7.12 约束优化-外点法在线视频

各位同学大家好

今天我们继续学习第七章

机械优化设计 约束优化设计的求解

那么在上讲当中

我们给大家讲到了内点法

及其求解的过程

那么今天呢

我们来看一下外点罚函数法

那么外点罚函数法呢 又称之为

外点法

对于内点法来说

我们知道它适用于具有不等式约束的

约束优化问题

那对外点法来说呢

我们可以看到

它的适用的范围会更广一些

它可以适用于具有等式

和不等式约束的优化问题

我们再回顾一下内点法

内点法 它的初始点

是位于我们的可行域之内

也就说它整个的搜索过程

是在可行域之内完成的

对于内点法来说

在搜索的过程当中 为了避免

超出可行域

那么我们采用罚函数的这样一种方法

那么对于外点法来说 我们可以看到

它可以适用于等式和不等式的约束

优化问题的这样一种求解

那么它的初始点

又来自于什么样的位置呢

它是在可行域还是在非可行域之内呢

我们来看一下

对于外点法来说

它的搜索的策略

和我们的内点法是相似的

但是它不同的地方

我们可以看到它的罚函数

它的定义域为非可行域

也就是在可行域之外来进行搜索

所以从这个地方大家可以看到

内点法和外点法

它的搜索的方向是不一样的

那么 对于内点法来说

它是从可行域之内从你选定的初始点

去

逼近我们的约束边界

那么对于外点法来说

我们是从可行域外来进行搜索

去逼近我们的约束边界

那接下来我们来看一下

它的罚函数如何来构造

那么 对于不等式的约束问题来说

我们知道 我们通常用gu(x)

小于等于零来表示

那么 我们取外点罚函数的形式

为我们现在看到的这样一个形式

也就是我们取0和gu(x)最大值

来作为我们的罚函数项

那么这个罚函数项 我们来分析一下

当gu(x)小于等于零

那意味着我们的设计变量x

是在可行域之内的

那么 也就是说

在可行域之内的时候 这一项为零

那么当gu(x)大于等于零

也就是当它在可行域之外的时候

它等于gu(x)的平方

这是它的罚函数的表达形式

那么在这里给大家留这样一个思考题

对于外点法来说

我们为什么要去做这样的罚函数项

那另外一个对于我们的内点法来说

我们又为什么选择gu(x)倒数和ln负的gu(x)

来作为它的惩罚项呢

大家课下自己去思考一下

这样一些问题 可以尝试着

从罚函数的构造方法

以及我们求解的过程来考虑一下

也希望大家能够通过

相关的文献资料的查找来

对这样的一个问题进行探究

好 那接下来我们来看一下

对于罚函数法来说

我们都知道它有

除了我们的惩罚项当中的西格玛的一项

之外 我们还有惩罚因子

在内点法当中 我们的罚因子

是一个递减的正数序列

但是对于外点法来说

我们可以看到它的罚因子

是一个递增的序列

也就是r0是小于r1是小于r2的

那么它的极限我们看到是无穷

对于我们的内点法来说

它的罚因子的极限是等零

所以这两个有着明显的区别

那么刚才呢 我们提到了

外点法在解决

不等式约束优化问题的时候

它的罚函数的形式 那么 对于

具有等式约束的优化问题来说

它的罚函数形式又是什么样的呢

我们来看一下

那么 在这里面呢 我们看到

我们给出的这个罚函数的表达式

是 hv(x)的平方

那么 如果同时具有不等式

和等式的约束条件

那么它的罚函数

就应该是有两项来构成

所以这样的话呢 我们可以看到

利用外点法来构造出来的

这样的一个新的目标函数

是由三项来构成

两项惩罚项一个原来的目标函数

对于外点法的求解过程

和内点法是基本相同的

那么在这里呢 我们通过一个例题

我们来看一下

用外点法 我们来求约束优化问题

f(x)等于x1的平方加x2的平方

我们受到的约束条件

是一个等式的约束条件

1-x1是小于等于零的

我们来看一下利用外点的方法

我们如何来求约束的优化问题

那么 对于外点法来说

我们在求解这样一道题目的时候呢

我们是需要去构造它的惩罚项

也就是通过惩罚项的构造

去建立新的目标函数

那么这个新的目标函数

我们可以看到是这样的

原来的目标函数x1的平方

加上x2的平方

再加上惩罚因子乘上一个

等式约束条件的这个表达式的平方

那么新的目标函数构造出来了之后

那么我们就把这样的一个约束优化问题

转变为了无约束的优化问题

所以对它的极值问题的求解

就转变成了它的梯度为零

根据梯度为零我们可以列出

这样的表达式

φ对x1的一阶偏导等于零

再对x2的一阶偏导也为零

那么根据这两项 我们大家就可以看到

我们就可以得到

x1的极值和x2的极值

那么 这个极值大家需要注意

它是关于我们的罚因子r的

一个表达式

那么接下来我们如何来求解呢

那么我们让r先等于零

r=0的时候 我们这时候做

x*2的计算 以及f(x)的计算

然后呢 让r逐渐的增大

因为我们知道 在外点法当中

它的罚因子是一个递增的序列

所以r呢是增大的

让r=0让r=1.5

让r=7.5 然后让r趋于无穷

那么我们通过这样的一种逐渐的

去改变罚因子的这样一种方法

我们就得到了它的极值点

那么这个极值点我们可以看到x*

它等于[1 0] f(x*)是等于1的

那么在这里面呢 我们需要再

给它去强调一下

对于外点法来说它的罚因子的选取

那么外点法 它的罚因子呢

是一个递增的序列

所以呢 它的这个系数c

我们通常呢是取5-10

那么 对于初始的罚因子r0来说

我们通常是取1的

对于外点法来说它的特点我们来看一下

它的初始点是可以任选的

因为呢它是在可行域之外来进行搜索

对于等式的约束条件

和不等式的约束条件均可适用

所以它的适用的范围是比较广的

另外一个 对于外点法来说

它的收敛的速度是比较快的

大家在课下的时候可以做一下

这样的一道练习题

这个练习题呢大家来看一下

是用外点法来求约束优化问题

目标函数fx是等于x1+x2

那么 在这里面 我们可以看到

它受到了两个不等式约束条件的限制

和我们刚刚给大家讲到的那个例题

是不太一样的

所以大家课下呢把这道题目呢

自己来做一下

好

今天我们关于外点法的这部分内容

就讲到这