由许多微小

并且相互独立的偶然因素

引起的随机变量

比如说

我们是要加工一批轴

其工程直径应该是100毫米

但是 由于加工测量等误差

在每次测量时每根轴的直径

并不都是恰好为100毫米

而是服从一个

以100毫米为对称轴

中间大而两边小的正态分布

在可靠性分期中比如强度极限

尺寸 公差以及硬度等已经被证明

是服从正态分布了

那么正态分布的概率密度函数f x

就用下式来表示

在这个式子中x是从负无穷

到正无穷进行变化的

公式中的μ代表的是均值

它是中心趋势或终点的度量

决定了正态分布曲线的位置

而σ标准差

它是一个分散性的度量

决定了正态分布曲线的形状

我们看在a图中

这两个正态分布概率密度曲线

他们的标准差是一样的

但是均值μ1是小于μ2的

所以他们两个在坐标轴的位置

就不一样

因此均值决定了正态分布曲线的位置

我们再看看b图

b图有三条概率密度曲线

他们三个的均值都是一样的

但是标准差σ1是小于σ2

所以我们来看

标准差决定了正态分布曲线的形状

那么失效概率呢 fx应该等于

概率密度函数在负无穷到x处的积分

那么正态分布呢

我们把它记为XNμσ

显然 它是与均值和标准差

这两个参数有关的

因此 正态分布也称为呢

两个参数的分布

而正态分布的均值和标准差

可以由样本值来进行估计

其中均值应该等于

所有样本值之和除以个n

而标准差呢 应该等于

所有的样本值减去均值的平方

除以n减一再开根号

如果均值等于零标准差等于一

这样的正态分布

把它称为标准正态分布 用z

N01来表示

下面的这个φz

则为标准正态分布时的概率密度

而ψz呢是

标准

正态分布的概率密度

也就是φz在负无穷到z之间的积分

成为了它的失效概率

用ψz来表示

在工程中

通常会有一个三σ准则

意思是说如果超过了

距均值三σ距离的可能性呢

就太小了 认为几乎不可能

这针对的是随机变量

如果要是服从正态分布

这个图代表的就是均值为零

标准差为σ时的一个

正态分布的概率密度曲线

可以看出在正负三σ范围之内

随机变量出现的概率

可以达到99.73%

而超出了三σ距离的可能性呢

就非常小了

比如说 我们加工出了一批轴

轴的直径在φ三十加减

零点零六毫米的时候呢

我们认为是合格的

而且轴的直径呢是个随机变量

它服从的是一个均值为μ

标准差为σ的一个正态分布

现在让你求

这个均值和标准差应该等于多少

显然 均值应该等于30毫米

而标准差σ呢

就应该遵循三σ准则

那就是零点零六除以三

应该等于0.02毫米 那就是说

如果轴的直径服从的是均值为30毫米

标准差为0.02毫米的正态分布的话

那么此时d在φ30加减零点零六毫米

这样的尺寸范围内的概率

可以达到99.73%

标准正态分布

如果随机变量z在a b区间中

它的失效概率又如何进行计算呢

那么 下面就是这个公式也就是 z

当在a和b区间时

其失效概率均该等于

标准正态分布的概率密度函数

也就是φz在a和b之间的积分

然后我们对这个式子进行一个变换

它应该等于

标准正态分布的概率密度曲线φz

在负无穷到b的积分

减去一个负无穷到a的积分

那么前面的这个式子

恰好就应该等于在b点处的失效概率

而这个呢恰好为在a点处的失效概率

也就ψb减去ψa

而这两个值是可以直接通过

用标准正态分布表查得的

通常一般的正态分布

如果想要求其相应的失效概率

就必须要把一般的正态分布

转换成标准正态分布

那么转换的公式是下面这个式子

那就是z等于一般的

正态分布的变量x减去去均值

在比上个标准差

就得到了标准正态分布的变量z

下面我们来看一道例题

某轴直径的尺寸变动

可以用正态分布来描述

其均值μ等于14.9毫米

标准差σ等于0.05个毫米

规定轴径尺寸在14.8毫米

和15.00毫米之间的产品

均为合格的产品

让你求合格产品的百分数

那么我们可以分析一下

如果要求合格产品的百分数

实际上就是求

当x处于14.8-15毫米之间的概率是多少

那么 显然我们说直径x

它是服从一个正态分布的

而且呢 这个正态分布呢

是一个一般的正态分布

就需要用这个公式 将其

转换为标准正太分布

对其进行标准化处理

由此我们把x等于14.9带入到这个公式

就可以得到对应的z为负二

那么我们再把x等于15

带入到这个公式

可以得到z呢 等于二

也就是转变成了

标准正态分布的的随机变量了

然后我们再用下面这个公式

计算z在a b区间之间的概率

就应该等于φb减去φa

那么同理 我们看 当x在14.8

在15之间进行变动的时候它的概率

就应该等于已经转换成

标准正态分布的变量z

在负二和二之间变换的概率了

也就等于ψ2-ψ负2

那么φ2查出来等于0.9772

而φ负2呢 查出来等于0.028

这样计算出来的概率

就应该等于分之95.44因此

产品合格的百分数就是95.44%

本节给大家介绍了正态分布

正态分布的概率密度函数

以及失效概率

还有正态分布的均值和方差

是如何计算的

另外 我们知道

如果均值为零标准差等于一的

就称为标准正态分布

那么 一般正态分布与标准正态分布

又是如何转换的