7.2 优化设计数学模型的组成要素在线视频

各位同学大家好

在上一节当中

我们给大家介绍了

机械优化设计数学模型的一般表达式

同时我们给大家介绍了

优化设计数学模型的三要素

这三要素分别为

目标函数 约束条件和设计变量

那接下来

我们分别对数学模型的组成要素

做一个简要的介绍

首先我们来看一下

第一个要素为设计变量

那么现在我们来看一下右侧的这个图

这个图呢我们看到是一个齿轮

啮合传动的这样一个图

我们现在来看一下

我们要设计一对齿轮的啮合传动

它对应的设计参数应该有齿宽b

齿数t

中心距d 压力角α以及材料

那么现在我们假设

在这样一个设计问题当中

中心距 压力角 齿轮 材料

我们是已知的 也就是说

这几个量为常量的话

那么除了这几个量之外的

这样的一些设计变量

比如说我们在这里看到的齿宽

我们的齿数

我们把它称之为设计变量

那么这个设计变量

我们刚才在

优化设计的数学模型当中

我们提到我们用大x来表示

所以大家可以看到

对设计变量来说

我们通常把它

写成向量的这样一种形式

也就是大x等于

bt1t2的转置

所以在优化设计当中

对于设计变量来说

我们通常是以这样的形式来进行呈现

在实际的设计问题当中

我们可以看到

对于我们的设计变量来说

它有可能是二维的设计变量

也就是在刚才我们设计变量的

表达式当中n是等于二的

对于二维的设计向量

我们大家很好理解

大家可以看到

就像我们在这里提到的

设计空间当中的a图

当n等于三的时候

它是一个三维的设计向量

那么它是一个三维的设计空间

那么如果当我们的设计变量

大于了三之后

那么它是一个

超越空间的这样一个问题

我们理解了这样一个设计变量的

一些相关问题之后

接下来我们来看一下第二个要素

在数学模型当中

第二个要素是目标函数

目标函数呢我们又称之为评价函数

因为呢

它是用来评价我们设计方案优劣的

那么设计方案的好坏

完全依据于

目标函数值的大小来进行确定

对于目标函数来说

我们通常用f(x)来表示

优化设计的这样一个过程

就是在不断的

去寻找最优方案的这样一个过程

那么

当我们一旦确定了最优设计方案之后

那实际上就相当于

确定了我们目标函数的最优值

在这里面大家需要注意的是

这里的最优值它有可能是一个最大值

也有可能是一个最小值

所以我在这里问大家一个问题

在我们在上一讲当中提到的

优化设计的数学模型时候

我们提到f(x)前边

我们用的是min

那么如果说我们的

目标函数是关于

生产效率的一个目标函数的话

那么 我们都知道

对一个机械系统来说

它的生产效率越高越好

所以 很显然

对这样的一个设计方案的评价来说

我们应该是求它的最大值

那么针对

求最大值的这样一个问题来说

我们如何去用我们标准的数学模型

来进行表示呢

那么在这里面呢

我给大家给出一个答案

那么如果说我们是求的

目标函数的最大值的情况

那么有同学说我直接把

f(x)前边直接换成max就可以了

但是

在优化设计问题的表述当中

我们通常都用最小值来表示

那么 因此呢

我们对于一个

求最大值的这样一种情况

我们可以采取这样的处理方法

我们把目标函数前边加上一个负号

也就是我们求f(x)最大值

就相当于我们是求负f(x)的最小值

通过这样的一种转变

转变为我们的标准数学模型

好

那么对于我们这里的提到的

目标函数来说

我们可以看到

在实际的设计问题当中

我们可能会存在一个单目标的问题

也就是像我们刚才看到的例7-1一样

它是要求成本最小

只有这样的一个目标函数

所以这类的优化问题

我们称之为单目标的优化问题

但是在实际设计当中

也有可能会存在着多个目标

那么比如说它要求成本最小

同时还要求重量最轻

同时满足两个目标函数的要求来进行

优化设计问题的求解

那么这样的一类问题

我们称之为多目标优化问题

对于目标函数来说

我们通常呢会以等值线

或者等值面的方式

在设计空间当中给它表达出来

因为目标函数的表达式

如果我们已知之后

我们是可以通过数学的手段

把它的等值线和等值面给它画出来的

所谓的等值线或者等值面

它指的是目标函数f(x)值

等于c1c2c3c4的时候

我们分别做出来的一系列的这个集合

那么这集合呢

我们以图的形式来展示

那么这就构成了

我们右图当中大家看到的

一圈一圈的这样的一些等值线

所以从这个图当中大家可以看到

等值线

它实际上是反映了

目标函数值的变化规律

等直线越向里

大家可以看到它的目标函数值越小

那么对于我们现在大家看到的

右图这样的一种等值线的分布来说

很显然我们可以看到

它的极值点就在它的

中心位置

对于等值线来说

它的特点我们可以看到

不同值的等值线是不相交的

那另外一个等值线的是完整的

充满了整个设计空间

那么还有等值线分布的疏和密

它是反映了函数值变化的快慢

那么在这个地方大家需要注意一下

函数值变化的快慢

实际上我们可以反映出来

我们未来再进行

优化问题求解的时候

它的迭代方向的问题

所以大家可以多看一些

这样一些等值线的这样一些图

我们可以总结出来一些相关的规律

那么 一般来说

在极值点的附近

它的等值线是近似的同心椭圆族

那么也就是说

它的极值点就是我们椭圆的中心点

第三个要素

我们来看一下是约束条件

约束条件实际上指的是

对于我们设计变量的取值来说

它是有限制的

而不是在整个的

设计空间当中来进行选择

所以我们把这样的一些约束条件

也称之为设计约束

对设计约束来说

我们通常会有不等式和等式的

这样的两种形式来进行表达

无论哪一种表达的形式

我们大家可以看到

只要有一个约束条件

它就会把我们的设计空间

划分为两部分

一部分会满足我们约束要求

那么还有一部分

是不满足我们的约束要求

所以我们把这样的一些

满足和不满足约束的

这样些区域给它找出来

满足约束的区域

我们称之为可行域

不满足约束的区域

我们称之为不可行域

但是我们大家还知道

有一类的约束呢是等式的约束

等式约束这样一种情况呢

它还会存在着这样的一个约束边界

对于约束的几何意义大家很好理解

因为约束呢

把整个的空间分成了两部分

一部分是可行域

一部分是不可行域

那么 很显然

我们将来在进行优化问题求解的时候

我们只能在可行域当中来求解

因为可行域内的所有点

是满足我们约束条件的这样一个限制

那么对可行域的这种表示呢

我们通常会有一个大写的字母D

来进行表达

大家可以看到

从右侧的这样一个图当中

我们可以看到

当我们的约束条件都已知之后

利用图解的方法

我们是可以判断出来

它的可行域的大小的

根据约束条件的情况

我们

可以看到

我们实际的工程优化问题

是分为这样的两大类

一类是无约束的优化问题

那么另外一类是有约束的优化问题

我们也简称为约束优化问题

对于无约束的优化问题来说

它不存在约束条件

只存在设计变量和目标函数

它包括了

一维和多维的无约束优化问题

那么这样的一些问题的求解方法

我们会在后续的

章节当中给大家详细的讲解

对于约束的优化问题来说

它会存在着各种约束条件

也有可能存在等式的约束条件

也有可能是不等式

还有可能等式和不等式

约束条件同时存在

所以对这样的一些问题来说

我们可以用线性规划

非线性规划的问题来进行求解

好

这一讲的内容我们到此结束