8.4.3可靠性设计基本原理（3）在线视频

同学们好

这一节课我们来接着学习

多个随机变量问题的可靠度计算

在可靠度计算的过程中

强度和应力都是一个广义的概念

所以广义强度x

是多个随机的变量的函数

我们用x等于fx1一直到xl来表示

其中x1-xl

则为影响强度的基本随机变量

而广义的应力

我们用y来表示等于gy1一直到ym

那么这里头的y1一直到ym

为影响应力的基本随机变量

因此

功能函数z它是等于强度减去应力的

它也是多个随机变量的函数

我们用Gz1一直到zn来表示

那么我们说 假设

Z功能函数 它是服从正态分布的

那么可靠度就应该等于功能函数

大于等于零的概率也就应该等于ψβ

β就是前面我们所说的可靠性系数

而β呢应该等于z的均值

比上z的标准差 而z呢它又是一个

多个随机变量的函数

所以z的均值就得要算这个

函数的均值同理

求z的标准差

就要求这个函数的标准差

所以

多个随机变量问题的可靠度的计算

就转换成了求随机变量函数的

均值和方差的问题

因为方差是等于标准差的平方的

那么如何来求呢

就要用到泰勒级数近似法了

对于多维随机变量

假设函数gx1x2一直到xn

在均值点处进行相应的泰勒展开

那么展开式如这个式子所示

其中

gu代表的是常数项

这个代表是一次项

1/2后头代表是二次项

那么Rn呢代表是更高阶次项

我们把它称为余项

在这里就不表示出来了

如果设各xi之间是相互独立的

现在我们就对这个泰勒展开呢 只取

前头的一阶来进行近似

那么这个函数gx它的数学期望

和方差等于多少呢

我们来看

数学期望Eg

那么首先应该是常数项的数学期望

加上一次项的数学期望

在一次项的数学期望中

xi的数据期望均该等于均值

而均值的数学期望呢

也就等于均值 所以呢

这两项一消掉是相同的是等于零因此

函数的数学期望均该等于

各个随机变量在均值处的函数值

对于函数的方差Dg来说 应该是

常数项的方差再加上一次项的方差

那么 一次项的方差中的xi的方差

用dxi表示 常数项呢就是均值

用Dui来表示 我们知道

常数的方差是应该等于零的

所以呢 常数项的方差去掉Dui呢

也没有等于零

这样就得到了函数的数学期望

等于这个公式

在这个公式中δg比上δxi

括号的平方μ则代表的是功能函数

对各个随机变量去一阶倒数之后

在均值点处的值的平方

那么Dxi呢 代表的就是xi

这个随机变量呢 它的方差

因此我们可以把上面的式子

也可以简写成什么呢

那就是函数的均值应该等于g u

均值处的函数值

然后方差又等于 标准差的平方

等于这个式子 那么Dxi呢就是

变量的方差也可以等于σxi的平方

就是变量的标准差的平方

那么在这个里头的公式刚才已经说过了

δgδxi呢 就是

函数对于变量的取一阶导数之后

然后在各xi等于均值点处的值

下面我们来看一道例题

某连杆机构中工作时

连杆受到拉力 f

f服从正态分布

均值是120标准差是12单位是千牛

而连杆的材料用的是Q275钢

强度极限σB服从正态分布

均值是238

而标准差呢是19单位 是兆帕

连杆的截面是圆形 半径r

等于十四加减零点零六毫米

并且服从正态分布

计算连杆的工作可靠度R

那么我们知道

如果计算工作可靠度

就需要知道功能函数z

功能函数z应该等于强度减去应力

这里的强度就是强度极限σB

而应力呢 应该等于

连杆上的所受的拉力

除一个它的紧密面积πr的平方

那么显然

由于σB

F和r

他们都是服从相应的正态分布的

所以他们三个为基本随机变量

因此 功能函数z

就是这三个基本随机变量的函数

现在我们就带入

刚才我们所推导的公式

那就是要求可靠度 就应该求得

函数的均值

以及对应的功能函数的标准差

而函数的均值呢

均该等于各个随机变量

在均值处的函数值

我们把各随机变量的均值

带入到上面的柿子中

σB的均值是238

而F的均值呢

是120

它的单位是千牛

在这里我们要写成乘以十的三次方

而r的均值是14单位是毫米

这样牛除一个毫米的平方就是兆帕

与前面的238兆帕的单位一致

我们得到了函数的均值μg

等于43.116照帕

然后我们再看函数的标准差

在用这个公式的时候

我们需要分别求出

函数对各随机变量的一阶倒数

那么 首先

我们来看求第一个随机变量

也就是σB的一阶倒数

从公式中z等于σB减F除以πr方

可以看出 对于g

也就是功能函数对σB取一阶导数

等于一

那么 对于第二个随机变量F

在取一阶导数的时候

可以看出应该等于负的

πr的平方分之一

然后要在均值处取之

这里的均值 那么只有一个参数r

所以在这儿要取14

这样就可以得到了的等于

负的一点六二四乘一个十的负三次方

然后我们来看第三个随机变量

应该是r

那就是功能函数对r取偏倒

等于多少呢 等于2F

除以πr的三次方

然后再均值处取值

那么在这里F的均值是

120乘以十的三次方

r是14

所以带入进去等于27.84

有了

各个功能函数对

各变量的一阶导数

又在均值的取值之后

我们就可以带入到这个公式中了

那么σB

的平方应该等于什么呢

对应下来就是一的平方

乘以σB也就是

我们的19看强度极限的标准差是19

乘以19的平方

加上负的一点六二四

乘以十的负三次方的平方

乘以

这个时候呢 它的标准差σF呢

等于十二千牛乘以十的三次方

然后平方

再加上

对应的对r的偏倒

在均值处的值27.84平方

那么在这里头r的标准差

是带0.06吗

不对 应该根据三σ准则

半径在十四加零点零六毫米

变动的时候

这个时候的标准差

应该是零点零六除以三

应该带0.02

这样我们就可以得到了r

最后的结果是741.1

我们就得到了标准差的平方

那么标准差呢

就用它一开根号就可以了

有了函数的均值和函数的标准差之后

就可以得到可靠性系数β了

算出来等于1.5838

有了可靠性系数

我们可以查阅标准正态分布表

就可以得到可靠度

可靠度约等于94%

那么在使用这个公式的时候

也就是多个随机变量可靠度

计算公式的时候要注意它是有

相应的近似条件和一定的局限性的

它假设各个随机变量都是独立的

第二个假设各随机变量的分布

是正态分布 第三个

就是在进行泰勒展开的时候

是一次近似

所以如果函数gxi呢

它的非线性比较强的话

就会有比较大的误差

这节课我们给大家介绍了

多个随机变量问题的可靠度计算

那么多个随机变量问题的可靠度计算

要转变成求解

功能函数的均值和标准差

具体的计算公式就是这两个公式

有了功能函数的均值和标准差之后

就可以求出可靠性系数β

然后通过查阅正态分布表

得到对应的可靠度